Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis kennst du aus Klasse 5-6. Jetzt schreibst du sie kurz auf. Alle möglichen Ergebnisse zusammen heißen Ergebnismenge. Du schreibst sie in geschweifte Klammern und nennst sie $\Omega$ (gesprochen „Omega“, ein griechischer Buchstabe). Beim Würfel ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ein Ereignis ist eine Auswahl aus diesen Ergebnissen, auch in geschweiften Klammern. Das Ereignis A: „Die Augenzahl ist gerade“ ist $A = \{2, 4, 6\}$. Die Ergebnisse darin heißen günstig für A.

Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zu A gehören. Du schreibst es $\overline{A}$ und sagst „nicht A“. Hier ist es die Menge der ungeraden Augenzahlen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist eine Zahl von 0 bis 1. Du schreibst sie $P(A)$. Das P steht für das englische Wort „probability“. Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, ein sicheres die Wahrscheinlichkeit 1. Du kannst sie als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent angeben.

Oft sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, zum Beispiel bei einem fairen Würfel, einer Münze oder einer Kugel, die blind aus einem Beutel gezogen wird. Ein solches Experiment heißt Laplace-Experiment, nach dem französischen Mathematiker Laplace. Dann zählst du nur: Wie viele Ergebnisse sind günstig, und wie viele gibt es insgesamt?

Entweder tritt A ein oder das Gegenereignis, beides zugleich geht nicht. Zusammen sind sie sicher. Deshalb ergeben ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen 1. Das hilft, wenn das Gegenereignis leichter zu zählen ist.

Haben zwei Ereignisse A und B kein gemeinsames Ergebnis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit von „A oder B“ zu bekommen. Das ist die Additionsregel. Beim Würfel gilt zum Beispiel für $A = \{1, 2\}$ und $B = \{6\}$: $P(A \text{ oder } B) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$.

Bei vielen Zufallsexperimenten kannst du die Wahrscheinlichkeit nicht zählen, du musst sie schätzen. Dann hilft die relative Häufigkeit. Eine Klasse würfelt und zählt die Sechsen (angenommene Werte):

Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$. Je mehr Würfe, desto näher liegt die relative Häufigkeit meist an dieser Zahl. Das ist das Gesetz der großen Zahlen. Es sagt aber nichts darüber, was beim nächsten Wurf kommt.

Bei einem Spiel zahlst du einen Einsatz. Je nach Ergebnis bekommst du eine Auszahlung. Der Erwartungswert der Auszahlung sagt, wie viel du bei sehr vielen Spielen im Durchschnitt pro Spiel bekommst. Du multiplizierst jede mögliche Auszahlung mit ihrer Wahrscheinlichkeit und addierst alles. Hier steht $a_1, a_2, \ldots$ für die möglichen Auszahlungen und $p_1, p_2, \ldots$ für ihre Wahrscheinlichkeiten.

Ist der Erwartungswert gleich dem Einsatz, heißt das Spiel fair. Auf lange Sicht verliert und gewinnt dann niemand. Das Spiel aus der Einleitung ist fair, denn $6 \cdot \frac{1}{6} = 1$ Euro ist der Einsatz. Der Erwartungswert muss keine Auszahlung sein, die wirklich vorkommt.