Eine Größe ändert sich in gleich langen Zeitschritten. Sie wächst linear, wenn in jedem Schritt derselbe Betrag $d$ dazukommt. Dann ist die Differenz benachbarter Werte konstant. Sie wächst exponentiell, wenn in jedem Schritt mit demselben Faktor $q$ multipliziert wird. Dann ist der Quotient benachbarter Werte konstant. Für $q > 1$ ist es Wachstum, für $0 < q < 1$ ein Zerfall, also eine Abnahme. In Anwendungen heißt der Startwert $B_0$, und die Variable ist die Zeit $t$. Der exponentielle Prozess ist die Funktion $a \cdot b^x$ aus der letzten Lektion mit anderen Buchstaben.

Ob ein Prozess linear oder exponentiell ist, prüfst du in einer Wertetabelle mit Differenzen und Quotienten:

Bei Reihe A kommen immer 20 dazu, sie ist linear. Bei Reihe B ist jeder Wert das 1,2-Fache des vorigen ($96 : 80 = 1{,}2$ und $115{,}2 : 96 = 1{,}2$), sie ist exponentiell.

Du kannst einen exponentiellen Prozess auf zwei Arten beschreiben. Iterativ gibst du den Startwert und die Vorschrift für den nächsten Schritt an und rechnest Schritt für Schritt. Explizit gibst du eine Formel an, mit der du jeden Wert direkt berechnest. Nach $t$ Schritten wurde $t$-mal mit $q$ multipliziert.

Der Faktor $q$ folgt aus der Änderungsrate: Wächst eine Größe je Schritt um $p$ Prozent, ist $q = 1 + \frac{p}{100}$. Nimmt sie um $p$ Prozent ab, ist $q = 1 - \frac{p}{100}$.

Wird ein Kapital $K_0$ zu $p$ Prozent pro Jahr angelegt und werden die Zinsen am Jahresende dem Kapital zugeschlagen, wächst das Kapital exponentiell mit $q = 1 + \frac{p}{100}$. Nach $n$ ganzen Jahren beträgt es $K_n$. Das ist die Zinseszinsformel. Ohne Zinseszins kämen jedes Jahr nur die Zinsen vom Startkapital dazu, das wäre lineares Wachstum.

Bei exponentiellem Wachstum braucht die Größe immer gleich lang, um sich zu verdoppeln. Diese Zeit heißt Verdopplungszeit $T_V$. Bei exponentiellem Zerfall heißt die Zeit, nach der nur noch die Hälfte übrig ist, Halbwertszeit $T_H$. Der Grund: Soll $B_0 \cdot q^T = 2 B_0$ gelten, kürzt sich $B_0$, und es bleibt $q^T = 2$. Der Startwert spielt keine Rolle.

Kennst du $T_V$ oder $T_H$, schreibst du die Formel so, mit $t$ in derselben Zeiteinheit wie $T$. Der Exponent zählt, wie viele Verdopplungen oder Halbierungen vergangen sind. Er darf auch ein Bruch sein, wenn $t$ kein Vielfaches von $T$ ist.

Kein Wachstum läuft ewig exponentiell weiter: Ein Akku lädt nicht über 100 Prozent, ein Tee wird nicht kälter als der Raum. Bei begrenztem Wachstum nähert sich die Größe einer festen Grenze, der Schranke $S$. Liegt der Startwert über $S$, nimmt die Größe ab, wie bei einem heißen Tee, der sich der Raumtemperatur nähert. Der Abstand zur Schranke nimmt dabei exponentiell ab: $S - B(t) = (S - B_0) \cdot q^t$ mit $0 < q < 1$. Aufgelöst nach $B(t)$ ergibt das die Formel unten. Ihr Graph hat die Gerade $y = S$ als waagerechte Asymptote. Je näher die Größe an $S$ kommt, desto kleiner wird der Zuwachs je Schritt.