Lektion 6.2

Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramm und Pfadregeln

14 min Lesezeit

Im Beutel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln nacheinander und legst die erste nicht zurück. Du gewinnst, wenn beide rot sind. Wie wahrscheinlich ist das?

Du könntest alle Möglichkeiten aufschreiben und zählen. Bei drei oder vier Zügen wird das schnell unübersichtlich. Außerdem sind die Möglichkeiten hier nicht gleich wahrscheinlich, denn nach dem ersten Zug liegen andere Kugeln im Beutel.

In dieser Lektion lernst du ein Bild, das solche Experimente ordnet, das Baumdiagramm. Dazu kommen zwei Rechenregeln, mit denen du die Wahrscheinlichkeit sofort bekommst.

Definition

Ein-, zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente, Urnenmodell

Ein Zufallsexperiment mit einem Schritt, zum Beispiel ein Wurf, ist einstufig. Besteht es aus zwei Schritten hintereinander, ist es zweistufig. Bei drei oder mehr Schritten ist es mehrstufig. Zwei Münzwürfe sind zweistufig, drei Freiwürfe beim Basketball sind dreistufig.

Viele Experimente lassen sich als Urnenmodell beschreiben. Eine Urne ist ein Gefäß mit Kugeln, aus dem du blind ziehst, zum Beispiel unser Beutel. Legst du die gezogene Kugel zurück, ziehst du mit Zurücklegen, und der Inhalt ist bei jedem Zug gleich. Legst du sie nicht zurück, ziehst du ohne Zurücklegen, und der Inhalt ändert sich von Zug zu Zug.

Definition

Baumdiagramm und Pfad

Ein Baumdiagramm kennst du aus Klasse 5-6: Vom Start gehen Äste ab, an jedem Ast hängen für die nächste Stufe neue Äste. Neu ist, dass du an jeden Ast die Wahrscheinlichkeit für diesen Schritt schreibst. Die Äste, die von einem Punkt ausgehen, haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1, denn irgendetwas passiert immer.

Ein Weg vom Start bis zum Ende eines Astes heißt Pfad. Er beschreibt ein mögliches Gesamtergebnis, zum Beispiel „erst rot, dann blau“. Weil wir hier nicht zeichnen, beschreibst du den Baum in Worten und schreibst die Pfade in eine Tabelle.

Definition

Produktregel und Summenregel (Pfadregeln)

Produktregel (1. Pfadregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf seinen Ästen. Zwei Münzwürfe zeigen, warum. Die Hälfte aller Fälle beginnt mit Kopf, und davon endet wieder die Hälfte mit Kopf. Die Hälfte von der Hälfte ist 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. Das passt zu den vier gleich wahrscheinlichen Ergebnissen KK, KZ, ZK und ZZ.

Summenregel (2. Pfadregel): Gehört ein Ereignis zu mehreren Pfaden, addierst du die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade. Das ist die Additionsregel aus der letzten Lektion, denn verschiedene Pfade haben kein gemeinsames Ergebnis. Alle Pfade zusammen ergeben immer 1. Das ist deine Probe.

Pfad: p1⋅p2⋅…Ereignis: P(Pfad 1)+P(Pfad 2)+…\text{Pfad: } p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \qquad \text{Ereignis: } P(\text{Pfad } 1) + P(\text{Pfad } 2) + \ldots
Definition

Verknüpfte Ereignisse

Aus Ereignissen A und B kannst du neue bilden. „A und B“ heißt: Beide treten ein. „A oder B“ heißt: Mindestens eines tritt ein. „Nicht A“ ist das Gegenereignis. In einem Baum ist „erster Zug rot und zweiter Zug blau“ genau ein Pfad.

Bei „mindestens einmal“ lohnt sich das Gegenereignis. „Mindestens einmal Rot“ hat als Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“. Das ist oft nur ein Pfad. Du rechnest P(mindestens einmal)=1−P(keinmal)P(\text{mindestens einmal}) = 1 - P(\text{keinmal}).

Beispiel

Glücksrad zweimal drehen

Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder, 3 sind rot und 7 blau. Du drehst es zweimal. Bestimme die Pfadwahrscheinlichkeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Rot und für mindestens einmal Rot?

P(genau einmal Rot)=0,21+0,21=0,42P(mindestens einmal Rot)=1−0,49=0,51P(\text{genau einmal Rot}) = 0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42 \qquad P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - 0{,}49 = 0{,}51

Bei jeder Drehung ist die Wahrscheinlichkeit für Rot 0,3 und für Blau 0,7. Die erste Drehung ändert nichts an der zweiten. Der Baum hat vier Pfade:

PfadRechnungWahrscheinlichkeit
Rot, Rot0,3⋅0,30{,}3 \cdot 0{,}30,09
Rot, Blau0,3⋅0,70{,}3 \cdot 0{,}70,21
Blau, Rot0,7⋅0,30{,}7 \cdot 0{,}30,21
Blau, Blau0,7⋅0,70{,}7 \cdot 0{,}70,49

Probe: 0,09 + 0,21 + 0,21 + 0,49 = 1. Genau einmal Rot gehört zu zwei Pfaden, die du addierst. Für „mindestens einmal Rot“ nimmst du das Gegenereignis „Blau, Blau“. Zur Probe addierst du die drei Pfade mit Rot: 0,09 + 0,21 + 0,21 = 0,51.

