Zwei Körper stehen auf derselben Ebene und sind gleich hoch. Eine Ebene parallel zur Standebene schneidet beide Körper. Dabei entstehen Schnittflächen. Haben bei jeder solchen Ebene die beiden Schnittflächen denselben Flächeninhalt, dann haben die Körper dasselbe Volumen.

Die Beweisidee: Zerlege beide Körper in sehr dünne Scheiben gleicher Dicke. Jede Scheibe im einen Körper hat eine gleich große Scheibe im anderen, also stimmen die Volumina überein. Streng bewiesen wird das Prinzip erst in der Oberstufe.

Eine Pyramide oder ein Kegel hat die Grundfläche $G$ und die Höhe $h$. Du schneidest im Abstand $t$ von der Spitze parallel zur Grundfläche. Der Teil zwischen der Spitze und dem Schnitt ist eine zentrische Streckung des ganzen Körpers mit der Spitze als Zentrum und dem Faktor $k = \frac{t}{h}$ (Strahlensatz). Längen werden mit $k$ multipliziert, Flächeninhalte mit $k^2$.

Die Größe der Schnittfläche hängt also nur von $G$, $h$ und $t$ ab, nicht von der Form der Grundfläche und nicht von der Lage der Spitze. Der Abstand $t$ von der Spitze bestimmt dabei die Höhe $h - t$ über der Grundfläche, wie es Cavalieri verlangt. Zwei Pyramiden oder Kegel mit gleichem $G$ und gleichem $h$ haben in jedem Abstand gleich große Schnittflächen und nach Cavalieri dasselbe Volumen.

Schritt 1: Würfel. Ein Würfel mit der Kante $a$ lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerlegen. Ihre Spitze ist dieselbe Würfelecke. Ihre Grundflächen sind die drei Würfelflächen, die diese Ecke nicht berühren. Jede Pyramide hat $G = a^2$ und $h = a$. Drei davon füllen den Würfel, also ist $V = \frac{1}{3} a^3$.

Schritt 2: andere Höhe. Streckst du eine solche Pyramide senkrecht auf die Höhe $h$, bleiben alle Schnittflächen gleich groß. Alle Schichten werden aber im Verhältnis $\frac{h}{a}$ dicker. Das Volumen wächst im selben Verhältnis: $V = \frac{1}{3} a^3 \cdot \frac{h}{a} = \frac{1}{3} a^2 h$.

Schritt 3: beliebige Pyramide. Jede Pyramide mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ hat nach dem vorigen Abschnitt in jedem Abstand die gleichen Schnittflächen wie die Pyramide aus Schritt 2 mit $a^2 = G$. Nach Cavalieri hat sie dasselbe Volumen. Für den Kegel gilt dasselbe mit $G = \pi r^2$.

Vergleiche zwei Körper, die auf derselben Ebene stehen und beide die Höhe $r$ haben:

Körper 1 ist eine Halbkugel mit dem Radius $r$. Körper 2 ist ein Zylinder mit dem Radius $r$ und der Höhe $r$, aus dem ein Kegel herausgenommen ist. Der Kegel hat die Deckfläche des Zylinders als Grundfläche und seine Spitze im Mittelpunkt der Zylindergrundfläche.

Schneide in der Höhe $t$ mit $0 \le t \le r$. Bei der Halbkugel entsteht ein Kreis mit dem Radius $\rho$. Nach Pythagoras ist $\rho^2 + t^2 = r^2$, also $A_1 = \pi (r^2 - t^2)$. Beim Körper 2 ist der Kegelquerschnitt in der Höhe $t$ ein Kreis mit dem Radius $t$, denn der Kegel hat in der Höhe $r$ den Radius $r$. Es bleibt ein Kreisring mit $A_2 = \pi r^2 - \pi t^2$. Die Schnittflächen sind gleich, also sind die Volumina gleich:

Drehst du eine ebene Fläche um eine Gerade in ihrer Ebene (die Rotationsachse), überstreicht sie einen Rotationskörper. Ein Rechteck um eine seiner Seiten ergibt einen Zylinder. Ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete ergibt einen Kegel. Ein Halbkreis um seinen Durchmesser ergibt eine Kugel.

Schneidest du senkrecht zur Achse, entsteht eine Kreisscheibe oder ein Kreisring. Der Radius ist der Abstand der Randlinie der Fläche von der Achse. So kannst du das Volumen aus bekannten Körpern zusammensetzen.