Lektion 3.5

Sinussatz und Kosinussatz

18 min Lesezeit

Du willst wissen, wie weit ein Baum auf einer Insel vom Ufer entfernt ist. Du kannst nicht hinüber, aber du kannst messen. Am Ufer markierst du die Punkte $A$ und $B$ im Abstand von 120 m. Von $A$ aus siehst du den Baum $C$ und das Ufer bei $B$ unter einem Winkel von $62^\circ$ . Von $B$ aus sind es $48^\circ$ . Das Dreieck $ABC$ hat keinen rechten Winkel, deshalb helfen die Formeln aus der letzten Lektion nicht direkt.

Zwei Sätze lösen solche Aufgaben: der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit ihnen rechnest du in jedem Dreieck, auch in Vielecken und Körpern, die du in Dreiecke zerlegst. Dazu kommt eine Flächenformel.

Definition

Bezeichnungen und stumpfe Winkel

Im Dreieck $ABC$ liegt die Seite $a$ dem Punkt $A$ gegenüber, $b$ dem Punkt $B$ und $c$ dem Punkt $C$ . Die Winkel bei $A$ , $B$ und $C$ heißen $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ . Ihre Summe ist $180^\circ$ .

In einem allgemeinen Dreieck kann ein Winkel stumpf sein, also größer als $90^\circ$ . Dein Taschenrechner kennt Sinus und Kosinus auch dafür. Du brauchst nur zwei Regeln: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ und $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ . Zum Beispiel ist $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ \approx 0{,}866$ und $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -0{,}5$ . Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist negativ.

Definition

Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel

Die Höhe des Dreiecks auf die Seite $b$ liegt in einem rechtwinkligen Teildreieck mit der Hypotenuse $a$ und dem Winkel $\gamma$ . Also ist $h = a \sin\gamma$ . Mit $A = \frac{1}{2}\, b\, h$ folgt die Formel. Bei einem stumpfen Winkel $\gamma$ liegt der Fußpunkt der Höhe außerhalb der Seite $b$ . Wegen $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$ gilt die Formel trotzdem. Entsprechend gilt $A = \frac{1}{2}\, b c \sin\alpha$ und $A = \frac{1}{2}\, a c \sin\beta$ .

A = \frac{1}{2}\, a\, b \sin\gamma

Definition

Sinussatz

Zeichne die Höhe $h_c$ auf die Seite $c$ . Sie liegt im Teildreieck mit der Hypotenuse $b$ und dem Winkel $\alpha$ und im Teildreieck mit der Hypotenuse $a$ und dem Winkel $\beta$ . Also gilt $h_c = b \sin\alpha$ und $h_c = a \sin\beta$ . Setzt du beides gleich und teilst durch $\sin\alpha \cdot \sin\beta$ , erhältst du $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$ . Mit den anderen Höhen kommt das dritte Verhältnis dazu.

Das ist der Sinussatz: Das Verhältnis aus einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in jedem Dreieck gleich. Du benutzt ihn, wenn du eine Seite mit ihrem Gegenwinkel kennst und eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Beispiel

Entfernung über den See

Im Dreieck $ABC$ ist $c = 120$ m, $\alpha = 62^\circ$ und $\beta = 48^\circ$ . Berechne die Entfernungen $AC$ und $BC$ zum Baum.

\begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - 62^\circ - 48^\circ = 70^\circ \\ b &= c \cdot \frac{\sin\beta}{\sin\gamma} = 120 \cdot \frac{\sin 48^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 94{,}9\,\text{m} \\ a &= c \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = 120 \cdot \frac{\sin 62^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 112{,}8\,\text{m} \end{aligned}

Zuerst brauchst du $\gamma$ , denn zur Seite $c$ gehört der Gegenwinkel $\gamma$ . Dann löst du $\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ nach $b$ auf. Der Baum ist etwa 95 m von $A$ und etwa 113 m von $B$ entfernt.

