Lektion 3.4

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

17 min Lesezeit

Eine Leiter ist 4,0 m lang und lehnt an einer Hauswand. Sie bildet mit dem Boden einen Winkel von $70^\circ$ . Wie hoch reicht sie an der Wand? Mit dem Satz des Pythagoras kommst du nicht weiter, denn du kennst nur eine Seite und einen Winkel.

Die Lösung steckt in der Ähnlichkeit. Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben spitzen Winkel haben zwei gleiche Winkel, sind also ähnlich. In ähnlichen Dreiecken sind Seitenverhältnisse gleich. Das Verhältnis zweier Seiten hängt deshalb nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Diese Verhältnisse haben Namen und stehen als Tasten auf deinem Taschenrechner. Das Rechnen damit heißt Trigonometrie (griechisch für Dreiecksmessung).

Definition

Sinus, Kosinus und Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Wähle einen der beiden spitzen Winkel $\alpha$ . Die Kathete, die an $\alpha$ anliegt, heißt Ankathete. Die Kathete, die $\alpha$ gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. Für den anderen spitzen Winkel sind die Rollen der Katheten vertauscht.

Die drei Seitenverhältnisse heißen Sinus, Kosinus und Tangens von $\alpha$ . Du schreibst sie als $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ und $\tan\alpha$ .

\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Beispiel

Verhältnisse aus den Seiten

Ein Dreieck $ABC$ hat den rechten Winkel bei $C$ und die Seiten $a = 5$ cm, $b = 12$ cm, $c = 13$ cm. Bestimme Sinus, Kosinus und Tangens von $\alpha$ (bei $A$ ) und von $\beta$ (bei $B$ ).

\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{5}{13} \approx 0{,}385 & \cos\alpha &= \frac{12}{13} \approx 0{,}923 & \tan\alpha &= \frac{5}{12} \approx 0{,}417 \\ \sin\beta &= \frac{12}{13} \approx 0{,}923 & \cos\beta &= \frac{5}{13} \approx 0{,}385 & \tan\beta &= \frac{12}{5} = 2{,}4 \end{aligned}

Für $\alpha$ ist $a = 5$ die Gegenkathete und $b = 12$ die Ankathete. Für $\beta$ ist es umgekehrt: $b$ ist die Gegenkathete und $a$ die Ankathete. Die Hypotenuse $c = 13$ bleibt gleich. Beachte: $\sin\alpha = \cos\beta$ und $\cos\alpha = \sin\beta$ .

Definition

Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch Winkelfunktionen. Für jeden spitzen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete $g$ , Ankathete $k$ und Hypotenuse $c$ gelten drei Beziehungen:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , denn $\frac{g/c}{k/c} = \frac{g}{k}$ .
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ . Dabei ist $\sin^2\alpha$ die Kurzschreibweise für $(\sin\alpha)^2$ . Der Grund ist der Satz des Pythagoras: $g^2 + k^2 = c^2$ , und du teilst beide Seiten durch $c^2$ .
$\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ und $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ . Der andere spitze Winkel ist $\beta = 90^\circ - \alpha$ , und die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$ .

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \qquad \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)

Definition

Seiten und Winkel berechnen

Eine Seite berechnest du, wenn du einen Winkel und eine Seite kennst. Wähle das Verhältnis, in dem die gegebene und die gesuchte Seite vorkommen, und löse nach der gesuchten Seite auf. Ein Winkel ist gesucht, wenn du zwei Seiten kennst. Du bildest das Verhältnis und nimmst die Umkehrtaste des Taschenrechners. Sie heißt $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ . Zum Beispiel gilt $\sin\alpha = 0{,}6$ genau dann, wenn $\alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}9^\circ$ .

Die Umkehrtaste ist nicht der Kehrwert: $\sin^{-1}(0{,}5) = 30^\circ$ , aber $\frac{1}{\sin 30^\circ} = 2$ . Stelle den Taschenrechner auf DEG, wenn du Winkel in Grad eingibst.

Beispiel

Die Leiter und der Baum

a) Die Leiter ist 4,0 m lang und bildet mit dem Boden $70^\circ$ . Wie hoch reicht sie, und wie weit steht ihr Fuß von der Wand? b) Du stehst 20 m vom Fuß eines Baumes. Die Baumspitze siehst du unter dem Höhenwinkel $35^\circ$ . Das ist der Winkel zwischen der Waagerechten und deiner Blicklinie. Deine Augen sind 1,6 m über dem Boden. Wie hoch ist der Baum?

\begin{aligned} \text{a)}\; & h = 4{,}0 \cdot \sin 70^\circ \approx 3{,}76\,\text{m} \qquad d = 4{,}0 \cdot \cos 70^\circ \approx 1{,}37\,\text{m} \\ \text{b)}\; & 20 \cdot \tan 35^\circ \approx 14{,}0\,\text{m} \qquad 14{,}0 + 1{,}6 = 15{,}6\,\text{m} \end{aligned}

Bei a) ist die Leiter die Hypotenuse. Die Höhe an der Wand liegt dem Winkel gegenüber, also ist sie die Gegenkathete: $\sin 70^\circ = \frac{h}{4{,}0}$ . Der Abstand am Boden ist die Ankathete: $\cos 70^\circ = \frac{d}{4{,}0}$ . Bei b) kennst du die Ankathete (20 m) und suchst die Gegenkathete: $\tan 35^\circ = \frac{x}{20}$ . Der Wert $x$ gilt ab Augenhöhe. Deshalb addierst du 1,6 m.

