Lektion 6.5

Lineare Regression und Ausgleichsgerade

15 min Lesezeit

Ein Eiskiosk schreibt an fünf Tagen auf, wie warm es mittags war und wie viele Kugeln Eis verkauft wurden. Je wärmer es ist, desto mehr Eis wird verkauft. Trägst du die Messungen als Punkte in ein Koordinatensystem ein, liegen sie ungefähr auf einer Linie, aber nicht genau.

Die Besitzerin fragt: „Morgen sollen es 22 Grad werden. Wie viele Kugeln soll ich einplanen?“ Eine lineare Funktion f(x)=mx+nf(x) = mx + n kennst du bereits. Aber wenn die Punkte nicht genau auf einer Geraden liegen, trifft keine Gerade alle Punkte. Welche Gerade nimmst du dann? In dieser Lektion lernst du, wie du die Gerade bestimmst, die am besten passt, und wie ein Rechner sie für dich berechnet.

Definition

Streudiagramm und Zusammenhang

Eine Messung liefert zwei Werte, zum Beispiel die Temperatur xx und die Zahl der Kugeln yy. Zusammen bilden sie ein Wertepaar (x∣y)(x \mid y). In einem Streudiagramm zeichnest du jedes Wertepaar als Punkt in ein Koordinatensystem. Alle Punkte zusammen heißen Punktwolke.

Zeigt die Punktwolke von links unten nach rechts oben, gehören größere xx-Werte zu größeren yy-Werten. Das nennt man einen positiven Zusammenhang. Zeigt sie von links oben nach rechts unten, gehören größere xx-Werte zu kleineren yy-Werten. Das ist ein negativer Zusammenhang, zum Beispiel: Je länger eine Taschenlampe brennt, desto weniger Batterie bleibt übrig. Hat die Wolke keine erkennbare Richtung, gibt es keinen linearen Zusammenhang. Eine Gerade passt am besten, wenn die Wolke wie ein schmaler, gerader Streifen aussieht.

Definition

Ausgleichsgerade

Eine Ausgleichsgerade ist eine Gerade, die so durch die Punktwolke läuft, dass sie den Verlauf der Punkte möglichst gut beschreibt. Sie gleicht die kleinen Unterschiede zwischen den Punkten aus. Sie muss durch keinen der Punkte gehen. Nach Augenmaß legst du ein Lineal so an, dass etwa gleich viele Punkte oberhalb und unterhalb liegen. Ihre Gleichung ist die einer linearen Funktion mit der Steigung mm und dem yy-Achsenabschnitt nn. Die Ausgleichsgerade ist ein Modell: Sie vereinfacht die Wirklichkeit.

f(x)=m⋅x+nf(x) = m \cdot x + n
Definition

Abweichung, Quadratsumme und lineare Regression

Nach Augenmaß zeichnen verschiedene Menschen verschiedene Geraden. Du brauchst ein Maß, das sagt, welche besser passt. Die Abweichung eines Punktes ist der yy-Wert des Punktes minus der yy-Wert der Geraden an derselben Stelle xx. Liegt der Punkt über der Geraden, ist die Abweichung positiv, darunter negativ.

Würdest du die Abweichungen einfach addieren, würden sich Plus und Minus aufheben. Auch eine schlechte Gerade könnte dann die Summe 0 haben. Darum quadrierst du jede Abweichung und addierst die Quadrate. Das ist die Quadratsumme. Quadrate sind nie negativ, und große Abweichungen zählen stärker. Die Gerade mit der kleinsten Quadratsumme ist die beste. Das Verfahren, das diese Gerade berechnet, heißt lineare Regression. Von Hand ist es lang. Darum übernimmt es eine Tabellenkalkulation oder ein Computeralgebrasystem (CAS).

Q=(y1−f(x1))2+(y2−f(x2))2+…Q = \bigl(y_1 - f(x_1)\bigr)^2 + \bigl(y_2 - f(x_2)\bigr)^2 + \ldots
Beispiel

Zwei Geraden vergleichen

Eine Bohnenpflanze wird wöchentlich gemessen (ausgedachte Werte):

Woche xx1234
Höhe yy in cm2356

Vergleiche die Gerade A mit f(x)=1,5xf(x) = 1{,}5x und die Gerade B mit g(x)=1,4x+0,5g(x) = 1{,}4x + 0{,}5. Die Gerade B ist die Ausgleichsgerade. Welche hat die kleinere Quadratsumme?

