Für eine natürliche Zahl $n$ ist $a^n$ das Produkt aus $n$ Faktoren $a$. Die Reihe $10^3 = 1000$, $10^2 = 100$, $10^1 = 10$ zeigt: Jeder Schritt nach unten teilt durch 10. Setzt du sie fort, folgen $10^0 = 1$, $10^{-1} = \frac{1}{10}$ und $10^{-2} = \frac{1}{100}$. Allgemein erklärt man für $a \neq 0$: $a^0 = 1$ und $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Das passt zum Potenzgesetz: $a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0 = 1$. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, er bildet den Kehrwert: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Mit ganzen Exponenten $m$ und $n$ und Basen $a, b \neq 0$ gelten diese Potenzgesetze:

Was soll $a^{\frac{1}{2}}$ bedeuten? Das Potenzgesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ soll weiter gelten. Dann ist $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$. Die Zahl $a^{\frac{1}{2}}$ hat also das Quadrat $a$. Das ist die Quadratwurzel: $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Genauso ist $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$. Für eine natürliche Zahl $n \geq 2$ ist die $n$-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ die nicht negative Zahl, deren $n$-te Potenz $a$ ist. Für negative Basen erklärt man gebrochene Exponenten hier nicht. Damit sind Wurzeln Potenzen, und die Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten, wenn die Basen positiv sind. Die Wurzelgesetze folgen daraus: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a \cdot b}$. Für Zähler größer als 1 und für negative Exponenten gilt mit $a > 0$, einer ganzen Zahl $m$ und einer natürlichen Zahl $n \geq 2$:

Zehnerpotenzen $10^n$ kennst du für natürliche $n$. Mit negativen Exponenten schreibst du auch kleine Zahlen kurz: $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$. In der Zehnerpotenzschreibweise schreibst du eine positive Zahl als $a \cdot 10^k$ mit $1 \leq a < 10$ und ganzem $k$. Es ist zum Beispiel $0{,}00007\,\text{m} = 7 \cdot 10^{-5}\,\text{m}$ und $3\,600\,000 = 3{,}6 \cdot 10^6$. Große Zahlen haben ein positives $k$, Zahlen zwischen 0 und 1 ein negatives $k$.

Beim Rechnen nutzt du die Potenzgesetze: Du multiplizierst oder dividierst die Zahlen $a$ und addierst oder subtrahierst die Exponenten. Liegt $a$ danach nicht mehr zwischen 1 und 10, verschiebst du das Komma und passt $k$ an.

Die Gleichung $a^x = b$ hat drei Größen: die Basis $a$, den Exponenten $x$ und den Potenzwert $b$. Je nachdem, welche gesucht ist, hat die Aufgabe einen anderen Namen:

Der Logarithmus $\log_a b$ ist der Exponent, mit dem du $a$ potenzieren musst, um $b$ zu erhalten. Du sprichst „Logarithmus von $b$ zur Basis $a$“. Er ist erklärt für $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$. Das Wurzelziehen ist ein Potenzieren mit dem Exponenten $\frac{1}{n}$. Das Logarithmieren ist die zweite Umkehrung des Potenzierens: Du suchst den Exponenten.