Beispiel

Ziehen ohne Zurücklegen

Im Beutel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) zwei rote Kugeln, b) zwei verschiedene Farben, c) mindestens eine blaue Kugel?

a) 35⋅24=310b) 310+310=35c) 1−310=710\text{a) } \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} \qquad \text{b) } \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5} \qquad \text{c) } 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

Beim ersten Zug sind 3 von 5 Kugeln rot. Ist die erste Kugel rot, liegen noch 2 rote und 2 blaue im Beutel. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug 2/4. Ist die erste Kugel blau, bleiben 3 rote und 1 blaue.

PfadRechnungWahrscheinlichkeit
Rot, Rot35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}310\frac{3}{10}
Rot, Blau35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}310\frac{3}{10}
Blau, Rot25⋅34\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}310\frac{3}{10}
Blau, Blau25⋅14\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}110\frac{1}{10}

Probe: 310+310+310+110=1\frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1. Zu a) gehört der Pfad Rot, Rot. Zu b) gehören Rot, Blau und Blau, Rot. Bei c) ist das Gegenereignis „zwei rote“. Die Antwort auf die Frage aus der Einleitung ist also 310\frac{3}{10}, das sind 30 Prozent.

Beispiel

Drei Freiwürfe

Ein Basketballspieler trifft bei einem Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 (angenommen). Jeder Wurf ist unabhängig von den anderen. Er wirft dreimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) dreimal Treffer, b) mindestens einen Treffer, c) genau zwei Treffer?

a) 0,83=0,512b) 1−0,23=0,992c) 3⋅0,8⋅0,8⋅0,2=0,384\text{a) } 0{,}8^3 = 0{,}512 \qquad \text{b) } 1 - 0{,}2^3 = 0{,}992 \qquad \text{c) } 3 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}384

„Unabhängig“ heißt: Ob ein Wurf trifft, ändert nichts an der Chance beim nächsten. Der Baum hat drei Stufen und acht Pfade. Bei a) gibt es einen Pfad: Treffer, Treffer, Treffer. Bei b) ist das Gegenereignis „kein Treffer“. Dazu gehört auch nur ein Pfad mit 0,2⋅0,2⋅0,2=0,0080{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008. Bei c) gibt es drei Pfade: Treffer, Treffer, Niete oder Treffer, Niete, Treffer oder Niete, Treffer, Treffer. Jeder hat die Wahrscheinlichkeit 0,8⋅0,8⋅0,2=0,1280{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}128. Du addierst die drei gleichen Pfade und rechnest 3⋅0,128=0,3843 \cdot 0{,}128 = 0{,}384.

Häufige Fehler

Auf einem Pfad addieren

Beim Glücksrad mit 3 roten und 7 blauen Feldern rechnet jemand für zweimal Rot: 0,3+0,3=0,60{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6.

Richtig ist

Die zwei Äste liegen hintereinander auf einem Pfad. Du multiplizierst: 0,3⋅0,3=0,090{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09. Die Rechnung mit 0,6 ist auch deshalb falsch, weil zweimal Rot nie wahrscheinlicher sein kann als einmal Rot, und das hat nur 0,3. Addiert werden nur Pfade, die zum selben Ereignis gehören.

Häufige Fehler

Ohne Zurücklegen nichts ändern

Im Beutel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Jemand rechnet für zwei rote Kugeln 35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}.

Richtig ist

Nach dem ersten Zug liegen nur noch 4 Kugeln im Beutel, und davon sind 2 rot. Im zweiten Zug ist die Wahrscheinlichkeit für Rot also 24\frac{2}{4}. Richtig ist 35⋅24=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}. Die Rechnung mit 35\frac{3}{5} gilt nur beim Ziehen mit Zurücklegen.

Zusammenfassung

  • Ein Zufallsexperiment ist einstufig, zweistufig oder mehrstufig, je nach Zahl der Schritte. Das Urnenmodell beschreibt es als Ziehen von Kugeln.

  • Mit Zurücklegen bleibt der Inhalt bei jedem Zug gleich. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Zug zu Zug.

  • Im Baumdiagramm steht an jedem Ast die Wahrscheinlichkeit für diesen Schritt. Die Äste eines Punktes ergeben zusammen 1.

  • Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf seinen Ästen.

  • Summenregel: Gehört ein Ereignis zu mehreren Pfaden, addierst du deren Wahrscheinlichkeiten. Alle Pfade zusammen ergeben 1.

  • Bei „mindestens einmal“ rechnest du oft einfacher über das Gegenereignis: 1−P(keinmal)1 - P(\text{keinmal}).

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Zahl kommt? Gib sie in Prozent an. Du darfst ein Komma benutzen.

Aufgabe 2Numerisch

Ein Beutel enthält 3 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Blau? Gib sie in Prozent an.

Aufgabe 3Numerisch

Ein Beutel enthält 3 rote und 2 gelbe Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gelb sind? Gib sie in Prozent an.

Aufgabe 4Multiple Choice

Ein Ereignis gehört zu zwei Pfaden. Der eine hat die Wahrscheinlichkeit 0,2, der andere 0,15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses?

Aufgabe 5Numerisch

Bei einem Glücksrad gewinnst du mit der Wahrscheinlichkeit 0,2. Du drehst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen? Gib sie in Prozent an.

Aufgabe 6Freitext

Ein Beutel enthält 2 rote und 2 grüne Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Beschreibe das Baumdiagramm mit seinen Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Farben.