Lektion 5.5

Exponentialgleichungen

16 min Lesezeit

Ein Kapital von 2000 Euro wird mit 3 Prozent pro Jahr verzinst. Nach wie vielen Jahren sind es 3000 Euro? Mit der Zinseszinsformel lautet die Frage: Für welches $n$ gilt $2000 \cdot 1{,}03^n = 3000$ ? Die Unbekannte steht im Exponenten.

Dieselbe Art von Frage stellst du bei Zerfall und Wachstum: Wann ist nur noch die Hälfte einer Substanz da? Wann ist eine Bakterienzahl auf das Zehnfache gestiegen? In dieser Lektion lernst du drei Wege, solche Gleichungen zu lösen: Probieren, den Graphen ablesen und Logarithmieren.

Definition

Exponentialgleichung

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten steht, zum Beispiel $2^x = 20$ oder $5 \cdot 3^x + 7 = 142$ . Die Basis ist positiv und nicht 1. Weil $b^x$ nur positive Werte annimmt, hat $b^x = c$ für $c \leq 0$ keine Lösung. Für $c > 0$ gibt es genau eine Lösung, den Logarithmus $x = \log_b c$ .

Es gibt drei Wege:

Systematisches Probieren: Du setzt Werte ein und grenzt die Lösung ein, bis sie genau genug ist. Das geht immer, ist aber mühsam.
Grafisch: Du zeichnest den Graphen von $f(x) = b^x$ und die waagerechte Gerade $y = c$ . Die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts ist die Lösung. Das Ablesen ist ungenau.
Logarithmieren: Du stellst die Potenz frei, sodass $b^x = c$ dasteht. Dann ist $x = \log_b c$ . Das Ergebnis liefert der Basiswechsel.

b^x = c \iff x = \log_b c = \frac{\ln c}{\ln b} \qquad (c > 0)

Beispiel

Probieren und Logarithmieren

Löse $2^x = 20$ durch Probieren und durch Logarithmieren.

\begin{aligned} & 2^4 = 16, \quad 2^5 = 32 \Rightarrow 4 < x < 5 \\ & 2^{4{,}3} \approx 19{,}70, \quad 2^{4{,}4} \approx 21{,}11 \Rightarrow 4{,}3 < x < 4{,}4 \\ & x = \log_2 20 = \frac{\ln 20}{\ln 2} \approx \frac{2{,}9957}{0{,}6931} \approx 4{,}322 \end{aligned}

Beim Probieren legst du erst die ganzen Zahlen fest, dann die Zehntel und so weiter. Jede Stelle kostet neue Versuche. Beim Logarithmieren ist das Ergebnis sofort genau. Probe: $2^{4{,}322} \approx 20$ .

Grafisch lösen

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus am Graphen entlang, bis der Wert ungefähr 20 beträgt. Bei welchem x ist das? Vergleiche mit dem Ergebnis der Rechnung oben und überlege, warum das Ablesen ungenauer ist.

Beispiel

Gleichungen umformen und lösen

Löse a) $5 \cdot 3^x + 7 = 142$ , b) $3 \cdot 2^x - 5 = 40$ , c) $7^x = 0{,}2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 5 \cdot 3^x = 135 \Rightarrow 3^x = 27 \Rightarrow x = 3 \\ \text{b)}\; & 3 \cdot 2^x = 45 \Rightarrow 2^x = 15 \Rightarrow x = \frac{\ln 15}{\ln 2} \approx 3{,}907 \\ \text{c)}\; & x = \frac{\ln 0{,}2}{\ln 7} \approx \frac{-1{,}6094}{1{,}9459} \approx -0{,}827 \end{aligned}

Zuerst stellst du die Potenz frei: Summanden auf die andere Seite bringen, dann durch den Faktor vor der Potenz teilen. Erst danach logarithmierst du. In a) ist 27 eine Potenz von 3, hier genügt Probieren. In b) brauchst du den Logarithmus. In c) ist die rechte Seite kleiner als 1, also ist die Lösung negativ. Das passt: $7^{-1} \approx 0{,}143$ und $7^0 = 1$ , die Lösung liegt zwischen $-1$ und 0.