QA=0,52+02+0,52+02=0,5QB=0,12+(−0,3)2+0,32+(−0,1)2=0,2Q_A = 0{,}5^2 + 0^2 + 0{,}5^2 + 0^2 = 0{,}5 \qquad Q_B = 0{,}1^2 + (-0{,}3)^2 + 0{,}3^2 + (-0{,}1)^2 = 0{,}2
Woche xxyyGerade AAbweichung AGerade BAbweichung B
121,50,51,90,1
23303,3−0,3
354,50,54,70,3
46606,1−0,1

Bei x=1x = 1 ist zum Beispiel f(1)=1,5f(1) = 1{,}5 und g(1)=1,4+0,5=1,9g(1) = 1{,}4 + 0{,}5 = 1{,}9. Die Abweichung ist 2−1,5=0,52 - 1{,}5 = 0{,}5 bei A und 2−1,9=0,12 - 1{,}9 = 0{,}1 bei B. Die Quadratsumme von B ist mit 0,2 kleiner als die von A mit 0,5. B passt also besser. Die Gerade A geht sogar durch zwei der Punkte und ist trotzdem schlechter. Die Gerade B geht durch keinen Punkt.

Definition

Lineare Regression mit Tabellenkalkulation und CAS

Du musst die Ausgleichsgerade nicht selbst berechnen. In einer Tabellenkalkulation wie Excel oder LibreOffice Calc gehst du so vor:

  • Schreibe die xx-Werte in Spalte A und die yy-Werte in Spalte B, jede Messung in eine Zeile.
  • Berechne die Steigung mit STEIGUNG(B2:B6;A2:A6) und den yy-Achsenabschnitt mit ACHSENABSCHNITT(B2:B6;A2:A6). Zuerst stehen die yy-Werte, dann die xx-Werte. Der Bereich B2:B6 steht für fünf Messungen in den Zeilen 2 bis 6.
  • Oder zeichne ein Streudiagramm aus Punkten und füge eine lineare Trendlinie hinzu. Dort kannst du die Gleichung anzeigen lassen.

Ein CAS oder ein grafikfähiger Taschenrechner hat einen Befehl für lineare Regression. Du gibst die Liste der xx-Werte und die Liste der yy-Werte ein und bekommst mm und nn. Der Name des Befehls und die Buchstaben (aa und bb statt mm und nn) hängen vom Programm ab. Schau in die Hilfe.

Beispiel

Eisverkauf vorhersagen

Der Eiskiosk hat an fünf Tagen notiert (ausgedachte Werte):

Temperatur xx in °C1216202428
Kugeln yy4580100150175

Eine Tabellenkalkulation liefert STEIGUNG = 8,25 und ACHSENABSCHNITT = −55. Gib die Gleichung der Ausgleichsgeraden an, deute mm und nn und schätze die Zahl der Kugeln bei 22 °C.

f(x)=8,25x−55f(22)=8,25⋅22−55=181,5−55=126,5f(x) = 8{,}25x - 55 \qquad f(22) = 8{,}25 \cdot 22 - 55 = 181{,}5 - 55 = 126{,}5

Die Steigung m=8,25m = 8{,}25 heißt: Pro Grad wärmer werden im Mittel etwa 8 Kugeln mehr verkauft. Der yy-Achsenabschnitt n=−55n = -55 wäre die Zahl der Kugeln bei 0 °C. Eine negative Zahl von Kugeln gibt es nicht. Die Gerade gilt also nur im Bereich der Messwerte, hier von 12 bis 28 °C.

Bei 22 °C liegt 22 zwischen 12 und 28. Die Rechnung ist erlaubt: 8,25⋅22=181,58{,}25 \cdot 22 = 181{,}5 und 181,5−55=126,5181{,}5 - 55 = 126{,}5. Das sind etwa 127 Kugeln. Der Wert ist eine Schätzung. Bei den Messwerten lag die Gerade bis zu 10 Kugeln daneben, denn bei 20 °C liefert sie 110 statt der gemessenen 100.

