Lektion 5.4

Logarithmus und Logarithmengesetze

17 min Lesezeit

Ein Kapital wächst mit 5 Prozent pro Jahr. Wann hat es sich verdoppelt? Du suchst die Zahl $x$ mit $1{,}05^x = 2$ . Durch Probieren weißt du, dass $x$ zwischen 14 und 15 liegt. Die Unbekannte steht im Exponenten. Das Wurzelziehen hilft nicht, denn es sucht die Basis und nicht den Exponenten.

Für diese Frage gibt es eine eigene Rechenart, den Logarithmus. In dieser Lektion lernst du, was ein Logarithmus ist und welche Gesetze für ihn gelten. Du lernst, wie du ihn mit dem Taschenrechner bestimmst, und wie die zugehörige Funktion aussieht.

Definition

Logarithmus

Der Logarithmus von $a$ zur Basis $b$ , geschrieben $\log_b a$ , ist die Lösung der Gleichung $b^x = a$ . Er ist also der Exponent, mit dem du $b$ potenzieren musst, um $a$ zu erhalten. Dabei sind $b > 0$ und $b \neq 1$ . Die Zahl $a$ heißt Argument des Logarithmus. Sie muss positiv sein, denn $b^x$ ist nie negativ und nie 0. Dann hat die Gleichung genau eine Lösung. Beispiele sind $\log_2 8 = 3$ (denn $2^3 = 8$ ), $\log_{10} 1000 = 3$ und $\log_5 \frac{1}{25} = -2$ .

b^x = a \iff x = \log_b a \qquad \log_b 1 = 0, \quad \log_b b = 1, \quad b^{\log_b a} = a

Definition

Dekadischer und natürlicher Logarithmus

Zwei Basen haben eigene Namen und Tasten am Taschenrechner. Der dekadische Logarithmus hat die Basis 10. Du schreibst $\lg a = \log_{10} a$ , am Rechner meist „log“. Der natürliche Logarithmus hat die Basis $e$ . Du schreibst $\ln a = \log_e a$ . Die Eulersche Zahl $e \approx 2{,}71828$ ist wie $\pi$ eine irrationale Zahl. Ihre besondere Rolle lernst du in der Oberstufe. Hier genügt: $e$ ist eine feste Basis, und $\ln$ ist ihre Taste. Es gilt zum Beispiel $\lg 1000 = 3$ , $\lg 2 \approx 0{,}301$ , $\ln e = 1$ und $\ln 2 \approx 0{,}693$ .

Definition

Logarithmengesetze

Weil Logarithmen Exponenten sind, folgen ihre Gesetze aus den Potenzgesetzen. Für $b > 0$ , $b \neq 1$ , $u > 0$ , $v > 0$ und jede reelle Zahl $r$ gilt:

Gesetz	Name
$\log_b (u \cdot v) = \log_b u + \log_b v$	Produktgesetz
$\log_b \frac{u}{v} = \log_b u - \log_b v$	Quotientengesetz
$\log_b (u^r) = r \cdot \log_b u$	Potenzgesetz
$\log_b u = \frac{\log_c u}{\log_c b}$ mit $c > 0$ , $c \neq 1$	Basiswechsel

Herleitung des Produktgesetzes: Sei $x = \log_b u$ und $y = \log_b v$ . Dann ist $u = b^x$ und $v = b^y$ , also $u \cdot v = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$ . Das heißt $\log_b (u \cdot v) = x + y$ . Quotienten- und Potenzgesetz folgen genauso aus $\frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ und $(b^x)^r = b^{rx}$ . Beim Basiswechsel setzt du $x = \log_b u$ , also $b^x = u$ , und bildest auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis $c$ . Nach dem Potenzgesetz ist $x \cdot \log_c b = \log_c u$ . Teilen durch $\log_c b$ gibt die Formel. Damit berechnest du jeden Logarithmus mit den Tasten $\lg$ oder $\ln$ .

