Lektion 3.1

Kreisbogen, Kreisausschnitt und Bogenmaß

14 min Lesezeit

Eine runde Torte hat einen Durchmesser von 28 cm. Du schneidest ein Stück heraus, dessen Spitze in der Mitte der Torte einen Winkel von 40° hat. Wie lang ist die Kruste am Rand dieses Stücks? Wie groß ist seine Oberseite? Umfang und Fläche eines ganzen Kreises kennst du aus Klasse 7-8. Hier geht es um Teile davon.

Außerdem hat dein Taschenrechner zwei Einstellungen für Winkel: DEG und RAD. DEG steht für Grad. RAD steht für das Bogenmaß, bei dem ein Winkel nicht in Grad, sondern als Länge eines Kreisbogens angegeben wird. In dieser Lektion rechnest du mit Kreisteilen und lernst beide Winkelmaße samt Umrechnung.

Definition

Kreisbogen, Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel

Zeichne in einen Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ zwei Radien. Sie teilen den Kreis in zwei Teile. Das Stück des Kreisrands zwischen den Radien heißt Kreisbogen. Seine Länge nennen wir $b$ . Die Fläche zwischen den beiden Radien und dem Bogen heißt Kreisausschnitt oder Kreissektor. Sein Flächeninhalt ist $A$ .

Der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Radien heißt Mittelpunktswinkel. Er bestimmt, welcher Anteil des Kreises übrig bleibt. Bei $\alpha = 90^\circ$ ist es ein Viertel, bei $\alpha = 40^\circ$ der Anteil $\frac{40^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{9}$ . Bogen und Ausschnitt haben denselben Anteil an Umfang und Kreisfläche.

\frac{b}{2\pi r} = \frac{A}{\pi r^2} = \frac{\alpha}{360^\circ}

Definition

Bogenlänge und Flächeninhalt des Ausschnitts

Der doppelte Winkel gibt den doppelten Bogen und den doppelten Ausschnitt. Bogen und Ausschnitt sind also proportional zum Mittelpunktswinkel. Du nimmst den Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ vom Umfang $2\pi r$ und von der Kreisfläche $\pi r^2$ .

Setzt du die Bogenlänge in die Flächenformel ein, bekommst du einen zweiten Weg: $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \cdot \frac{r}{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$ . Das ist die Dreiecksformel mit der Grundseite $b$ und der Höhe $r$ . Ein schmaler Ausschnitt sieht ja fast wie ein Dreieck aus.

b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \qquad A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}\, b\, r

Beispiel

Das Tortenstück

Die Torte hat den Durchmesser 28 cm, das Stück den Mittelpunktswinkel $40^\circ$ . Berechne die Länge der Kruste und den Flächeninhalt der Oberseite.

\begin{aligned} r &= 14\,\text{cm} \\ b &= \frac{40^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 14\,\text{cm} = \frac{1}{9} \cdot 28\pi\,\text{cm} = \frac{28\pi}{9}\,\text{cm} \approx 9{,}77\,\text{cm} \\ A &= \frac{1}{9} \cdot \pi \cdot (14\,\text{cm})^2 = \frac{196\pi}{9}\,\text{cm}^2 \approx 68{,}42\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also 14 cm. Der Anteil 40 zu 360 kürzt sich zu einem Neuntel. Die Kruste ist knapp 9,8 cm lang. Die Oberseite hat etwa 68 Quadratzentimeter.

Beispiel

Winkel aus der Bogenlänge

Ein Kreisausschnitt hat den Radius 8 cm und einen Bogen der Länge 10 cm. Berechne den Mittelpunktswinkel und den Flächeninhalt.

\begin{aligned} \alpha &= \frac{b}{2\pi r} \cdot 360^\circ = \frac{10}{16\pi} \cdot 360^\circ = \frac{225^\circ}{\pi} \approx 71{,}6^\circ \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Du löst die Bogenformel nach $\alpha$ auf. Der Flächeninhalt geht ohne den Winkel: Die Formel $A = \frac{1}{2} b r$ braucht nur den Bogen und den Radius.

Definition

Gradmaß und Bogenmaß

Beim Gradmaß misst du einen Winkel in Grad. Eine volle Umdrehung hat $360^\circ$ . Beim Bogenmaß misst du den Winkel als Bogenlänge: Zeichne um den Scheitel des Winkels einen Kreis mit dem Radius 1. Das Bogenmaß $x$ ist die Länge des Bogens, den der Winkel aus diesem Kreis schneidet. In einem Kreis mit beliebigem Radius $r$ und dem Bogen $b$ gilt $x = \frac{b}{r}$ . Das ändert sich nicht mit dem Radius, denn $b$ wächst im gleichen Verhältnis wie $r$ .

