Lektion 6.3

Ziehen mit und ohne Zurücklegen, Kombinatorik

16 min Lesezeit

Dein Fahrradschloss hat vier Ziffernräder mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Codes gibt es? Und wenn du deinen Code vergessen hast: Wie lange würde Ausprobieren dauern?

Ein zweites Beispiel: In deiner Klasse stehen sechs Kinder zur Wahl. Zwei von ihnen werden Klassensprecherin und Stellvertreter. Hier ist die Reihenfolge wichtig, denn die beiden Ämter sind verschieden. Sollen zwei Kinder dagegen gemeinsam ein Plakat malen, ist die Reihenfolge egal. Dann gibt es weniger Möglichkeiten. Aber wie viele weniger?

In dieser Lektion lernst du Regeln, mit denen du solche Möglichkeiten schnell zählst, auch wenn es Tausende sind. Danach berechnest du damit Wahrscheinlichkeiten.

Definition

Produktregel und Zählstrategien

Aus Klasse 5-6 kennst du das Zählprinzip. Wir nennen es hier Produktregel: Besteht eine Auswahl aus mehreren Schritten hintereinander, multiplizierst du die Anzahlen der Möglichkeiten der einzelnen Schritte. Hat der erste Schritt a1a_1 Möglichkeiten, der zweite a2a_2 und so weiter, gibt es insgesamt a1⋅a2⋅…a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots Möglichkeiten. Die kleine Zahl unten ist nur eine Nummer: a1a_1 ist die Anzahl im ersten Schritt. Wichtig ist, dass die Anzahl in einem Schritt nicht davon abhängt, was du vorher gewählt hast.

Zum Zählen gibt es drei Strategien:

  • Auflisten: Du schreibst alle Möglichkeiten geordnet auf, zum Beispiel nach dem Alphabet, und zählst. Das passt bei wenigen Möglichkeiten und zur Kontrolle.
  • Baumdiagramm: Jeder Schritt ist eine Stufe des Baums. Das hilft bei zwei oder drei Schritten.
  • Produktregel: Du rechnest. Das geht auch bei Tausenden Möglichkeiten.
Anzahl=a1⋅a2⋅a3⋅…\text{Anzahl} = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots
Definition

Auswahl: mit oder ohne Zurücklegen, geordnet oder ungeordnet

Aus einer Urne mit nn unterscheidbaren Kugeln, zum Beispiel nummeriert, ziehst du kk Kugeln. Das Urnenmodell kennst du aus der letzten Lektion. Zwei Fragen entscheiden, wie du zählst.

Mit oder ohne Zurücklegen? Mit Zurücklegen kann dieselbe Kugel mehrmals vorkommen. Ohne Zurücklegen kommt jede Kugel höchstens einmal vor.

Geordnet oder ungeordnet? Bei einer geordneten Auswahl zählt die Reihenfolge. Das Paar (Anna, Ben) und das Paar (Ben, Anna) sind zwei verschiedene Ergebnisse. Bei einer ungeordneten Auswahl ist die Reihenfolge egal. Dann sind beide Paare dasselbe Ergebnis, nämlich die Auswahl „Anna und Ben“.

Wir behandeln drei der vier möglichen Fälle: mit Zurücklegen geordnet, ohne Zurücklegen geordnet und ohne Zurücklegen ungeordnet.

Definition

Mit Zurücklegen, geordnet

Bei jedem Zug liegen wieder alle nn Kugeln in der Urne. Jeder der kk Schritte hat also nn Möglichkeiten. Nach der Produktregel multiplizierst du kk-mal die Zahl nn. Dafür schreibst du nkn^k, gesprochen „n hoch k“. Zum Beispiel ist 104=10⋅10⋅10⋅1010^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10. Auch ein Fahrradschloss gehört in diesen Fall, denn eine Ziffer darf mehrmals vorkommen.

n⋅n⋅…⋅n=nk(k Faktoren)n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^k \quad (k \text{ Faktoren})
Definition

Ohne Zurücklegen, geordnet

Beim ersten Zug hast du nn Möglichkeiten. Die gezogene Kugel ist jetzt weg, also bleiben beim zweiten Zug nur n−1n - 1 Möglichkeiten, beim dritten n−2n - 2 und so weiter. Du multiplizierst kk Faktoren, die jeweils um 1 kleiner werden. Bei 8 Läufern und den Plätzen 1 bis 3 sind es 8⋅7⋅6=3368 \cdot 7 \cdot 6 = 336 Möglichkeiten.