Beispiel

Anwendungen

a) 2000 Euro werden mit 3 Prozent pro Jahr verzinst, die Zinsen werden am Jahresende gutgeschrieben. Nach wie vielen Jahren sind es mindestens 3000 Euro?
b) Eine Substanz nimmt angenommen jede Stunde um 10 Prozent ab. Nach welcher Zeit ist nur noch die Hälfte übrig?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2000 \cdot 1{,}03^n = 3000 \Rightarrow 1{,}03^n = 1{,}5 \\ & n = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}4055}{0{,}0296} \approx 13{,}72 \\ \text{b)}\; & B_0 \cdot 0{,}9^t = 0{,}5 \cdot B_0 \Rightarrow 0{,}9^t = 0{,}5 \\ & t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx \frac{-0{,}6931}{-0{,}1054} \approx 6{,}58 \end{aligned}

In a) teilst du durch 2000 und logarithmierst. Weil die Zinsen erst am Jahresende gutgeschrieben werden, zählen nur ganze Jahre: Nach 13 Jahren sind es etwa 2937,07 Euro, nach 14 Jahren etwa 3025,18 Euro. Es dauert also 14 Jahre. In b) kürzt sich der Startwert $B_0$ . Beide Logarithmen sind negativ, der Quotient ist positiv. Die Halbwertszeit beträgt etwa 6,6 Stunden.

Häufige Fehler

Durch die Basis teilen

Jemand löst $2^x = 20$ so: „ $x = 20 : 2 = 10$ .“

Richtig ist

Die Unbekannte steht im Exponenten, du kannst nicht durch die Basis teilen. Die Probe zeigt den Fehler: $2^{10} = 1024$ , nicht 20. Richtig ist $x = \log_2 20 \approx 4{,}32$ .

Häufige Fehler

Zu früh logarithmieren

Jemand löst $2^x + 3 = 11$ so: „ $x \cdot \ln 2 + \ln 3 = \ln 11$ , also $x = \frac{\ln 11 - \ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}87$ .“

Richtig ist

Den Logarithmus einer Summe kannst du nicht aufteilen: $\ln (2^x + 3)$ ist nicht gleich $x \cdot \ln 2 + \ln 3$ . Stelle zuerst die Potenz frei: $2^x = 8$ , also $x = 3$ . Erst danach logarithmierst du, falls nötig.

Zusammenfassung

In einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten. Die Gleichung $b^x = c$ hat für $c > 0$ genau eine Lösung und für $c \leq 0$ keine.
Lösungswege sind systematisches Probieren (die Lösung eingrenzen), grafisches Lösen (Schnittpunkt ablesen) und Logarithmieren.
Beim Logarithmieren stellst du erst die Potenz frei, dann ist $x = \log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$ .
Den Logarithmus bildest du nie von einzelnen Summanden. Subtrahiere und teile zuerst.
Anwendungen: Zeit bis zu einem Kapitalziel, Verdopplungszeit $T_V = \frac{\ln 2}{\ln q}$ und Halbwertszeit $T_H = \frac{\ln 0{,}5}{\ln q}$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Löse $5 \cdot 2^x = 160$ .

Aufgabe 2Numerisch

Löse $2^x = 50$ mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 3Multiple Choice

Wie viele Lösungen hat die Gleichung $3^x = -9$ ?

Aufgabe 4Numerisch

1000 Euro werden mit 5 Prozent pro Jahr verzinst, die Zinsen werden am Jahresende gutgeschrieben. Nach wie vielen ganzen Jahren sind es erstmals mehr als 1500 Euro?

Aufgabe 5Numerisch

Eine Substanz nimmt angenommen jeden Tag um 15 Prozent ab. Nach wie vielen Tagen ist nur noch die Hälfte übrig? Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 6Freitext

Löse $2 \cdot 5^x - 3 = 47$ und schreibe den Rechenweg auf.