Lektion 5.2

Exponentialfunktionen

15 min Lesezeit

Angenommen, in einer Schale leben zu Beginn 100 Bakterien, und ihre Zahl verdoppelt sich jede Stunde. Nach einer Stunde sind es 200, nach zwei Stunden 400, nach drei Stunden 800. Das ist kein gleichmäßiges Wachstum wie bei einer linearen Funktion, bei der in jedem Schritt dieselbe Zahl dazukommt. Hier wird in jedem Schritt mit demselben Faktor 2 multipliziert.

Nach 10 Stunden sind es $100 \cdot 2^{10} = 102\,400$ Bakterien. Und wie viele waren es zwei Stunden vor dem Start, wenn das Wachstum schon vorher so verlief? Es waren $100 \cdot 2^{-2} = 25$ . Die Zeit steht im Exponenten. Solche Funktionen heißen Exponentialfunktionen. In dieser Lektion lernst du, wie ihre Graphen aussehen, was die Zahlen in der Gleichung bedeuten und wie du die Gleichung aus zwei Punkten bestimmst.

Definition

Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat die Gleichung $f(x) = a \cdot b^x$ . Die Variable $x$ steht im Exponenten, die Basis $b$ ist eine feste Zahl. Bei der Potenzfunktion $x^2$ war es umgekehrt. Es gilt $a \neq 0$ , $b > 0$ und $b \neq 1$ . Mit $b = 1$ wäre $f$ konstant, und für negative $b$ gäbe es keinen Wert für $x = \frac{1}{2}$ . Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen: Für Brüche im Exponenten erklärt sich $b^x$ über Wurzeln, zum Beispiel $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ , und für irrationale $x$ liefern Näherungen den Wert.

Definition

Startwert und Wachstumsfaktor

Für $x = 0$ erhältst du $f(0) = a \cdot b^0 = a$ . Der Parameter $a$ ist der Startwert. Erhöhst du $x$ um 1, gilt $f(x+1) = a \cdot b^{x+1} = b \cdot f(x)$ . Der Funktionswert wird mit $b$ multipliziert. Deshalb heißt $b$ der Wachstumsfaktor. Für $a > 0$ nehmen die Werte bei $b > 1$ zu und bei $0 < b < 1$ ab.

Aus der Prozentrechnung kennst du den Zusammenhang: Eine Zunahme um $p$ Prozent je Schritt gehört zu $b = 1 + \frac{p}{100}$ (bei 5 Prozent ist $b = 1{,}05$ ). Eine Abnahme um $p$ Prozent gehört zu $b = 1 - \frac{p}{100}$ (bei 20 Prozent ist $b = 0{,}8$ ).

Der Unterschied zur linearen Funktion: Gleiche Schritte in $x$ ergeben dort gleiche Differenzen der Funktionswerte. Bei einer Exponentialfunktion ergeben sie gleiche Quotienten.

Beispiel

Wertetabelle und Wachstumsfaktor

Berechne für $f(x) = 3 \cdot 2^x$ die Werte zu $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ und lies Startwert und Wachstumsfaktor ab.

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)$	0,75	1,5	3	6	12	24

\begin{aligned} f(-2) &= 3 \cdot 2^{-2} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \\ f(0) &= 3 \cdot 2^0 = 3 \\ f(3) &= 3 \cdot 2^3 = 24 \end{aligned}

Der Startwert ist $f(0) = 3$ . Jeder Wert ist doppelt so groß wie der links davon: $0{,}75 \cdot 2 = 1{,}5$ , $1{,}5 \cdot 2 = 3$ und so weiter. Der Wachstumsfaktor ist $b = 2$ . Die Differenzen (0,75; 1,5; 3; 6; 12) sind nicht gleich, es ist also keine lineare Funktion.

Definition

Graph, Asymptote und Parameter

Für $f(x) = b^x$ (also $a = 1$ ) gilt: Der Graph geht durch $(0\,|\,1)$ und $(1\,|\,b)$ . Alle Werte sind positiv, die Wertemenge ist $y > 0$ . Bei $b > 1$ steigt der Graph, bei $0 < b < 1$ fällt er. Die $x$ -Achse ( $y = 0$ ) ist eine waagerechte Asymptote, also eine Gerade, der sich der Graph immer weiter annähert: bei $b > 1$ nach links, bei $0 < b < 1$ nach rechts. Der Graph von $\left(\frac{1}{b}\right)^x = b^{-x}$ entsteht durch Spiegelung an der $y$ -Achse.

Der Parameter $a$ streckt den Graphen in $y$ -Richtung. Für $a < 0$ wird er an der $x$ -Achse gespiegelt, dann liegt er unterhalb der $x$ -Achse, und die Wertemenge ist $y < 0$ . Wird der Graph zusätzlich um $d$ nach oben verschoben, also $f(x) = a \cdot b^x + d$ , ist die Asymptote die Gerade $y = d$ .

