Lektion 4.3

Quadratische Ergänzung und Satz von Vieta

19 min Lesezeit

Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ vor. An die rechte Seite legst du einen Streifen der Breite 3, und an die obere Seite ebenfalls. Die beiden Streifen haben zusammen die Fläche $3x + 3x = 6x$ . Zusammen mit dem Quadrat sind es $x^2 + 6x$ . Zum großen Quadrat mit der Seitenlänge $x + 3$ fehlt in der Ecke ein kleines Quadrat mit der Fläche $3 \cdot 3 = 9$ . Mit diesem Stück wird aus $x^2 + 6x$ ein vollständiges Quadrat. Man sagt: Du ergänzt quadratisch.

Zwei Fragen bleiben aus der letzten Lektion offen. Warum stimmt die Lösungsformel? Und warum kann man bei $x^2 - 7x + 12 = 0$ die Lösungen 3 und 4 fast sehen? Es ist $3 + 4 = 7$ und $3 \cdot 4 = 12$ . Das ist kein Zufall.

Definition

Quadratische Ergänzung

Die erste binomische Formel lautet $(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2$ . Steht in einem Term $x^2 + px$ , dann ist $2d = p$ , also $d = \frac{p}{2}$ . Zum vollständigen Quadrat fehlt $d^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2$ . Du addierst diese Zahl und ziehst sie sofort wieder ab. So ändert sich der Wert des Terms nicht. Dieses Vorgehen heißt quadratische Ergänzung. Ein Beispiel ist $x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9 = (x + 3)^2 - 9$ .

x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2

Beispiel

Gleichungen mit quadratischer Ergänzung lösen

Löse a) $x^2 + 6x + 5 = 0$ und b) $2x^2 + 6x - 8 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & (x + 3)^2 - 9 + 5 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 3)^2 = 4 \;\Rightarrow\; x + 3 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ oder } x = -5 \\ \text{b)}\; & x^2 + 3x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 1{,}5)^2 = 6{,}25 \\ & x + 1{,}5 = \pm 2{,}5 \;\Rightarrow\; x = 1 \text{ oder } x = -4 \end{aligned}

In a) ergänzt du $9$ , ziehst $9$ ab und rechnest $-9 + 5 = -4$ . Dann steht $(x + 3)^2 = 4$ , und du ziehst die Wurzel. Probe: Für $x = -1$ gilt $1 - 6 + 5 = 0$ , für $x = -5$ gilt $25 - 30 + 5 = 0$ . In b) teilst du zuerst durch 2. Dann ist $p = 3$ , die Ergänzung ist $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25$ . Probe für $x = -4$ in der ursprünglichen Gleichung: $2 \cdot 16 - 24 - 8 = 0$ .

Definition

Herleitung der Lösungsformel

Mit derselben Idee löst du die allgemeine Normalform $x^2 + px + q = 0$ . Du ergänzt, stellst um und ziehst die Wurzel. Das geht, wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \geq 0$ ist. Genau diese Bedingung steht hinter der Diskriminante: Bei einer negativen Zahl unter der Wurzel gibt es keine Lösung. Am Ende steht die Lösungsformel aus der letzten Lektion.

\begin{aligned} x^2 + px + q &= 0 \\ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q &= 0 \\ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\ x + \frac{p}{2} &= \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \\ x &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{aligned}

Definition

Satz von Vieta

Hat die Gleichung $x^2 + px + q = 0$ die Lösungen $x_1$ und $x_2$ , dann ist ihre Summe $-p$ und ihr Produkt $q$ . Beweis: Sei $r = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ . Dann ist $x_1 = -\frac{p}{2} + r$ und $x_2 = -\frac{p}{2} - r$ . Die Summe ist $-p$ , weil sich $r$ aufhebt. Das Produkt ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - r^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\right) = q$ .

Der Satz gilt auch für eine doppelte Lösung ( $x_1 = x_2$ ). Umgekehrt gilt: Findest du zwei Zahlen mit der Summe $-p$ und dem Produkt $q$ , sind das die Lösungen. Bei ganzzahligen Lösungen findest du sie oft durch Probieren der Faktoren von $q$ .

x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q

Beispiel

Lösungen mit Vieta finden

Löse a) $x^2 - 7x + 12 = 0$ und b) $x^2 + x - 12 = 0$ ohne Formel.

\begin{aligned} \text{a)}\; & x_1 + x_2 = 7,\; x_1 \cdot x_2 = 12 \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = 4 \\ \text{b)}\; & x_1 + x_2 = -1,\; x_1 \cdot x_2 = -12 \;\Rightarrow\; x_1 = -4,\; x_2 = 3 \end{aligned}

In a) suchst du Faktoren von 12, die zusammen 7 ergeben: $3 + 4 = 7$ . In b) ist das Produkt negativ. Eine Zahl ist positiv, die andere negativ, und ihre Summe ist $-1$ . Das Paar $-4$ und $3$ passt: $-4 + 3 = -1$ und $(-4) \cdot 3 = -12$ . Probe für b): $16 - 4 - 12 = 0$ und $9 + 3 - 12 = 0$ .

Definition

Linearfaktorzerlegung

Hat $x^2 + px + q$ die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ , dann gilt $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$ . Das bestätigt Vieta: Ausmultipliziert ist $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = x^2 + px + q$ . Man zerlegt den Term in Linearfaktoren, also Faktoren der Form $(x - \text{Zahl})$ . Bei $ax^2 + bx + c$ steht der Faktor $a$ davor. Bei einer doppelten Nullstelle entsteht $a(x - x_1)^2$ . Ist $D < 0$ , gibt es keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren, zum Beispiel bei $x^2 + 1$ .

