Statistische Daten auswerten: Quartile, Boxplot und Histogramm
Die Klasse 8b will wissen, wie lange die Kinder ihrer Schule für den Schulweg brauchen. Angenommen, die Schule hat 600 Kinder. Alle zu fragen dauert zu lange. Also fragt die Klasse nur zwölf Kinder und bekommt zwölf Zahlen: 4, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20 und 35 Minuten.
Wie machst du aus der Liste eine klare Aussage? Und woran erkennst du, wenn jemand Daten so zeigt, dass der Eindruck täuscht? Mittelwert, Median, Spannweite und einfache Diagramme kennst du aus Klasse 5-6. Hier kommen Klassen, Histogramm, Quartile und Boxplot dazu.
Erhebung und Stichprobe
Bei einer Erhebung sammelst du Daten, um eine Frage zu beantworten. Beim Planen formulierst du die Frage genau („Wie viele Minuten brauchst du für den Schulweg?“ statt „Ist dein Schulweg lang?“). Du legst fest, wen du fragst und wie du die Antworten festhältst.
Du befragst nur eine Stichprobe, das ist ein Teil der Gesamtheit (hier: aller Kinder der Schule). Damit die Stichprobe etwas über alle aussagt, soll sie repräsentativ sein: Sie bildet die Gesamtheit im Kleinen ab. Das klappt am ehesten, wenn die Kinder zufällig ausgewählt werden und genug Kinder dabei sind. Fragst du nur die Kinder am Fahrradständer, fehlen die Busfahrer. Dann ist die Stichprobe einseitig.
Klassen und Histogramm
Bei vielen verschiedenen Werten wird eine Häufigkeitstabelle lang. Dann fasst du die Werte in Klassen zusammen. Das sind Bereiche, die meist gleich breit sind, zum Beispiel „0 bis unter 10 Minuten“, „10 bis unter 20 Minuten“ und so weiter. „Bis unter 10“ heißt: Die 0 gehört dazu, die 10 nicht. Die 10 zählt zur nächsten Klasse. So gehört jeder Wert zu genau einer Klasse.
Ein Histogramm zeigt die Klassen als Säulen. Die Klassen stehen ohne Lücke nebeneinander auf der x-Achse. Die Höhe jeder Säule ist die Häufigkeit der Klasse, also die Zahl der Werte darin. Die Säulen berühren sich, weil die Klassen lückenlos aneinander anschließen. Zu schmale Klassen sind unübersichtlich, zu breite verstecken den Verlauf. Die einzelnen Werte einer Klasse siehst du nicht mehr.
Schulwegzeiten in Klassen
Schulwegzeiten in Klassen
Ordne die zwölf Schulwegzeiten 4, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20 und 35 Minuten in Klassen der Breite 10 Minuten ein und beschreibe das Histogramm.
| Klasse in Minuten | Werte | Häufigkeit |
|---|---|---|
| 0 bis unter 10 | 4, 5, 7, 8, 8 | 5 |
| 10 bis unter 20 | 10, 12, 14, 15, 18 | 5 |
| 20 bis unter 30 | 20 | 1 |
| 30 bis unter 40 | 35 | 1 |
Probe: 5 + 5 + 1 + 1 = 12, das sind alle Werte. Das Histogramm hat vier Säulen. Die ersten beiden haben die Höhe 5, die letzten beiden die Höhe 1. Die meisten Kinder brauchen also weniger als 20 Minuten. Der Wert 35 liegt weit rechts.
Quartile und Quartilsabstand
Der Median teilt die geordnete Datenliste in zwei Hälften. Die Quartile teilen weiter in vier Viertel. So findest du sie:
- Ordne die Werte der Größe nach.
- Bestimme den Median. Bei gerader Anzahl ist es der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
- Teile die Liste in die untere und die obere Hälfte. Bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte.
- Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte. Das obere Quartil ist der Median der oberen Hälfte.