Häufige Fehler

Die Gerade muss durch Punkte gehen

Jemand legt die Gerade durch zwei der Punkte, weil dadurch die Gerade eindeutig ist, und sagt: „Das ist die beste Gerade.“

Richtig ist

Eine Gerade durch zwei Punkte ist schnell gefunden, aber sie ignoriert die anderen Punkte. Die Ausgleichsgerade berücksichtigt alle Punkte und geht oft durch keinen. Im Beispiel mit der Bohnenpflanze geht Gerade A durch zwei Punkte und ist trotzdem schlechter als Gerade B, die durch keinen geht.

Häufige Fehler

Zusammenhang heißt nicht Ursache

Der Eisverkauf und die Zahl der Sonnenbrände steigen beide mit der Temperatur. Jemand sagt: „Eis essen macht Sonnenbrand.“

Richtig ist

Wenn zwei Werte zusammen größer werden, folgt daraus nicht, dass einer den anderen verursacht. Hier haben beide dieselbe Ursache, nämlich das sonnige Wetter. Eine Ausgleichsgerade beschreibt einen Zusammenhang, sie begründet keine Ursache.

Häufige Fehler

Die Gerade überall benutzen

Jemand setzt in f(x)=8,25x−55f(x) = 8{,}25x - 55 die Temperatur 5 °C ein, bekommt −13,75-13{,}75 und sagt: „Dann geben die Kunden Eis zurück.“

Richtig ist

Die Messwerte reichen nur von 12 bis 28 °C. Außerhalb dieses Bereichs weißt du nicht, ob der Zusammenhang noch gerade verläuft. Je weiter ein Wert vom Messbereich entfernt ist, desto unsicherer ist die Vorhersage. Bei 5 °C ist das Ergebnis sogar unmöglich.

Zusammenfassung

  • Ein Streudiagramm zeigt jedes Wertepaar (x∣y)(x \mid y) als Punkt. Die Punktwolke zeigt einen positiven, einen negativen oder keinen linearen Zusammenhang.

  • Eine Ausgleichsgerade f(x)=mx+nf(x) = mx + n beschreibt den Verlauf der Punktwolke. Sie muss durch keinen Punkt gehen.

  • Die Abweichung eines Punktes ist sein yy-Wert minus der yy-Wert der Geraden. Du quadrierst die Abweichungen und addierst sie zur Quadratsumme.

  • Die Gerade mit der kleinsten Quadratsumme ist die Ausgleichsgerade. Das Verfahren heißt lineare Regression.

  • Eine Tabellenkalkulation (STEIGUNG, ACHSENABSCHNITT, Trendlinie) oder ein CAS berechnet mm und nn.

  • Deute mm und nn im Sachzusammenhang. Benutze die Gerade nur im Bereich der Messwerte. Ein Zusammenhang beweist keine Ursache.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Eine Messreihe zeigt: Je größer xx ist, desto kleiner ist yy. Wie heißt dieser Zusammenhang?

Aufgabe 2Numerisch

Eine Gerade hat die Gleichung f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Ein Punkt hat die Koordinaten (3∣9)(3 \mid 9). Wie groß ist seine Abweichung von der Geraden (y-Wert des Punktes minus y-Wert der Geraden)?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Gerade hat bei vier Punkten die Abweichungen 1, −2, 3 und −2. Wie groß ist die Quadratsumme?

Aufgabe 4Multiple Choice

Drei Geraden werden für dieselbe Punktwolke geprüft. Die Quadratsummen sind: Gerade A 4,5, Gerade B 1,8, Gerade C 2,6. Welche Gerade passt am besten?

Aufgabe 5Numerisch

Für den Eiskiosk gilt f(x)=8,25x−55f(x) = 8{,}25x - 55, gemessen wurde zwischen 12 und 28 °C. Wie viele Kugeln sagt die Gerade für 18 °C voraus? Gib eine Dezimalzahl an.

Aufgabe 6Freitext

Erkläre in zwei oder drei Sätzen, warum man die Abweichungen quadriert, bevor man sie addiert.