Eine Potenzfunktion hat die Gleichung $f(x) = x^r$ mit einem festen Exponenten $r$. Zuerst sei $r = n$ eine natürliche Zahl ($n = 1, 2, 3, \dots$). Der Graph geht dann immer durch die Punkte $(0\,|\,0)$ und $(1\,|\,1)$. Zwischen 0 und 1 gilt: Je größer $n$, desto kleiner ist $x^n$, zum Beispiel $0{,}5^2 = 0{,}25$ und $0{,}5^3 = 0{,}125$. Rechts von 1 ist es umgekehrt.

Entscheidend ist, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Dafür brauchst du zwei Begriffe. Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ gilt. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt. Bei $f(x) = x^n$ ist $(-x)^n = x^n$ für gerades $n$ und $(-x)^n = -x^n$ für ungerades $n$. Daraus folgt:

Je größer $n$, desto flacher verläuft der Graph nahe bei 0 und desto steiler weit draußen.

Für $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ mit natürlichem $n$ darf $x$ nicht 0 sein, denn durch 0 teilst du nicht. Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen außer 0, der Graph hat zwei getrennte Äste. Für $n = 1$ kennst du ihn als Hyperbel von den antiproportionalen Zuordnungen. Eine Wertetabelle für $f(x) = x^{-2}$ zeigt das Verhalten:

Je größer $x$ wird, desto näher liegt der Wert bei 0, ohne 0 je zu erreichen. Je näher $x$ an 0 liegt, desto größer wird der Wert. Eine Gerade, der sich der Graph immer weiter annähert, heißt Asymptote. Hier ist die $x$-Achse ($y = 0$) eine waagerechte Asymptote und die $y$-Achse ($x = 0$) eine senkrechte Asymptote.

Die Regeln zur Symmetrie bleiben dieselben. Bei geradem $n$ ist der Graph achsensymmetrisch, alle Werte sind positiv, und beide Äste liegen oberhalb der $x$-Achse. Bei ungeradem $n$ ist er punktsymmetrisch zum Ursprung, und die Äste liegen im ersten und im dritten Quadranten.

Die Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ist nur für $x \geq 0$ definiert. Ihre Wertemenge ist $y \geq 0$. Der Graph beginnt im Ursprung und steigt, wird dabei aber immer flacher. Er geht durch $(1\,|\,1)$, $(4\,|\,2)$ und $(9\,|\,3)$. Aus $y = \sqrt{x}$ folgt $x = y^2$ mit $y \geq 0$: Der Graph ist die obere Hälfte einer liegenden Parabel. Genauso ist $f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ die $n$-te Wurzelfunktion, ebenfalls für $x \geq 0$.

Allgemein gilt für einen Bruch als Exponenten:

Von der Scheitelform der Parabel kennst du die Wirkung der Parameter. Sie gilt für jede Potenzfunktion $f(x) = x^r$. Der Graph von $g(x) = a \cdot (x - c)^r + d$ entsteht aus dem Graphen von $f$ so:

• $a$ streckt in $y$-Richtung mit dem Faktor $|a|$. Für $|a| < 1$ wird er gestaucht, für $a < 0$ zusätzlich an der $x$-Achse gespiegelt.
• $c$ verschiebt um $c$ nach rechts, bei $c < 0$ nach links.
• $d$ verschiebt um $d$ nach oben, bei $d < 0$ nach unten.

Der Punkt $(0\,|\,0)$ wandert nach $(c\,|\,d)$. Asymptoten und Definitionsmenge wandern mit: Aus $x = 0$ wird $x = c$, aus $y = 0$ wird $y = d$.