In jedem der vier Teile liegt etwa ein Viertel der Werte. Der Quartilsabstand ist . Er sagt, wie breit der Bereich ist, in dem die mittlere Hälfte der Werte liegt. Tabellenkalkulationen rechnen Quartile oft nach einer anderen Regel und liefern dann leicht andere Werte.
Quartile bestimmen
Quartile bestimmen
Bestimme Minimum, , Median, , Maximum und Quartilsabstand der zwölf Schulwegzeiten 4, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 35. Bestimme dann und für die sieben Werte 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12.
Die Liste ist schon geordnet und hat 12 Werte. Die mittleren Werte sind der 6. und der 7., also 10 und 12. Der Median ist . Die untere Hälfte ist 4, 5, 7, 8, 8, 10. Ihre mittleren Werte sind 7 und 8, also . Die obere Hälfte ist 12, 14, 15, 18, 20, 35. Ihre mittleren Werte sind 15 und 18, also . Der Quartilsabstand ist .
Bei den sieben Werten ist der Median der 4. Wert, die 7. Er gehört zu keiner Hälfte. Die untere Hälfte ist 2, 4, 5 mit . Die obere Hälfte ist 9, 10, 12 mit .
Boxplot
Ein Boxplot zeigt fünf Zahlen auf einmal: Minimum, , Median, und Maximum. Über einer Zahlengeraden gehört dazu ein Kasten von bis , ein senkrechter Strich im Kasten beim Median und je eine Linie vom Kasten bis zum Minimum und zum Maximum. Hier beschreiben wir ihn in Worten. Der Boxplot der Schulwegzeiten hat einen Kasten von 7,5 bis 16,5 mit dem Strich bei 11. Eine Linie reicht links bis 4, die andere rechts bis 35.
So liest du ihn: Im Kasten liegt etwa die Hälfte der Werte. Etwa ein Viertel liegt auf jeder der beiden Linien. Ein langer Kasten oder eine lange Linie bedeutet: Die Werte sind dort weit verteilt. Eine kurze Linie bedeutet: Die Werte liegen dort dicht beieinander.
Lagemaße, Streumaße und Ausreißer
Lagemaße sagen, wo die Werte liegen: das arithmetische Mittel und der Median. Streumaße sagen, wie weit sie auseinanderliegen: die Spannweite und der Quartilsabstand. Ein Ausreißer ist ein Wert, der weit weg von den übrigen liegt, hier die 35 Minuten.
Ausreißer wirken verschieden stark. Das Mittel der zwölf Schulwegzeiten ist Minuten, der Median ist 11. Wäre der letzte Wert nicht 35, sondern 100, wäre das Mittel etwa 18,4 Minuten, während der Median 11 bliebe. Der Median ist also unempfindlicher. Auch die Spannweite (hier ) hängt nur von den beiden äußersten Werten ab, der Quartilsabstand (9) nicht. Bei Ausreißern beschreiben Median und Quartilsabstand die Daten meist besser.
Zwei Boxplots vergleichen
Zwei Boxplots vergleichen
Zwei Bushaltestellen werden verglichen. Die Wartezeiten in Minuten (ausgedachte Werte) wurden mit den fünf Zahlen des Boxplots angegeben:
| Minimum | Median | Maximum | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Haltestelle A | 3 | 7 | 10 | 14 | 22 |
| Haltestelle B | 4 | 6 | 10 | 20 | 30 |
Vergleiche die Lage und die Streuung.
Beide Haltestellen haben den Median 10: Etwa die Hälfte der Wartezeiten ist kürzer als 10 Minuten. Die Streuung ist verschieden. Der Kasten von B ist doppelt so lang wie der von A, denn der Quartilsabstand ist 14 statt 7. Bei B wartest du in etwa einem von vier Fällen länger als 20 Minuten, bei A länger als 14 Minuten. A ist also verlässlicher.
Täuschende Darstellungen erkennen
Eine Darstellung kann einen falschen Eindruck wecken, auch wenn jede Zahl stimmt. Typische Tricks:
- Abgeschnittene Achse: Die y-Achse beginnt nicht bei 0. Kleine Unterschiede zwischen Säulen wirken riesig.