Beispiel

Mit den Gesetzen rechnen

Berechne ohne Taschenrechner: a) $\log_2 8 + \log_2 4$ , b) $\lg 50 + \lg 2$ , c) $\log_3 54 - \log_3 2$ , d) $3 \cdot \log_4 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5 \\ \text{b)}\; & \lg (50 \cdot 2) = \lg 100 = 2 \\ \text{c)}\; & \log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = 3 \\ \text{d)}\; & 3 \cdot \log_4 2 = \log_4 2^3 = \log_4 8 = \frac{3}{2} \end{aligned}

In a) und b) fasst das Produktgesetz zwei Logarithmen zu einem zusammen. Es entsteht eine Zahl, deren Logarithmus du kennst: $2^5 = 32$ und $10^2 = 100$ . In c) nutzt du das Quotientengesetz. In d) bringst du den Faktor 3 mit dem Potenzgesetz in den Exponenten. Dann ist $\log_4 8 = \frac{3}{2}$ , denn $4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8$ .

Beispiel

Mit dem Taschenrechner

Bestimme $\log_2 20$ . Dein Taschenrechner hat keine Taste für die Basis 2.

\log_2 20 = \frac{\ln 20}{\ln 2} \approx \frac{2{,}9957}{0{,}6931} \approx 4{,}322

Du nutzt den Basiswechsel mit der Taste $\ln$ . Mit $\lg$ geht es genauso: $\frac{\lg 20}{\lg 2}$ . Zur Probe: $2^4 = 16$ und $2^5 = 32$ , also muss das Ergebnis zwischen 4 und 5 liegen. Es ist die Lösung der Gleichung $2^x = 20$ .

Beispiel

Terme umformen

Schreibe a) $\ln \left(x^2 \cdot y\right)$ als Summe und b) $3 \lg a - \lg b$ als einen Logarithmus. Es gilt $x, y, a, b > 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \ln \left(x^2 \cdot y\right) = \ln x^2 + \ln y = 2 \ln x + \ln y \\ \text{b)}\; & 3 \lg a - \lg b = \lg a^3 - \lg b = \lg \frac{a^3}{b} \end{aligned}

In a) trennt das Produktgesetz den Term, dann holt das Potenzgesetz die 2 nach vorn. In b) gehst du rückwärts: Erst wandert der Faktor 3 als Exponent in das Argument, dann fasst das Quotientengesetz die beiden Logarithmen zusammen.

Definition

Logarithmusfunktion

Die Funktion $f(x) = \log_b x$ mit $b > 0$ und $b \neq 1$ heißt Logarithmusfunktion. Ihre Definitionsmenge ist $x > 0$ , ihre Wertemenge sind alle reellen Zahlen. Eine Wertetabelle für $b = 2$ zeigt, wie sie mit $2^x$ zusammenhängt:

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8
$\log_2 x$	-2	-1	0	1	2	3

Das ist die Wertetabelle von $2^x$ mit vertauschten Zeilen: $2^{-2} = \frac{1}{4}$ und $2^3 = 8$ . Der Graph entsteht aus dem Graphen von $2^x$ , wenn die Rollen von $x$ -Achse und $y$ -Achse vertauscht werden. Deshalb geht er durch $(1\,|\,0)$ und $(b\,|\,1)$ . Er steigt für $b > 1$ und fällt für $0 < b < 1$ . Die $y$ -Achse ist senkrechte Asymptote. Der Graph steigt langsam: Für $\lg x$ wird erst bei $x = 10^6$ der Wert 6 erreicht.

Beispiel

Werte der Logarithmusfunktion

Berechne für $f(x) = \log_3 x$ die Werte $f(1)$ , $f(3)$ , $f(81)$ und $f\left(\frac{1}{9}\right)$ . Gibt es $f(-3)$ ?

\begin{aligned} f(1) &= 0 \quad \text{denn } 3^0 = 1 \\ f(3) &= 1 \quad \text{denn } 3^1 = 3 \\ f(81) &= 4 \quad \text{denn } 3^4 = 81 \\ f\left(\tfrac{1}{9}\right) &= -2 \quad \text{denn } 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \end{aligned}

Du fragst jedes Mal, mit welchem Exponenten du 3 potenzieren musst. Zahlen zwischen 0 und 1 haben einen negativen Logarithmus. $f(-3)$ gibt es nicht: Die Potenz $3^x$ ist nie negativ, also hat $3^x = -3$ keine Lösung. Das passt zur Definitionsmenge $x > 0$ .

