Lektion 1.4

Prozentrechnung

15 min Lesezeit

Ein Fahrrad kostet 240 Euro. Im Laden steht: 15 % Rabatt. Wie viel Euro sparst du, und was musst du zahlen? Ein Pullover kostet jetzt 45 Euro, vorher waren es 60 Euro. Um wie viel Prozent ist er billiger geworden? Und auf der Rechnung für Kopfhörer steht zusätzlich die Mehrwertsteuer.

In Klasse 5-6 hast du gelernt, dass 15 % dasselbe sind wie $\frac{15}{100}$ . Damit beantwortest du solche Fragen. In dieser Lektion lernst du die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung, die Zu- und Abnahme in Prozent und Sonderfälle aus dem Alltag: Rabatt, Skonto, Mehrwertsteuer und Promille.

Definition

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

In Klasse 5-6 hießen die Größen Ganzes, Teil und Anteil. In der Prozentrechnung haben sie neue Namen:

Das Ganze heißt Grundwert $G$ . Er entspricht 100 %.
Der Teil heißt Prozentwert $W$ .
Der Anteil in Prozent heißt Prozentsatz $p\,\%$ .

Beim Fahrrad ist der Grundwert $G = 240$ Euro, der Prozentsatz ist 15 %. Gesucht ist der Prozentwert. Mit dem Dreisatz: 100 % sind 240 Euro, 1 % sind 2,40 Euro, 15 % sind 15 · 2,40 = 36 Euro. Kürzer: Du multiplizierst den Grundwert mit $\frac{15}{100} = 0{,}15$ . Daraus entstehen drei Aufgaben, je nachdem, welche Größe gesucht ist.

Ein Prozentstreifen hilft beim Überlegen. Du zeichnest einen langen Streifen und beschriftest ihn oben mit 0 % bis 100 % und unten mit 0 Euro bis 240 Euro. Teilst du ihn in zehn gleiche Stücke, ist jedes Stück 10 % oder 24 Euro. Ein halbes Stück sind 5 % oder 12 Euro. Also sind 15 % genau 24 + 12 = 36 Euro.

W = G \cdot \frac{p}{100} \qquad \frac{p}{100} = \frac{W}{G} \qquad G = W : \frac{p}{100}

Beispiel

Die drei Grundaufgaben

a) Berechne 15 % von 240 Euro. b) Von 180 Kindern einer Schule fehlen 27 wegen einer Grippe. Wie viel Prozent sind das? c) 18 Euro sind 12 % vom Preis einer Jacke. Was kostet die Jacke?

\begin{aligned} \text{a)}\; & W = 240 \cdot 0{,}15 = 36 \\ \text{b)}\; & \frac{27}{180} = 0{,}15 = 15\,\% \\ \text{c)}\; & G = 18 : 0{,}12 = 150 \end{aligned}

a) Gesucht ist der Prozentwert. Der Rabatt beträgt 36 Euro. b) Gesucht ist der Prozentsatz. Du teilst den Teil 27 durch das Ganze 180 und wandelst die Dezimalzahl in Prozent um. c) Gesucht ist der Grundwert. Mit dem Dreisatz: 12 % sind 18 Euro, 1 % sind 1,50 Euro, 100 % sind 150 Euro. Probe: 12 % von 150 Euro sind 0,12 · 150 = 18 Euro.

Definition

Vermehrter und verminderter Grundwert, Zu- und Abnahme

Oft willst du den neuen Wert nach einer Änderung wissen. Sinkt der Fahrradpreis um 15 %, ist der neue Preis 85 % vom alten. Er heißt verminderter Grundwert, $G - W$ . Steigt ein Preis um 20 %, ist der neue Preis 120 % vom alten. Er heißt vermehrter Grundwert, $G + W$ . In einem Schritt rechnest du mit dem Prozentfaktor: $1 + \frac{p}{100}$ bei Zunahme und $1 - \frac{p}{100}$ bei Abnahme.