- Ungleich breite Klassen: Eine breite Klasse enthält mehr Werte, nur weil sie breiter ist. Ihre Säule wirkt zu hoch.
- Gestreckte oder gestauchte Achsen: Ein Anstieg wirkt steil oder flach.
- Nur das passende Maß oder nur passende Personen: Es wird das Maß genannt, das gut aussieht, oder es werden nur bestimmte Personen gefragt.
Prüfe daher: Wo beginnt die Achse? Wie wurde die Stichprobe gewählt? Welches Maß wurde genannt?
Abgeschnittene Achse
Abgeschnittene Achse
Eine Firma zeigt ihren Umsatz (angenommen: 98 Tausend Euro im ersten Jahr, 102 Tausend Euro im zweiten Jahr) in einem Säulendiagramm. Die y-Achse beginnt bei 95. Was fällt auf?
Die erste Säule ist 98 − 95 = 3 Einheiten hoch, die zweite 102 − 95 = 7. Die zweite wirkt mehr als doppelt so hoch, denn 7 : 3 ist etwa 2,3. In Wirklichkeit ist der Umsatz nur um 4 Tausend Euro gestiegen, etwa 4 Prozent. Beginnt die Achse bei 0, sind die Säulen fast gleich hoch.
Quartile aus der ungeordneten Liste
Quartile aus der ungeordneten Liste
Jemand liest bei der Liste 9, 3, 7, 5, 1 den mittleren Wert ab und sagt: „Der Median ist 7.“
Erst ordnen, dann den Median suchen. Die geordnete Liste ist 1, 3, 5, 7, 9. Der mittlere Wert ist 5, also ist der Median 5. Dasselbe gilt für die Quartile: Sie stehen immer in der geordneten Liste.
Länge im Boxplot als Anzahl lesen
Länge im Boxplot als Anzahl lesen
Im Boxplot ist die rechte Linie länger als der ganze Kasten. Jemand sagt: „Rechts liegen die meisten Werte.“
Auf jeder Linie und in jeder Kastenhälfte liegt etwa ein Viertel der Werte. Die Länge zeigt nur, wie weit die Werte dort verteilt sind.
Zusammenfassung
Eine Stichprobe ist ein Teil der Gesamtheit. Sie ist repräsentativ, wenn sie die Gesamtheit im Kleinen abbildet.
Klassen sind Bereiche wie „0 bis unter 10“. Im Histogramm stehen die Säulen ohne Lücke, die Höhe ist die Häufigkeit der Klasse.
Der Median teilt die geordneten Daten in zwei Hälften. ist der Median der unteren und der Median der oberen Hälfte. Der Quartilsabstand ist .
Ein Boxplot zeigt Minimum, , Median, und Maximum. Im Kasten liegt etwa die Hälfte der Werte, auf jeder Linie etwa ein Viertel.
Lagemaße sind Mittel und Median, Streumaße sind Spannweite und Quartilsabstand. Bei Ausreißern sind Median und Quartilsabstand unempfindlicher.
Prüfe Darstellungen auf abgeschnittene Achsen, ungleich breite Klassen, gewählte Maße und einseitige Stichproben.
Übungen
Bestimme das untere Quartil der geordneten Werte 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12.
Bestimme den Quartilsabstand der geordneten Werte 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11. Du darfst ein Komma benutzen.
Ein Boxplot hat das Minimum 20, , den Median 40, und das Maximum 90. Welche Aussage stimmt?
Fünf Kinder bekommen im Monat 4, 5, 5, 6 und 40 Euro Taschengeld. Wie groß ist der Median in Euro?
Ein Säulendiagramm zeigt zwei Säulen mit den Werten 50 und 55. Die y-Achse beginnt bei 48. Was ist daran irreführend?
Du willst wissen, wie viele Stunden die Kinder deiner Schule in der Woche Sport treiben. Beschreibe, wie du die Stichprobe wählst, und nenne einen Fehler, den du vermeiden willst.