Beispiel

Eigenschaften erkennen

Beschreibe $f(x) = 2^x$ , $g(x) = 3 \cdot 0{,}5^x$ und $k(x) = -2^x + 4$ .

Funktion	Verlauf	Wert bei $x = 0$	Asymptote	Wertemenge
$f$	steigt, $b = 2$	1	$y = 0$	$y > 0$
$g$	fällt, $b = 0{,}5$	3	$y = 0$	$y > 0$
$k$	fällt	3	$y = 4$	$y < 4$

Bei $f$ und $g$ steht kein Summand dabei, deshalb ist die Asymptote die $x$ -Achse. Bei $g$ ist $b = 0{,}5 < 1$ , der Graph fällt, und der Startwert $a = 3$ ist der Wert bei $x = 0$ . Bei $k$ ist $a = -1$ (Spiegelung an der $x$ -Achse), und $d = 4$ hebt alles um 4 an. Es ist $k(0) = -1 + 4 = 3$ . Die Werte $-2^x$ sind negativ, also liegen alle Werte von $k$ unter 4. Geht $x$ nach links, nähert sich der Graph von unten der Asymptote $y = 4$ .

Der Graph von 2 hoch x

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus am Graphen entlang und lies die Werte ab. Bei x = 0 ist der Wert 1, und mit jedem Schritt nach rechts verdoppelt er sich. Mit „+“ vergrößerst du den Ausschnitt links von x = 0, dort nähert sich der Graph der x-Achse. Mit „−“ siehst du, wie schnell er rechts steigt.

Beispiel

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Der Graph von $f(x) = a \cdot b^x$ geht durch die angegebenen Punkte. Bestimme $a$ und $b$ .

a) $(0\,|\,5)$ und $(2\,|\,20)$
b) $(1\,|\,12)$ und $(3\,|\,3)$

\begin{aligned} \text{a)}\; & a = f(0) = 5, \quad 5 \cdot b^2 = 20 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \\ & f(x) = 5 \cdot 2^x \\ \text{b)}\; & a \cdot b = 12, \quad a \cdot b^3 = 3 \\ & \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = b^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \frac{1}{2}, \quad a = 12 : \frac{1}{2} = 24 \\ & f(x) = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \end{aligned}

In a) liegt ein Punkt auf der $y$ -Achse, dort liest du $a$ direkt ab. Dann bleibt eine Gleichung für $b$ . Weil $b > 0$ sein muss, fällt die Lösung $b = -2$ weg. In b) teilst du die zweite Gleichung durch die erste. Dabei kürzt sich $a$ , und es bleibt $b^2 = \frac{1}{4}$ , wieder mit $b > 0$ . Aus der ersten Gleichung folgt dann $a$ . Probe: $24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3$ .

Häufige Fehler

Potenz- und Exponentialfunktion verwechseln

Jemand sagt: „ $x^2$ und $2^x$ sind dasselbe, nur anders geschrieben.“

Richtig ist

Bei $x^2$ steht die Variable in der Basis, bei $2^x$ im Exponenten. Für $x = 3$ gilt $3^2 = 9$ , aber $2^3 = 8$ . Für $x = 10$ gilt $10^2 = 100$ , aber $2^{10} = 1024$ . Für große $x$ wächst $2^x$ viel schneller als $x^2$ .

Häufige Fehler

Prozentzahl als Wachstumsfaktor

Ein Wert nimmt jedes Jahr um 5 Prozent zu. Jemand schreibt $f(x) = a \cdot 5^x$ .

Richtig ist

Der Wachstumsfaktor ist nicht die Prozentzahl, sondern $1 + \frac{5}{100} = 1{,}05$ . Richtig ist $f(x) = a \cdot 1{,}05^x$ . Mit dem Faktor 5 würde sich der Wert jedes Jahr verfünffachen. Bei einer Abnahme um 20 Prozent ist $b = 0{,}8$ , nicht 0,2.