Ziehst du alle nn Kugeln, zählst du, auf wie viele Arten du nn Dinge in eine Reihe legen kannst. Bei 4 Kindern in einer Reihe sind es 4⋅3⋅2⋅1=244 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.

n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…(k Faktoren)n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \quad (k \text{ Faktoren})
Definition

Ohne Zurücklegen, ungeordnet

Hier zählst du zuerst geordnet und teilst dann. Nimm vier Kinder A, B, C und D, von denen zwei ausgewählt werden. Geordnet gibt es 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 Paare: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD und DC. Je zwei Paare, etwa AB und BA, sind dieselbe Auswahl. Es gibt also 12:2=612 : 2 = 6 Auswahlen: AB, AC, AD, BC, BD und CD.

Warum teilst du durch 2? Zwei Kinder kannst du auf 2⋅1=22 \cdot 1 = 2 Arten in eine Reihe stellen. Bei drei ausgewählten Kindern kommt jede Auswahl in 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 Reihenfolgen vor, bei kk Kindern in k⋅(k−1)⋅…⋅1k \cdot (k - 1) \cdot \ldots \cdot 1 Reihenfolgen. Durch diese Zahl teilst du. Für solche Produkte gibt es später eine Kurzschreibweise. Hier schreibst du sie aus.

ungeordnet=geordnet ohne Zuru¨cklegenk⋅(k−1)⋅…⋅1\text{ungeordnet} = \frac{\text{geordnet ohne Zurücklegen}}{k \cdot (k - 1) \cdot \ldots \cdot 1}
Beispiel

Fahrradschloss

Ein Fahrradschloss hat vier Ziffernräder mit den Ziffern 0 bis 9. a) Wie viele Codes gibt es? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Code beim ersten Versuch zufällig richtig zu raten? c) Wie viele Codes gibt es, wenn keine Ziffer zweimal vorkommen darf?

a) 104=10 000b) P=110 000=0,01 %c) 10⋅9⋅8⋅7=5 040\text{a) } 10^4 = 10\,000 \qquad \text{b) } P = \frac{1}{10\,000} = 0{,}01\,\% \qquad \text{c) } 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5\,040

Bei a) darf sich jede Ziffer wiederholen, wie beim Ziehen mit Zurücklegen. Jedes der vier Räder hat 10 Möglichkeiten, also 10⋅10⋅10⋅10=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000. Das sind die Codes von 0000 bis 9999.

Bei b) ist es ein Laplace-Experiment: 1 Ergebnis ist günstig, 10 000 sind möglich. Die Wahrscheinlichkeit ist 110 000=0,0001\frac{1}{10\,000} = 0{,}0001, das sind 0,01 Prozent.

Bei c) darf keine Ziffer noch einmal vorkommen. Das ist das Ziehen ohne Zurücklegen: 10 Möglichkeiten für das erste Rad, dann 9, dann 8, dann 7. Das sind 5 040 Codes, also deutlich weniger.

Beispiel

Klassensprecherin oder Plakat

Sechs Kinder stehen zur Wahl. a) Zwei von ihnen werden Klassensprecherin und Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) Zwei von ihnen malen zusammen ein Plakat. Wie viele Möglichkeiten gibt es? c) Auf wie viele Arten können sich alle sechs Kinder in eine Reihe stellen?

a) 6⋅5=30b) 6⋅52⋅1=15c) 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720\text{a) } 6 \cdot 5 = 30 \qquad \text{b) } \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \qquad \text{c) } 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Bei a) sind die beiden Ämter verschieden. Es ist eine geordnete Auswahl ohne Zurücklegen: 6 Möglichkeiten für das erste Amt, dann 5 für das zweite.

Bei b) ist die Reihenfolge egal, denn beide malen dasselbe Plakat. Von den 30 geordneten Paaren gehören je zwei zur selben Auswahl. Du teilst durch 2 und bekommst 15.

Bei c) werden alle sechs Kinder gezogen: 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=7206 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720.

Beispiel

Gewinnspiel

Bei einem Gewinnspiel werden aus den Zahlen 1 bis 6 drei Zahlen ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge ist egal. Du tippst drei Zahlen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei richtig sind?

6⋅5⋅43⋅2⋅1=1206=20P=120=5 %\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{6} = 20 \qquad P = \frac{1}{20} = 5\,\%

Geordnet gibt es 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 Ergebnisse. Jede Auswahl von drei Zahlen kommt in 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 Reihenfolgen vor. Es gibt also 120:6=20120 : 6 = 20 verschiedene Auswahlen. Sie sind alle gleich wahrscheinlich, und nur eine davon ist dein Tipp. Die Wahrscheinlichkeit ist 120=0,05\frac{1}{20} = 0{,}05, das sind 5 Prozent.