Eine volle Umdrehung hat im Kreis mit Radius 1 die Bogenlänge $2\pi$ . Also gehören $360^\circ$ zum Bogenmaß $2\pi$ und $180^\circ$ zu $\pi$ . Die Einheit des Bogenmaßes heißt Radiant (rad). Man lässt sie meist weg. Gradmaß und Bogenmaß sind proportional, daraus folgt die Umrechnung:

Gradmaß	Bogenmaß
$0^\circ$	$0$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$180^\circ$	$\pi$
$360^\circ$	$2\pi$

x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \qquad \alpha = \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ

Beispiel

Umrechnen und Rechnen im Bogenmaß

a) Gib $150^\circ$ im Bogenmaß an. b) Gib das Bogenmaß $2{,}4$ in Grad an. c) Ein Ausschnitt hat $r = 5$ cm und $x = 1{,}2$ . Berechne $b$ und $A$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & x = \frac{150^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62 \\ \text{b)}\; & \alpha = \frac{2{,}4}{\pi} \cdot 180^\circ = \frac{432^\circ}{\pi} \approx 137{,}5^\circ \\ \text{c)}\; & b = 1{,}2 \cdot 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \qquad A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}2 \cdot (5\,\text{cm})^2 = 15\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Bei a) kürzt sich 150 zu 180 auf $\frac{5}{6}$ . Bei b) steht $\pi$ im Nenner, denn du rechnest vom Bogenmaß zurück zum Winkel. Bei c) brauchst du keinen Winkel in Grad und kein $\pi$ .

Häufige Fehler

Den Umfang falsch benutzt

Jemand berechnet die Bogenlänge für $r = 5$ cm und $\alpha = 60^\circ$ mit $b = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 5$ und bekommt etwa 2,62 cm.

Richtig ist

Der Bogen ist ein Teil des Umfangs $2\pi r$ , nicht von $\pi r$ . Richtig ist $b = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot 5 = \frac{5\pi}{3} \approx 5{,}24$ cm. Bei der Fläche kommt dagegen $\pi r^2$ vor.

Häufige Fehler

Gradzahl in die Bogenmaß-Formel

Jemand rechnet $b = x \cdot r$ mit $x = 60$ und $r = 5$ cm und erhält 300 cm.

Richtig ist

Die Formel $b = x \cdot r$ gilt nur für das Bogenmaß. Für $60^\circ$ ist $x = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$ und $b \approx 5{,}24$ cm. Zur Kontrolle: Ein Bogen kann nicht länger sein als der ganze Umfang, hier $2\pi \cdot 5 \approx 31{,}4$ cm.

Häufige Fehler

π ist keine Gradzahl

Jemand sagt: „Der Winkel $\pi$ ist nur etwa $3{,}14^\circ$ groß.“

Richtig ist

Ohne Gradzeichen ist eine Winkelangabe ein Bogenmaß. Das Bogenmaß $\pi$ gehört zu $180^\circ$ , also zu einem gestreckten Winkel. Die Zahl 3,14 ist hier eine Bogenlänge im Kreis mit Radius 1, kein Winkel in Grad.

Zusammenfassung

Ein Kreisbogen ist ein Stück des Kreisrands, ein Kreisausschnitt (Kreissektor) die Fläche zwischen zwei Radien und dem Bogen. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel $\alpha$ .
Bogen und Ausschnitt haben den Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ am Umfang und an der Kreisfläche: $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ und $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Es gilt außerdem $A = \frac{1}{2}\, b\, r$ . Damit rechnest du den Flächeninhalt ohne Winkel.
Das Bogenmaß $x$ ist die Länge des zugehörigen Bogens im Kreis mit Radius 1. Im Kreis mit Radius $r$ ist $x = \frac{b}{r}$ .
Umrechnen: $180^\circ$ entsprechen $\pi$ . Es gilt $x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi$ und $\alpha = \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ$ .
Im Bogenmaß gilt $b = x \cdot r$ und $A = \frac{1}{2}\, x\, r^2$ . Stelle den Taschenrechner auf RAD, wenn du Winkel im Bogenmaß eingibst.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Kreis hat den Radius 10 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel $90^\circ$ in Zentimetern? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welches Bogenmaß gehört zu $60^\circ$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Kreisausschnitt hat den Radius 12 cm und den Mittelpunktswinkel $75^\circ$ . Wie groß ist sein Flächeninhalt in Quadratzentimetern? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 4Numerisch

Ein Winkel hat das Bogenmaß 2,5. Wie groß ist er in Grad? Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 5Numerisch

Ein Kreisausschnitt hat den Flächeninhalt 20 cm² und die Bogenlänge 8 cm. Wie groß ist der Radius in Zentimetern?

Aufgabe 6Freitext

Berechne für einen Kreis mit $r = 3$ cm und einen Kreis mit $r = 7$ cm jeweils die Länge des Bogens zu $60^\circ$ . Teile jede Länge durch den Radius. Was fällt dir auf, und was sagt das über das Bogenmaß?