Der Graph des Logarithmus zur Basis 2

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus am Graphen entlang. Lies ab, bei welchem x der Wert 1 und der Wert 2 erreicht wird, und vergleiche mit der Wertetabelle oben. Was passiert, wenn x gegen 0 geht? Mit „−“ vergrößerst du den Ausschnitt, sodass auch x = 8 zu sehen ist. Wie langsam steigt der Graph?

Häufige Fehler

Logarithmus einer Summe

Jemand rechnet $\log_2 (4 + 4) = \log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$ .

Richtig ist

Für eine Summe im Argument gibt es kein Gesetz. Richtig ist $\log_2 (4 + 4) = \log_2 8 = 3$ . Das Produktgesetz gilt für ein Produkt: $\log_2 (4 \cdot 4) = \log_2 4 + \log_2 4 = 4$ , und das ist $\log_2 16$ .

Häufige Fehler

Quotient der Logarithmen

Jemand rechnet $\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \log_2 \frac{8}{4} = \log_2 2 = 1$ .

Richtig ist

Das Quotientengesetz betrifft den Logarithmus eines Quotienten, nicht den Quotienten zweier Logarithmen. Richtig ist $\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Dagegen stimmt $\log_2 8 - \log_2 4 = 3 - 2 = 1 = \log_2 \frac{8}{4}$ .

Zusammenfassung

$\log_b a$ ist die Lösung der Gleichung $b^x = a$ , also der Exponent, mit dem du $b$ potenzieren musst, um $a$ zu erhalten. Es gilt $b > 0$ , $b \neq 1$ und $a > 0$ .
Dekadischer Logarithmus: $\lg a = \log_{10} a$ . Natürlicher Logarithmus: $\ln a = \log_e a$ mit $e \approx 2{,}71828$ .
Produktgesetz: $\log_b (u \cdot v) = \log_b u + \log_b v$ . Quotientengesetz: $\log_b \frac{u}{v} = \log_b u - \log_b v$ . Potenzgesetz: $\log_b (u^r) = r \cdot \log_b u$ .
Basiswechsel: $\log_b u = \frac{\ln u}{\ln b} = \frac{\lg u}{\lg b}$ . So berechnest du jeden Logarithmus mit dem Taschenrechner.
Die Logarithmusfunktion $\log_b x$ ist für $x > 0$ definiert und hat alle reellen Zahlen als Wertemenge. Ihr Graph geht durch $(1\,|\,0)$ und $(b\,|\,1)$ , die $y$ -Achse ist Asymptote.
Für eine Summe $\log_b (u + v)$ gibt es kein Gesetz.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\log_3 81$ .

Aufgabe 2Numerisch

Berechne $\lg 4 + \lg 25$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Welcher Term ist für $x, y > 0$ gleich $\log_b (x^3 \cdot y)$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von $f(x) = \log_4 x$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Berechne $\log_5 100$ mit dem Taschenrechner und runde auf drei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 6Freitext

Begründe, warum es $\log_2 (-4)$ nicht gibt.

Lektion 5.4 · Exponentialfunktionen und Logarithmus

Logarithmus und Logarithmengesetze

Definition

Logarithmus

b^x = a \iff x = \log_b a \qquad \log_b 1 = 0, \quad \log_b b = 1, \quad b^{\log_b a} = a

Definition

Dekadischer und natürlicher Logarithmus

Definition

Logarithmengesetze

Weil Logarithmen Exponenten sind, folgen ihre Gesetze aus den Potenzgesetzen. Für $b > 0$ , $b \neq 1$ , $u > 0$ , $v > 0$ und jede reelle Zahl $r$ gilt:

Gesetz	Name
$\log_b (u \cdot v) = \log_b u + \log_b v$	Produktgesetz
$\log_b \frac{u}{v} = \log_b u - \log_b v$	Quotientengesetz
$\log_b (u^r) = r \cdot \log_b u$	Potenzgesetz
$\log_b u = \frac{\log_c u}{\log_c b}$ mit $c > 0$ , $c \neq 1$	Basiswechsel

Beispiel

Mit den Gesetzen rechnen

Berechne ohne Taschenrechner: a) $\log_2 8 + \log_2 4$ , b) $\lg 50 + \lg 2$ , c) $\log_3 54 - \log_3 2$ , d) $3 \cdot \log_4 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5 \\ \text{b)}\; & \lg (50 \cdot 2) = \lg 100 = 2 \\ \text{c)}\; & \log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = 3 \\ \text{d)}\; & 3 \cdot \log_4 2 = \log_4 2^3 = \log_4 8 = \frac{3}{2} \end{aligned}

Beispiel

Mit dem Taschenrechner

Bestimme $\log_2 20$ . Dein Taschenrechner hat keine Taste für die Basis 2.

\log_2 20 = \frac{\ln 20}{\ln 2} \approx \frac{2{,}9957}{0{,}6931} \approx 4{,}322

Beispiel

Terme umformen

Schreibe a) $\ln \left(x^2 \cdot y\right)$ als Summe und b) $3 \lg a - \lg b$ als einen Logarithmus. Es gilt $x, y, a, b > 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \ln \left(x^2 \cdot y\right) = \ln x^2 + \ln y = 2 \ln x + \ln y \\ \text{b)}\; & 3 \lg a - \lg b = \lg a^3 - \lg b = \lg \frac{a^3}{b} \end{aligned}

Definition

Logarithmusfunktion

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8
$\log_2 x$	-2	-1	0	1	2	3

Beispiel

Werte der Logarithmusfunktion

Berechne für $f(x) = \log_3 x$ die Werte $f(1)$ , $f(3)$ , $f(81)$ und $f\left(\frac{1}{9}\right)$ . Gibt es $f(-3)$ ?

\begin{aligned} f(1) &= 0 \quad \text{denn } 3^0 = 1 \\ f(3) &= 1 \quad \text{denn } 3^1 = 3 \\ f(81) &= 4 \quad \text{denn } 3^4 = 81 \\ f\left(\tfrac{1}{9}\right) &= -2 \quad \text{denn } 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \end{aligned}

Häufige Fehler

Logarithmus einer Summe

Jemand rechnet $\log_2 (4 + 4) = \log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$ .

Häufige Fehler

Quotient der Logarithmen

Jemand rechnet $\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \log_2 \frac{8}{4} = \log_2 2 = 1$ .

Zusammenfassung

$\log_b a$ ist die Lösung der Gleichung $b^x = a$ , also der Exponent, mit dem du $b$ potenzieren musst, um $a$ zu erhalten. Es gilt $b > 0$ , $b \neq 1$ und $a > 0$ .
Dekadischer Logarithmus: $\lg a = \log_{10} a$ . Natürlicher Logarithmus: $\ln a = \log_e a$ mit $e \approx 2{,}71828$ .
Produktgesetz: $\log_b (u \cdot v) = \log_b u + \log_b v$ . Quotientengesetz: $\log_b \frac{u}{v} = \log_b u - \log_b v$ . Potenzgesetz: $\log_b (u^r) = r \cdot \log_b u$ .
Basiswechsel: $\log_b u = \frac{\ln u}{\ln b} = \frac{\lg u}{\lg b}$ . So berechnest du jeden Logarithmus mit dem Taschenrechner.
Die Logarithmusfunktion $\log_b x$ ist für $x > 0$ definiert und hat alle reellen Zahlen als Wertemenge. Ihr Graph geht durch $(1\,|\,0)$ und $(b\,|\,1)$ , die $y$ -Achse ist Asymptote.
Für eine Summe $\log_b (u + v)$ gibt es kein Gesetz.