Definition

Kosinussatz

Der Sinussatz braucht eine Seite mit ihrem Gegenwinkel. Kennst du zwei Seiten und den Winkel dazwischen, oder alle drei Seiten, hilft er nicht. Dafür gibt es den Kosinussatz. Du leitest ihn mit der Höhe von $B$ auf die Seite $b$ her, zuerst für $\gamma < 90^\circ$ . Der Fußpunkt $D$ teilt $b$ in $CD = a\cos\gamma$ und $AD = b - a\cos\gamma$ . Die Höhe ist $BD = a\sin\gamma$ . Der Satz des Pythagoras im Dreieck $ABD$ gibt:

\begin{aligned} c^2 &= (a\sin\gamma)^2 + (b - a\cos\gamma)^2 \\ &= a^2\sin^2\gamma + b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma \\ &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \end{aligned}

Beispiel

Seite und Fläche aus zwei Seiten und Zwischenwinkel

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 7$ cm und $b = 9$ cm mit dem Winkel $\gamma = 40^\circ$ dazwischen. Berechne die Seite $c$ und den Flächeninhalt.

\begin{aligned} c^2 &= 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 40^\circ \approx 130 - 96{,}52 = 33{,}48 \\ c &\approx 5{,}79\,\text{cm} \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 40^\circ \approx 20{,}25\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Du rechnest zuerst $c^2$ und ziehst erst am Ende die Wurzel. Für den Flächeninhalt brauchst du nur die beiden Seiten und den Winkel dazwischen.

Beispiel

Alle drei Seiten gegeben

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5$ cm, $b = 7$ cm und $c = 10$ cm. Berechne alle Winkel.

\begin{aligned} \cos\gamma &= \frac{5^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-26}{70} \approx -0{,}371 \;\Rightarrow\; \gamma \approx 111{,}8^\circ \\ \sin\alpha &= \frac{a \sin\gamma}{c} = \frac{5 \cdot \sin 111{,}8^\circ}{10} \approx 0{,}464 \;\Rightarrow\; \alpha \approx 27{,}7^\circ \\ \beta &= 180^\circ - 111{,}8^\circ - 27{,}7^\circ = 40{,}5^\circ \end{aligned}

Zuerst nimmst du den Kosinussatz für den Winkel gegenüber der längsten Seite $c$ . Der Kosinus ist negativ, also ist $\gamma$ stumpf. Den zweiten Winkel holst du mit dem Sinussatz. $\alpha$ ist sicher spitz, denn der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber. Die Umkehrtaste liefert also den richtigen Winkel. Den dritten Winkel gibt die Winkelsumme.

Beispiel

Viereck und Dachpyramide

a) Ein Viereck $ABCD$ hat die Seiten $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, $CD = 9$ cm, $DA = 7$ cm und den Winkel $\beta = 75^\circ$ bei $B$ . Der Punkt $D$ liegt auf der anderen Seite der Diagonale $AC$ als $B$ . Berechne den Flächeninhalt. b) Ein Dach hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundkante 6 m und den Seitenkanten 7 m. Wie groß ist der Winkel an der Spitze in einer Seitenfläche, und wie groß ist die Dachfläche?

\begin{aligned} \text{a)}\; & AC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 75^\circ \approx 75{,}15 \;\Rightarrow\; AC \approx 8{,}67\,\text{cm} \\ & \cos\delta = \frac{7^2 + 9^2 - 75{,}15}{2 \cdot 7 \cdot 9} \approx 0{,}435 \;\Rightarrow\; \delta \approx 64{,}2^\circ \\ & A = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 75^\circ + \tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 64{,}2^\circ \approx 23{,}18 + 28{,}36 \approx 51{,}5\,\text{cm}^2 \\ \text{b)}\; & \cos\varphi = \frac{7^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{62}{98} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 50{,}8^\circ \\ & A_{\text{Dach}} = 4 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 \cdot \sin 50{,}8^\circ \approx 4 \cdot 18{,}97 \approx 75{,}9\,\text{m}^2 \end{aligned}

Bei a) zerlegst du das Viereck mit der Diagonale $AC$ in zwei Dreiecke. Im Dreieck $ABC$ kennst du zwei Seiten und den Zwischenwinkel, im Dreieck $ACD$ danach alle drei Seiten. Du addierst beide Flächen. Bei b) ist jede Seitenfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten 7 m, 7 m und 6 m. Kontrolle mit der Seitenhöhe $\sqrt{7^2 - 3^2} \approx 6{,}32$ m: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6{,}32 \approx 18{,}97$ m².