Lektion 3.1 · Kreisteile, Körper und Trigonometrie

Kreisbogen, Kreisausschnitt und Bogenmaß

Definition

Kreisbogen, Kreisausschnitt und Mittelpunktswinkel

\frac{b}{2\pi r} = \frac{A}{\pi r^2} = \frac{\alpha}{360^\circ}

Definition

Bogenlänge und Flächeninhalt des Ausschnitts

b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \qquad A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2}\, b\, r

Beispiel

Das Tortenstück

Die Torte hat den Durchmesser 28 cm, das Stück den Mittelpunktswinkel $40^\circ$ . Berechne die Länge der Kruste und den Flächeninhalt der Oberseite.

\begin{aligned} r &= 14\,\text{cm} \\ b &= \frac{40^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 14\,\text{cm} = \frac{1}{9} \cdot 28\pi\,\text{cm} = \frac{28\pi}{9}\,\text{cm} \approx 9{,}77\,\text{cm} \\ A &= \frac{1}{9} \cdot \pi \cdot (14\,\text{cm})^2 = \frac{196\pi}{9}\,\text{cm}^2 \approx 68{,}42\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also 14 cm. Der Anteil 40 zu 360 kürzt sich zu einem Neuntel. Die Kruste ist knapp 9,8 cm lang. Die Oberseite hat etwa 68 Quadratzentimeter.

Beispiel

Winkel aus der Bogenlänge

Ein Kreisausschnitt hat den Radius 8 cm und einen Bogen der Länge 10 cm. Berechne den Mittelpunktswinkel und den Flächeninhalt.

\begin{aligned} \alpha &= \frac{b}{2\pi r} \cdot 360^\circ = \frac{10}{16\pi} \cdot 360^\circ = \frac{225^\circ}{\pi} \approx 71{,}6^\circ \\ A &= \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Du löst die Bogenformel nach $\alpha$ auf. Der Flächeninhalt geht ohne den Winkel: Die Formel $A = \frac{1}{2} b r$ braucht nur den Bogen und den Radius.

Definition

Gradmaß und Bogenmaß

Gradmaß	Bogenmaß
$0^\circ$	$0$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$180^\circ$	$\pi$
$360^\circ$	$2\pi$

x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi \qquad \alpha = \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ

Beispiel

Umrechnen und Rechnen im Bogenmaß

a) Gib $150^\circ$ im Bogenmaß an. b) Gib das Bogenmaß $2{,}4$ in Grad an. c) Ein Ausschnitt hat $r = 5$ cm und $x = 1{,}2$ . Berechne $b$ und $A$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & x = \frac{150^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62 \\ \text{b)}\; & \alpha = \frac{2{,}4}{\pi} \cdot 180^\circ = \frac{432^\circ}{\pi} \approx 137{,}5^\circ \\ \text{c)}\; & b = 1{,}2 \cdot 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \qquad A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}2 \cdot (5\,\text{cm})^2 = 15\,\text{cm}^2 \end{aligned}

Bei a) kürzt sich 150 zu 180 auf $\frac{5}{6}$ . Bei b) steht $\pi$ im Nenner, denn du rechnest vom Bogenmaß zurück zum Winkel. Bei c) brauchst du keinen Winkel in Grad und kein $\pi$ .

Häufige Fehler

Den Umfang falsch benutzt

Jemand berechnet die Bogenlänge für $r = 5$ cm und $\alpha = 60^\circ$ mit $b = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 5$ und bekommt etwa 2,62 cm.

Der Bogen ist ein Teil des Umfangs $2\pi r$ , nicht von $\pi r$ . Richtig ist $b = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot 5 = \frac{5\pi}{3} \approx 5{,}24$ cm. Bei der Fläche kommt dagegen $\pi r^2$ vor.

Häufige Fehler

Gradzahl in die Bogenmaß-Formel

Jemand rechnet $b = x \cdot r$ mit $x = 60$ und $r = 5$ cm und erhält 300 cm.

Häufige Fehler

π ist keine Gradzahl

Jemand sagt: „Der Winkel $\pi$ ist nur etwa $3{,}14^\circ$ groß.“

Zusammenfassung

Ein Kreisbogen ist ein Stück des Kreisrands, ein Kreisausschnitt (Kreissektor) die Fläche zwischen zwei Radien und dem Bogen. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel $\alpha$ .
Bogen und Ausschnitt haben den Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ am Umfang und an der Kreisfläche: $b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ und $A = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Es gilt außerdem $A = \frac{1}{2}\, b\, r$ . Damit rechnest du den Flächeninhalt ohne Winkel.
Das Bogenmaß $x$ ist die Länge des zugehörigen Bogens im Kreis mit Radius 1. Im Kreis mit Radius $r$ ist $x = \frac{b}{r}$ .
Umrechnen: $180^\circ$ entsprechen $\pi$ . Es gilt $x = \frac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi$ und $\alpha = \frac{x}{\pi} \cdot 180^\circ$ .
Im Bogenmaß gilt $b = x \cdot r$ und $A = \frac{1}{2}\, x\, r^2$ . Stelle den Taschenrechner auf RAD, wenn du Winkel im Bogenmaß eingibst.