Lektion 3.2

Pyramide, Kegel und Kugel

16 min Lesezeit

Eine Eistüte besteht aus einem Waffelkegel und einer Kugel Eis. Wie viel Eis passt in die Waffel? Wie viel Teig braucht der Bäcker für die Waffel? Solche Fragen stellen sich auch bei einem Zeltdach, bei einem Kirchturm mit spitzem Dach oder bei einem Fußball.

Von Prisma und Zylinder kennst du Netz, Oberflächeninhalt und Volumen aus Klasse 7-8. Jetzt kommen drei Körper dazu, die in einer Spitze enden oder ganz rund sind: Pyramide, Kegel und Kugel. Du lernst ihre Formeln und wendest sie auch auf zusammengesetzte Körper an. Warum die Volumenformeln stimmen, zeigt die nächste Lektion.

Definition

Pyramide

Eine Pyramide hat als Grundfläche GG ein Vieleck. Von jedem Eckpunkt führt eine Kante zur Spitze SS. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Zusammen bilden sie den Mantel mit dem Flächeninhalt MM. Die Höhe hh ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche.

Wir betrachten gerade Pyramiden mit quadratischer Grundfläche (Kantenlänge aa). Ihre Spitze liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der Diagonalen. Dann sind die vier Seitenflächen gleich große gleichschenklige Dreiecke. Die Seitenhöhe hsh_s ist die Höhe eines dieser Dreiecke. Sie bildet mit der Pyramidenhöhe hh und der halben Kante a2\frac{a}{2} ein rechtwinkliges Dreieck.

Das Netz besteht aus dem Quadrat und vier Dreiecken, die an seinen Seiten liegen. Im Schrägbild zeichnest du das Quadrat als Parallelogramm, bei dem die Tiefe halbiert und unter 45∘45^\circ gezeichnet wird. Die Höhe zeichnest du senkrecht nach oben, vom Schnittpunkt der Diagonalen aus und in wahrer Länge. Dann verbindest du die Spitze mit den vier Ecken.

hs=h2+(a2)2M=4⋅12 a hs=2 a hsO=a2+2 a hsV=13 G hh_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \qquad M = 4 \cdot \frac{1}{2}\, a\, h_s = 2\, a\, h_s \qquad O = a^2 + 2\, a\, h_s \qquad V = \frac{1}{3}\, G\, h
Beispiel

Quadratische Pyramide

Eine gerade Pyramide hat die Grundkante a=6a = 6 cm und die Höhe h=4h = 4 cm. Berechne Seitenhöhe, Volumen und Oberflächeninhalt.

hs=42+32=25=5 cmV=13⋅62⋅4=48 cm3M=2⋅6⋅5=60 cm2O=62+60=96 cm2\begin{aligned} h_s &= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm} \\ V &= \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = 48\,\text{cm}^3 \\ M &= 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2 \\ O &= 6^2 + 60 = 96\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Die halbe Kante ist 3 cm. Die Seitenhöhe ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras aus 4 cm und 3 cm. Das Netz besteht aus einem Quadrat mit der Seite 6 cm und vier gleichschenkligen Dreiecken mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 5 cm. Jedes Dreieck hat 12⋅6⋅5=15\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 cm², vier Dreiecke haben 60 cm².

Definition

Kegel

Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis mit dem Radius rr. Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt in der Höhe hh. Die Mantellinie ss ist die Strecke von der Spitze zu einem Punkt des Kreisrands. Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt s2=r2+h2s^2 = r^2 + h^2.

Das Netz besteht aus dem Grundkreis und dem abgewickelten Mantel. Der Mantel ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius ss. Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises, also b=2πrb = 2\pi r. Mit A=12brA = \frac{1}{2} b r aus der letzten Lektion (dort mit Radius ss) folgt M=12⋅2πr⋅s=πrsM = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot s = \pi r s. Der Mittelpunktswinkel des Ausschnitts erfüllt α360∘⋅2πs=2πr\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi s = 2\pi r, also α=rs⋅360∘\alpha = \frac{r}{s} \cdot 360^\circ.