Probe mit den Pfadregeln aus der letzten Lektion: Die erste gezogene Zahl muss eine deiner drei Zahlen sein, das hat die Wahrscheinlichkeit 36\frac{3}{6}. Die zweite muss eine der zwei übrigen sein, 25\frac{2}{5}, und die dritte die letzte, 14\frac{1}{4}. Das Produkt ist 36⋅25⋅14=6120=120\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}.

Häufige Fehler

Mit und ohne Zurücklegen verwechseln

Jemand rechnet für ein Zahlenschloss mit drei Rädern und den Ziffern 0 bis 9: 10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720 Codes.

Richtig ist

Bei einem Zahlenschloss darf sich eine Ziffer wiederholen, zum Beispiel 3-3-7. Jedes Rad hat also wieder 10 Möglichkeiten: 10⋅10⋅10=1 00010 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000. Die Rechnung 10⋅9⋅810 \cdot 9 \cdot 8 gilt nur, wenn eine Ziffer nicht zweimal vorkommen darf.

Häufige Fehler

Reihenfolge nicht beachtet

Jemand will wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus 6 Kindern 2 für ein Plakat auszuwählen, und rechnet 6⋅5=306 \cdot 5 = 30.

Richtig ist

Die 30 zählt jedes Paar zweimal, einmal als (Anna, Ben) und einmal als (Ben, Anna). Beim Plakat ist die Reihenfolge egal. Richtig ist 30:2=1530 : 2 = 15. Umgekehrt teilst du nicht, wenn die Reihenfolge wichtig ist, zum Beispiel bei Klassensprecherin und Stellvertreter.

Häufige Fehler

Durch die falsche Zahl teilen

Jemand wählt 3 von 5 Kindern aus, die Reihenfolge ist egal. Er rechnet 5⋅4⋅3=605 \cdot 4 \cdot 3 = 60 und teilt durch 3, also 20.

Richtig ist

Du teilst nicht durch 3, sondern durch die Zahl aller Reihenfolgen von 3 Kindern. Das sind 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6. Richtig ist 60:6=1060 : 6 = 10.

Zusammenfassung

  • Produktregel: Bei mehreren Schritten hintereinander multiplizierst du die Zahlen der Möglichkeiten. Zum Kontrollieren kannst du auflisten oder einen Baum zeichnen.

  • Zwei Fragen legen fest, wie du zählst: mit oder ohne Zurücklegen, geordnet (Reihenfolge zählt) oder ungeordnet (Reihenfolge egal).

  • Mit Zurücklegen, geordnet: nkn^k. Jeder Zug hat wieder nn Möglichkeiten, zum Beispiel beim Zahlenschloss.

  • Ohne Zurücklegen, geordnet: n⋅(n−1)⋅…n \cdot (n - 1) \cdot \ldots mit kk Faktoren. Alle nn Dinge in eine Reihe: n⋅(n−1)⋅…⋅1n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 1.

  • Ohne Zurücklegen, ungeordnet: Du zählst geordnet und teilst durch k⋅(k−1)⋅…⋅1k \cdot (k - 1) \cdot \ldots \cdot 1, die Zahl der Reihenfolgen von kk Dingen.

  • Für Wahrscheinlichkeiten (Laplace) zählst du günstige und mögliche Ergebnisse mit denselben Regeln und teilst.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Du wirfst eine Münze fünfmal hintereinander. Wie viele verschiedene Folgen aus Kopf und Zahl gibt es?

Aufgabe 2Numerisch

Zehn Kinder laufen ein Rennen. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die ersten drei Plätze? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 3Numerisch

Aus 7 Kindern werden 2 für den Tafeldienst ausgewählt. Die Reihenfolge ist egal. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Aufgabe 4Multiple Choice

Bei welcher Aufgabe ist die Reihenfolge egal (ungeordnete Auswahl)?

Aufgabe 5Numerisch

In einem Beutel liegen fünf Kugeln mit den Nummern 1 bis 5. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen, die Reihenfolge ist egal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du die Kugeln 1 und 2 ziehst? Gib sie in Prozent an.

Aufgabe 6Freitext

Aus 6 Kindern werden 4 für ein Theaterstück ohne feste Rollen ausgewählt. Berechne die Zahl der Möglichkeiten und erkläre, warum du dabei durch 24 teilst.