Zusammenfassung

Eine Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ hat die Variable im Exponenten. Es gilt $a \neq 0$ , $b > 0$ und $b \neq 1$ .
$a = f(0)$ ist der Startwert. $b$ ist der Wachstumsfaktor: Bei jedem Schritt von $x$ auf $x + 1$ wird der Wert mit $b$ multipliziert. Für $a > 0$ wächst die Funktion bei $b > 1$ und nimmt bei $0 < b < 1$ ab.
Eine Zunahme um $p$ Prozent gehört zu $b = 1 + \frac{p}{100}$ , eine Abnahme um $p$ Prozent zu $b = 1 - \frac{p}{100}$ .
Der Graph von $b^x$ liegt oberhalb der $x$ -Achse, geht durch $(0\,|\,1)$ und nähert sich der $x$ -Achse als Asymptote. Bei $f(x) = a \cdot b^x + d$ ist die Asymptote $y = d$ .
Aus zwei Punkten bestimmst du $a$ und $b$ mit zwei Gleichungen. Teilst du die eine durch die andere, kürzt sich $a$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $f(2)$ für $f(x) = 4 \cdot 3^x$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Wert startet bei 50 und nimmt bei jedem Schritt von $x$ auf $x + 1$ um 20 Prozent ab. Welche Funktion passt?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Wertemenge hat $f(x) = -2 \cdot 3^x$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Der Graph von $f(x) = a \cdot b^x$ geht durch $(0\,|\,2)$ und $(3\,|\,54)$ . Berechne $f(4)$ .

Aufgabe 5Freitext

Erkläre an einer Wertetabelle, woran du eine lineare Funktion und woran du eine Exponentialfunktion erkennst.

Lektion 5.2 · Exponentialfunktionen und Logarithmus

Exponentialfunktionen

Definition

Exponentialfunktion

Definition

Startwert und Wachstumsfaktor

Der Unterschied zur linearen Funktion: Gleiche Schritte in $x$ ergeben dort gleiche Differenzen der Funktionswerte. Bei einer Exponentialfunktion ergeben sie gleiche Quotienten.

Beispiel

Wertetabelle und Wachstumsfaktor

Berechne für $f(x) = 3 \cdot 2^x$ die Werte zu $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ und lies Startwert und Wachstumsfaktor ab.

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)$	0,75	1,5	3	6	12	24

\begin{aligned} f(-2) &= 3 \cdot 2^{-2} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \\ f(0) &= 3 \cdot 2^0 = 3 \\ f(3) &= 3 \cdot 2^3 = 24 \end{aligned}

Definition

Graph, Asymptote und Parameter

Beispiel

Eigenschaften erkennen

Beschreibe $f(x) = 2^x$ , $g(x) = 3 \cdot 0{,}5^x$ und $k(x) = -2^x + 4$ .

Funktion	Verlauf	Wert bei $x = 0$	Asymptote	Wertemenge
$f$	steigt, $b = 2$	1	$y = 0$	$y > 0$
$g$	fällt, $b = 0{,}5$	3	$y = 0$	$y > 0$
$k$	fällt	3	$y = 4$	$y < 4$

Beispiel

Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Der Graph von $f(x) = a \cdot b^x$ geht durch die angegebenen Punkte. Bestimme $a$ und $b$ .

a) $(0\,|\,5)$ und $(2\,|\,20)$
b) $(1\,|\,12)$ und $(3\,|\,3)$

\begin{aligned} \text{a)}\; & a = f(0) = 5, \quad 5 \cdot b^2 = 20 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \\ & f(x) = 5 \cdot 2^x \\ \text{b)}\; & a \cdot b = 12, \quad a \cdot b^3 = 3 \\ & \frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = b^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \frac{1}{2}, \quad a = 12 : \frac{1}{2} = 24 \\ & f(x) = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \end{aligned}

Häufige Fehler

Potenz- und Exponentialfunktion verwechseln

Jemand sagt: „ $x^2$ und $2^x$ sind dasselbe, nur anders geschrieben.“

Häufige Fehler

Prozentzahl als Wachstumsfaktor

Ein Wert nimmt jedes Jahr um 5 Prozent zu. Jemand schreibt $f(x) = a \cdot 5^x$ .

Zusammenfassung

Eine Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ hat die Variable im Exponenten. Es gilt $a \neq 0$ , $b > 0$ und $b \neq 1$ .
$a = f(0)$ ist der Startwert. $b$ ist der Wachstumsfaktor: Bei jedem Schritt von $x$ auf $x + 1$ wird der Wert mit $b$ multipliziert. Für $a > 0$ wächst die Funktion bei $b > 1$ und nimmt bei $0 < b < 1$ ab.
Eine Zunahme um $p$ Prozent gehört zu $b = 1 + \frac{p}{100}$ , eine Abnahme um $p$ Prozent zu $b = 1 - \frac{p}{100}$ .
Der Graph von $b^x$ liegt oberhalb der $x$ -Achse, geht durch $(0\,|\,1)$ und nähert sich der $x$ -Achse als Asymptote. Bei $f(x) = a \cdot b^x + d$ ist die Asymptote $y = d$ .
Aus zwei Punkten bestimmst du $a$ und $b$ mit zwei Gleichungen. Teilst du die eine durch die andere, kürzt sich $a$ .