Die prozentuale Zu- oder Abnahme sagt, um wie viel Prozent sich ein Wert geändert hat. Sie bezieht sich auf den alten Wert. Der alte Wert ist hier der Grundwert.

Ein Prozentsatz darf über 100 % liegen. Dann ist der Prozentwert größer als der Grundwert. Eine Pflanze wächst von 20 cm auf 50 cm. Es ist 50 : 20 = 2,5, sie ist also auf 250 % gewachsen. Die Zunahme ist 30 cm, und 30 : 20 = 1,5. Sie ist um 150 % gewachsen. Eine Zunahme um 100 % ist eine Verdopplung.

\text{neuer Wert} = \text{alter Wert} \cdot \text{Prozentfaktor}

Beispiel

Zu- und Abnahme

a) Das Fahrrad für 240 Euro wird um 15 % billiger. Was kostet es jetzt? b) Der Pullover kostet jetzt 45 Euro, vorher 60 Euro. Um wie viel Prozent wurde er billiger? c) Nach einer Erhöhung um 20 % kostet eine Eintrittskarte 90 Euro. Was kostete sie vorher?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 240 \cdot (1 - 0{,}15) = 240 \cdot 0{,}85 = 204 \\ \text{b)}\; & \frac{60 - 45}{60} = \frac{15}{60} = 0{,}25 = 25\,\% \\ \text{c)}\; & G \cdot 1{,}20 = 90 \;\Rightarrow\; G = 90 : 1{,}20 = 75 \end{aligned}

a) Der Prozentfaktor ist 0,85. Probe über den Rabatt: 36 Euro, und 240 − 36 = 204. b) Die Änderung ist 15 Euro. Sie wird auf den alten Preis 60 Euro bezogen, nicht auf den neuen. Der Pullover ist 25 % billiger. c) 90 Euro sind 120 % vom alten Preis. Der alte Preis ist der Grundwert. Probe: 75 · 1,20 = 90.

Definition

Rabatt, Skonto und Mehrwertsteuer

Drei Begriffe aus dem Einkauf sind Prozentrechnungen mit festen Namen:

Rabatt ist ein Preisnachlass in Prozent vom ursprünglichen Preis.
Skonto ist ein Nachlass, wenn du eine Rechnung schnell bezahlst, zum Beispiel 2 % bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen.
Mehrwertsteuer ist eine Steuer, die zum Preis dazukommt. Der Preis ohne Steuer heißt Nettopreis, der Preis mit Steuer Bruttopreis. Die Steuer wird vom Nettopreis berechnet. In Deutschland sind es meist 19 %, für manche Waren weniger. Rechne mit dem Satz, der in der Aufgabe steht.

Bei 19 % ist der Bruttopreis 119 % vom Nettopreis. Der Nettopreis ist der Grundwert.

\text{Brutto} = \text{Netto} \cdot 1{,}19 \qquad \text{Netto} = \text{Brutto} : 1{,}19

Beispiel

Skonto und Mehrwertsteuer

a) Eine Rechnung über 480 Euro wird mit 2 % Skonto bezahlt. Wie viel Euro sind es? b) Ein Laptop hat den Nettopreis 800 Euro. Wie hoch ist der Bruttopreis bei 19 % Mehrwertsteuer? c) Ein Bruttopreis ist 119 Euro. Wie hoch ist der Nettopreis bei 19 % Mehrwertsteuer?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 480 \cdot 0{,}98 = 470{,}40 \\ \text{b)}\; & 800 \cdot 1{,}19 = 952 \\ \text{c)}\; & 119 : 1{,}19 = 100 \end{aligned}

a) Der Prozentfaktor ist 1 − 0,02 = 0,98. Du sparst 9,60 Euro und zahlst 470,40 Euro. b) Der Prozentfaktor ist 1,19. Die Steuer beträgt 152 Euro. c) Hier ist der Bruttopreis bekannt, der Grundwert ist gesucht. Der Bruttopreis ist 119 % vom Nettopreis, also teilst du durch 1,19. Probe: 100 · 1,19 = 119.