Häufige Fehler

Wurzel vergessen

Jemand berechnet mit dem Kosinussatz $c^2 \approx 33{,}48$ und schreibt: „Die Seite $c$ ist 33,48 cm lang.“

Richtig ist

Der Kosinussatz liefert $c^2$ , nicht $c$ . Ziehe am Ende die Wurzel: $c = \sqrt{33{,}48} \approx 5{,}79$ cm.

Häufige Fehler

Seite und Winkel falsch gepaart

Jemand schreibt den Sinussatz als $\frac{b}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}$ .

Richtig ist

Jede Seite gehört zu dem Winkel, der ihr gegenüberliegt: $a$ zu $\alpha$ , $b$ zu $\beta$ und $c$ zu $\gamma$ . Richtig ist $\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ .

Häufige Fehler

Zweite Lösung übersehen

Aus $\sin\beta = 0{,}8$ berechnet jemand $\beta \approx 53{,}1^\circ$ und hört auf.

Richtig ist

Die Umkehrtaste liefert nur den spitzen Winkel. Wegen $\sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta$ kommt auch $180^\circ - 53{,}1^\circ = 126{,}9^\circ$ in Frage. Prüfe mit der Winkelsumme, ob beide Winkel zum Dreieck passen. Das Problem kann auftreten, wenn du zwei Seiten und den Gegenwinkel der kürzeren Seite kennst.

Zusammenfassung

Im Dreieck $ABC$ liegt die Seite $a$ dem Winkel $\alpha$ gegenüber, $b$ dem Winkel $\beta$ und $c$ dem Winkel $\gamma$ . Für stumpfe Winkel gilt $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ und $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ .
Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2}\, a\, b \sin\gamma$ aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen.
Sinussatz: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ . Du brauchst eine Seite mit ihrem Gegenwinkel. Bei zwei Seiten und einem Gegenwinkel kann es zwei Lösungen geben.
Kosinussatz: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ . Er gibt die dritte Seite bei zwei Seiten und dem Zwischenwinkel. Bei drei Seiten löst du nach dem Kosinus auf. Für $\gamma = 90^\circ$ wird er zum Satz des Pythagoras.
Zuerst fragst du, was gegeben ist. Zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein Gegenwinkel: Sinussatz. Zwei Seiten und der Zwischenwinkel oder drei Seiten: Kosinussatz.
Vielecke und Körper zerlegst du in Dreiecke, in denen du die Sätze benutzt. Rechne mit ungerundeten Zwischenergebnissen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Im Dreieck $ABC$ ist $a = 10$ cm, $\alpha = 30^\circ$ und $\beta = 45^\circ$ . Wie lang ist $b$ in Zentimetern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 2Multiple Choice

Von einem Dreieck kennst du die Seiten $a$ und $b$ und den Winkel $\gamma$ zwischen ihnen. Du suchst die dritte Seite $c$ . Was benutzt du?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 6$ cm und $b = 8$ cm mit dem Zwischenwinkel $\gamma = 60^\circ$ . Wie lang ist $c$ in Zentimetern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 4Numerisch

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 8$ cm und $b = 5$ cm mit dem Zwischenwinkel $\gamma = 30^\circ$ . Wie groß ist sein Flächeninhalt in Quadratzentimetern?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 7$ cm, $b = 8$ cm und $c = 9$ cm. Wie groß ist der Winkel $\gamma$ in Grad? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 6Freitext

Im Dreieck $ABC$ ist $a = 8$ cm, $b = 10$ cm und $\alpha = 40^\circ$ . Berechne $\beta$ . Gibt es zwei verschiedene Dreiecke, die zu den Angaben passen? Begründe.