M=π r sO=πr2+πrs=πr (r+s)V=13 πr2hM = \pi\, r\, s \qquad O = \pi r^2 + \pi r s = \pi r\,(r + s) \qquad V = \frac{1}{3}\, \pi r^2 h
Beispiel

Waffelkegel

Ein Kegel hat den Radius r=5r = 5 cm und die Höhe h=12h = 12 cm. Berechne Mantellinie, Volumen, Mantelfläche, Oberflächeninhalt und den Mittelpunktswinkel des abgewickelten Mantels.

s=52+122=13 cmV=13π⋅25⋅12=100π≈314,16 cm3M=π⋅5⋅13=65π≈204,20 cm2O=25π+65π=90π≈282,74 cm2α=513⋅360∘≈138,5∘\begin{aligned} s &= \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\,\text{cm} \\ V &= \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}16\,\text{cm}^3 \\ M &= \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \approx 204{,}20\,\text{cm}^2 \\ O &= 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282{,}74\,\text{cm}^2 \\ \alpha &= \frac{5}{13} \cdot 360^\circ \approx 138{,}5^\circ \end{aligned}

Bei der Volumenformel benutzt du die Höhe hh, bei der Mantelformel die Mantellinie ss. Der Mantel wird also ein Kreisausschnitt mit dem Radius 13 cm und einem Winkel von etwa 138,5∘138{,}5^\circ.

Definition

Kugel

Eine Kugel besteht aus allen Punkten im Raum, die von einem festen Punkt MM höchstens den Abstand rr haben. MM heißt Mittelpunkt, rr der Radius. Die Oberfläche der Kugel hat keine Kanten und lässt sich nicht ohne Dehnen oder Falten flach legen. Darum gibt es kein Netz. Die Oberfläche ist viermal so groß wie ein Kreis mit demselben Radius.

O=4πr2V=43 πr3O = 4\pi r^2 \qquad V = \frac{4}{3}\, \pi r^3
Beispiel

Kugeln berechnen

a) Berechne Oberflächeninhalt und Volumen einer Kugel mit r=6r = 6 cm. b) Eine Kugel hat das Volumen 36π36\pi cm³. Berechne ihren Radius.

a)  O=4π⋅36=144π≈452,39 cm2V=43π⋅216=288π≈904,78 cm3b)  43πr3=36π  ⇒  r3=27  ⇒  r=3 cm\begin{aligned} \text{a)}\; & O = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}39\,\text{cm}^2 \\ & V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}78\,\text{cm}^3 \\ \text{b)}\; & \frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \;\Rightarrow\; r^3 = 27 \;\Rightarrow\; r = 3\,\text{cm} \end{aligned}

Bei a) rechnest du erst 63=2166^3 = 216 und teilst dann durch 3, bevor du mit 4 malnimmst: 216:3=72216 : 3 = 72 und 72⋅4=28872 \cdot 4 = 288. Bei b) teilst du beide Seiten durch π\pi und multiplizierst mit 34\frac{3}{4}: 36⋅34=2736 \cdot \frac{3}{4} = 27. Dann ziehst du die dritte Wurzel.

Beispiel

Zusammengesetzter Körper: ein Rundzelt

Ein Rundzelt besteht aus einem Zylinder mit dem Radius 3 m und der Höhe 2 m. Darauf sitzt ein Kegeldach mit der Höhe 4 m. Der Boden gehört nicht zur Plane. Berechne das Volumen und die Fläche der Plane.

s=32+42=5 mV=π⋅32⋅2+13π⋅32⋅4=18π+12π=30π≈94,25 m3Plane=2π⋅3⋅2+π⋅3⋅5=12π+15π=27π≈84,82 m2\begin{aligned} s &= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{m} \\ V &= \pi \cdot 3^2 \cdot 2 + \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 18\pi + 12\pi = 30\pi \approx 94{,}25\,\text{m}^3 \\ \text{Plane} &= 2\pi \cdot 3 \cdot 2 + \pi \cdot 3 \cdot 5 = 12\pi + 15\pi = 27\pi \approx 84{,}82\,\text{m}^2 \end{aligned}

Zerlege den Körper in einfache Teile und rechne jeden Teil einzeln. Beim Volumen addierst du die Teile. Bei der Plane zählt nur die äußere Fläche: der Zylindermantel 2πrh2\pi r h und der Kegelmantel. Die Kreisfläche, auf der das Dach sitzt, liegt innen und zählt nicht mit.