Definition

Promille

Für sehr kleine Anteile nimmst du Promille. Ein Promille ist ein Tausendstel. Du schreibst ‰. Du rechnest damit wie mit Prozent, nur mit 1000 statt 100. Zum Beispiel sind 3 ‰ von 8000 Schrauben genau 8000 · 0,003 = 24 Schrauben.

1\,\text{Promille} = \frac{1}{1000} = 0{,}001 = 0{,}1\,\%

Häufige Fehler

Die Steuer vom Bruttopreis abziehen

Ein Bruttopreis von 119 Euro enthält 19 % Mehrwertsteuer. Jemand rechnet den Nettopreis so: 119 − 19 % von 119 = 119 − 22,61 = 96,39 Euro.

Richtig ist

Die 19 % beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis. Der Bruttopreis ist 119 % vom Nettopreis. Richtig ist 119 : 1,19 = 100 Euro. Probe: 100 · 1,19 = 119.

Häufige Fehler

Der falsche Grundwert

Der Pullover wurde von 60 Euro auf 45 Euro gesenkt. Jemand rechnet: 15 : 45 = 33 %.

Richtig ist

Der Grundwert ist der alte Preis, denn die Änderung wird immer auf den Wert davor bezogen. Richtig ist 15 : 60 = 0,25, also 25 %.

Häufige Fehler

Um 25 % erhöhen heißt nicht mal 0,25

Ein Preis von 80 Euro steigt um 25 %. Jemand rechnet: 80 · 0,25 = 20 Euro ist der neue Preis.

Richtig ist

Mit 0,25 bekommst du nur den Zuschlag. Der neue Preis ist 125 % vom alten, also Faktor 1,25: 80 · 1,25 = 100 Euro.

Zusammenfassung

Das Ganze heißt Grundwert $G$ (100 %), der Teil Prozentwert $W$ , der Anteil Prozentsatz $p\,\%$ . Es gilt $W = G \cdot \frac{p}{100}$ .
Gesucht $W$ : Grundwert mal $\frac{p}{100}$ . Gesucht $p$ : $W : G$ und in Prozent umwandeln. Gesucht $G$ : $W$ geteilt durch $\frac{p}{100}$ , oder Dreisatz über 1 %.
Neuer Wert gleich alter Wert mal Prozentfaktor: $1 + \frac{p}{100}$ bei Zunahme, $1 - \frac{p}{100}$ bei Abnahme. Die Änderung wird auf den alten Wert bezogen.
Prozentsätze über 100 % gibt es. „Auf 250 %“ und „um 150 %“ meinen dasselbe.
Rabatt und Skonto vermindern den Preis. Bruttopreis gleich Nettopreis mal 1,19 bei 19 % Mehrwertsteuer. Der Nettopreis ist der Grundwert.
Ein Promille ist ein Tausendstel: $1\,\text{Promille} = 0{,}1\,\%$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Von 2500 Tüten sind 6 Promille beschädigt. Wie viele Tüten sind das?

Aufgabe 2Numerisch

Von 40 Fragen beantwortet Lena 34 richtig. Wie viel Prozent der Fragen sind das?

Aufgabe 3Numerisch

12 Euro Rabatt sind 8 % vom ursprünglichen Preis. Wie viel Euro hat die Ware vorher gekostet?

Aufgabe 4Multiple Choice

Ein Preis sinkt um 30 %. Mit welcher Zahl multiplizierst du den alten Preis, um den neuen zu erhalten?

Aufgabe 5Numerisch

Der Nettopreis eines Fernsehers ist 250 Euro. Die Mehrwertsteuer beträgt 19 %. Wie viel Euro beträgt der Bruttopreis?

Aufgabe 6Freitext

Ein T-Shirt kostet 40 Euro. Der Preis wird erst um 25 % erhöht und danach um 25 % gesenkt. Kostet es am Ende wieder 40 Euro? Rechne nach.