Definition

Steigungswinkel

Eine Straße, eine Rampe oder eine Gerade im Koordinatensystem steigt an. Der Steigungswinkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen ihr und der Waagerechten. Die Steigung ist der Höhenunterschied geteilt durch die waagerecht gemessene Strecke. Im Dreieck aus Höhenunterschied, waagerechter Strecke und der Steigungsstrecke ist das Gegenkathete geteilt durch Ankathete, also $\tan\alpha$ . Das passt zur Steigung $m$ der linearen Funktionen: $m = \tan\alpha$ . Gibst du die Steigung in Prozent an, multiplizierst du mit 100 %. Eine Steigung von 12 % heißt: 12 m Höhe auf 100 m waagerechter Strecke.

m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{waagerechte Strecke}} = \tan\alpha

Beispiel

Steigung und Rampe

a) Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel? b) Eine Rampe von 5,0 m Länge überwindet 0,6 m Höhe. Wie groß ist ihr Winkel zum Boden?

\begin{aligned} \text{a)}\; & \tan\alpha = 0{,}12 \;\Rightarrow\; \alpha = \tan^{-1}(0{,}12) \approx 6{,}8^\circ \\ \text{b)}\; & \sin\alpha = \frac{0{,}6}{5{,}0} = 0{,}12 \;\Rightarrow\; \alpha = \sin^{-1}(0{,}12) \approx 6{,}9^\circ \end{aligned}

Bei a) sind Gegenkathete und Ankathete gegeben: 12 m auf 100 m. Bei b) ist die 5 m lange Rampe selbst die Hypotenuse. Beide Aufgaben ergeben fast denselben Winkel, aber nicht genau denselben, weil einmal die waagerechte Strecke und einmal die schräge Länge gemessen wird.

Häufige Fehler

Taschenrechner steht auf RAD

Jemand rechnet $\sin 30$ und erhält $-0{,}988$ . Er wundert sich, denn er erwartet $0{,}5$ .

Richtig ist

Der Taschenrechner steht auf RAD (Bogenmaß) und hat 30 als Bogenmaß gelesen. Stelle ihn auf DEG. Dann ist $\sin 30^\circ = 0{,}5$ . Prüfe jede Rechnung auf Plausibilität: Im rechtwinkligen Dreieck liegen Sinus und Kosinus eines spitzen Winkels zwischen 0 und 1.

Häufige Fehler

Ankathete und Gegenkathete vertauscht

Jemand nennt immer die waagerechte Kathete die Ankathete und rechnet für den Winkel am oberen Ende $\tan\alpha = \frac{\text{senkrechte Kathete}}{\text{waagerechte Kathete}}$ .

Richtig ist

Ob eine Kathete Ankathete oder Gegenkathete ist, hängt vom gewählten Winkel ab, nicht von der Lage im Bild. Die Ankathete liegt am Winkel an, die Gegenkathete liegt ihm gegenüber. Zeichne dir den Winkel ein und prüfe, welche Kathete ihn berührt.

Häufige Fehler

Steigung in Prozent ist kein Winkel in Grad

Jemand sagt: „Bei 12 % Steigung ist der Winkel $12^\circ$ .“

Richtig ist

Die Steigung in Prozent ist $\tan\alpha \cdot 100\,\%$ . Zu $12^\circ$ gehört $\tan 12^\circ \approx 0{,}213$ , also etwa 21 %. Zu 12 % gehört der Winkel $\tan^{-1}(0{,}12) \approx 6{,}8^\circ$ .

Zusammenfassung

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel $\alpha$ : $\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ .
Die Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, weil Dreiecke mit gleichen Winkeln ähnlich sind. Welche Kathete Ankathete oder Gegenkathete ist, hängt vom gewählten Winkel ab.
Beziehungen: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ und $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ .
Eine Seite berechnest du mit dem Verhältnis, das die gegebene und die gesuchte Seite enthält. Einen Winkel berechnest du mit den Umkehrtasten $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ . Der Taschenrechner muss auf DEG stehen.
Der Steigungswinkel $\alpha$ erfüllt $\tan\alpha = m$ , mit der Steigung $m$ als Höhenunterschied durch waagerechte Strecke. Prozentangabe und Winkel in Grad sind verschiedene Dinge.
Typische Anwendungen sind Höhen und Entfernungen, die du nicht messen kannst. Du brauchst dafür einen Winkel und eine Seite.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von $\alpha$ gleich 7 cm und die Hypotenuse gleich 25 cm. Wie groß ist $\sin\alpha$ ? Schreibe das Ergebnis als Dezimalzahl.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Gleichung gilt für jeden spitzen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Drachenschnur ist 30 m lang und gespannt. Sie bildet mit dem ebenen Boden den Winkel $40^\circ$ . Wie hoch über dem Boden fliegt der Drachen in Metern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 4Numerisch

Eine Rampe überwindet 1,5 m Höhe auf 12 m waagerechter Strecke. Wie groß ist ihr Steigungswinkel in Grad? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 5Numerisch

Ein Weg hat den Steigungswinkel $5^\circ$ . Wie groß ist seine Steigung in Prozent? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 6Freitext

Zeige mit den Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens, dass $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ gilt.