Häufige Fehler

Höhe und Seitenhöhe verwechselt

Jemand berechnet den Mantel der Pyramide mit a=6a = 6 cm und h=4h = 4 cm als 4⋅12⋅6⋅4=484 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 48 cm².

Richtig ist

Die Dreiecke des Mantels haben die Höhe hsh_s, nicht die Pyramidenhöhe hh. Die Pyramidenhöhe steht senkrecht auf der Grundfläche und liegt im Inneren. Richtig ist hs=5h_s = 5 cm und M=4⋅12⋅6⋅5=60M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60 cm². Die Höhe hh gehört in die Volumenformel.

Häufige Fehler

Mantellinie und Höhe beim Kegel

Jemand rechnet für den Kegel mit r=5r = 5 cm, h=12h = 12 cm das Volumen mit ss und bekommt 13π⋅25⋅13\frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 13.

Richtig ist

Im Volumen steht die Höhe h=12h = 12 cm, denn die Mantellinie liegt schräg am Rand. Richtig ist V=13π⋅25⋅12=100πV = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi cm³. Die Mantellinie ss brauchst du nur für die Mantelfläche.

Häufige Fehler

Doppelter Radius, doppeltes Volumen

Jemand meint: „Verdoppele ich den Radius einer Kugel, wird auch das Volumen doppelt so groß.“

Richtig ist

Der Radius steht in der dritten Potenz. Es gilt 43π(2r)3=8⋅43πr3\frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3. Das Volumen wird 8-mal so groß. Die Oberfläche wird wegen (2r)2(2r)^2 viermal so groß.

Zusammenfassung

  • Eine Pyramide hat V=13 G hV = \frac{1}{3}\, G\, h. Bei quadratischer Grundfläche ist hs=h2+(a2)2h_s = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}, M=2 a hsM = 2\, a\, h_s und O=a2+MO = a^2 + M.

  • Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier gleichschenkligen Dreiecken. Im Schrägbild steht die Höhe senkrecht über dem Schnittpunkt der Diagonalen.

  • Ein Kegel hat die Mantellinie s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}, die Mantelfläche M=πrsM = \pi r s, den Oberflächeninhalt O=πr(r+s)O = \pi r (r + s) und das Volumen V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h.

  • Der abgewickelte Kegelmantel ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius ss und dem Bogen 2πr2\pi r. Sein Mittelpunktswinkel ist rs⋅360∘\frac{r}{s} \cdot 360^\circ.

  • Eine Kugel hat O=4πr2O = 4\pi r^2 und V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3. Verdoppelst du den Radius, wird das Volumen 8-mal und die Oberfläche 4-mal so groß.

  • Zusammengesetzte Körper zerlegst du in einfache Teile. Beim Volumen addierst du die Teile, bei der Oberfläche zählst du nur die Flächen außen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kante 10 cm und die Höhe 12 cm. Wie groß ist ihr Volumen in Kubikzentimetern?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Formel gehört zur Mantelfläche eines Kegels mit Radius rr, Höhe hh und Mantellinie ss?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Kegel hat den Radius 6 cm und die Höhe 8 cm. Wie groß ist sein Oberflächeninhalt in Quadratzentimetern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 4Numerisch

Eine Kugel hat den Durchmesser 12 cm. Wie groß ist ihr Volumen in Kubikzentimetern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 5Numerisch

Ein Tank besteht aus einem Zylinder mit dem Radius 3 m und der Länge 4 m. An beiden Enden sitzt eine Halbkugel mit demselben Radius. Das Volumen ist ein Vielfaches von π\pi in Kubikmetern. Wie lautet die Zahl vor π\pi?

Aufgabe 6Freitext

Erkläre, warum die Mantelfläche eines Kegels M=πrsM = \pi r s ist. Gehe vom abgewickelten Mantel aus.