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Beispiel

In Linearfaktoren zerlegen

Zerlege $2x^2 - 4x - 6$ in Linearfaktoren.

\begin{aligned} 2x^2 - 4x - 6 &= 2(x^2 - 2x - 3) \\ x_1 + x_2 = 2,\; x_1 \cdot x_2 = -3 &\;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = -1 \\ 2x^2 - 4x - 6 &= 2(x - 3)(x + 1) \end{aligned}

Du klammerst zuerst die 2 aus, damit die Normalform entsteht. Dann suchst du mit Vieta zwei Zahlen mit Summe 2 und Produkt $-3$ . Probe durch Ausmultiplizieren: $2(x - 3)(x + 1) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$ .

Die Zerlegung im Rechenweg

1Ausklammern
Zuerst ausklammern, was in allen Summanden steckt: $2$ . Man teilt jeden Summanden durch diesen Faktor und schreibt ihn vor die Klammer.
$\displaystyle 2x^{2} - 4x - 6 = 2 \left(x^{2} - 2x - 3\right)$
2Linearfaktoren
Ein quadratischer Term $ax^{2} + bx + c$ mit Nullstellen $x_1$ und $x_2$ lässt sich schreiben als $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Die Nullstellen liefert die Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ .
$\displaystyle D = b^{2} - 4ac = 16$
Eingesetzt in die Linearfaktorzerlegung:
$\displaystyle x^{2} - 2x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

Ergebnis $\displaystyle 2(x + 1) (x - 3)$

Das Werkzeug klammert zuerst die 2 aus und berechnet dann die Nullstellen. Vergleiche mit deiner Zerlegung. Gib danach x^2 + x - 12 ein und klicke auf "Rechnen". Prüfe das Ergebnis mit Vieta.

Definition

Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung entsteht, wenn in einer quadratischen Gleichung das Gleichheitszeichen durch $<$ , $\leq$ , $>$ oder $\geq$ ersetzt wird. Du gehst so vor:

Bringe alles auf eine Seite, sodass rechts null steht.
Zerlege den Term in Linearfaktoren. Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in Bereiche.
Lege eine Vorzeichentabelle an: In jedem Bereich hat jeder Faktor ein festes Vorzeichen, und das Produkt folgt der Regel „Minus mal Minus ist Plus“.
Lies die Bereiche ab, die zur Ungleichung passen. Die Nullstellen gehören nur bei $\leq$ und $\geq$ dazu.

Die Lösungsmenge schreibst du als Intervall wie bei den linearen Ungleichungen. Das Zeichen $\cup$ verbindet zwei Intervalle und heißt „oder“.

Beispiel

Quadratische Ungleichungen lösen

Löse a) $x^2 - 2x - 3 < 0$ und b) $x^2 + 2x \geq 8$ .

Zu a): Es ist $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ .

Bereich	$x < -1$	$-1 < x < 3$	$x > 3$
$x + 1$	−	+	+
$x - 3$	−	−	+
Produkt	+	−	+

\begin{aligned} \text{a)}\; & L = ]-1; 3[ \\ \text{b)}\; & x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) \geq 0 \;\Rightarrow\; L = ]-\infty; -4] \cup [2; \infty[ \end{aligned}

In a) soll das Produkt negativ sein. Das ist nur im mittleren Bereich der Fall. Die Nullstellen $-1$ und $3$ gehören wegen „ $<$ “ nicht dazu. Das passt zur Wertetabelle der letzten Lektion: $f(0) = -3$ und $f(1) = -4$ liegen unter null. In b) bringst du zuerst die 8 nach links. Eine Tabelle wie in a) zeigt: Das Produkt $(x + 4)(x - 2)$ ist für $x < -4$ und für $x > 2$ positiv, im Bereich dazwischen negativ. Wegen „ $\geq$ “ gehören $-4$ und 2 dazu. Probe: Für $x = 3$ gilt $9 + 6 = 15 \geq 8$ , für $x = 0$ gilt $0 \geq 8$ nicht.

Häufige Fehler

Ergänzen, ohne auszugleichen

Jemand schreibt $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 + 5$ .

Richtig ist

Beim Ausmultiplizieren von $(x + 3)^2$ entsteht $x^2 + 6x + 9$ . Die 9 ist neu und muss wieder abgezogen werden. Richtig ist $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ .

Häufige Fehler

Vorzeichen bei Vieta

Bei $x^2 - 7x + 12 = 0$ sagt jemand: „Die Summe der Lösungen ist $p = -7$ , also sind es $-3$ und $-4$ .“

Richtig ist

Die Summe der Lösungen ist $-p$ , also $+7$ . Die Lösungen sind 3 und 4. Die Probe zeigt den Fehler: Für $x = -3$ gilt $9 + 21 + 12 = 42$ , nicht 0.

Häufige Fehler

Bei der Ungleichung ein Intervall vergessen

Jemand löst $x^2 \geq 9$ und schreibt $x \geq 3$ .

Richtig ist

Auch $x = -5$ erfüllt die Ungleichung, denn $25 \geq 9$ . Wegen $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \geq 0$ gilt $x \leq -3$ oder $x \geq 3$ , also $L = ]-\infty; -3] \cup [3; \infty[$ .

Zusammenfassung

Quadratische Ergänzung: $x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$ . Du addierst und subtrahierst dieselbe Zahl.
Mit der Ergänzung kannst du jede quadratische Gleichung lösen. Aus ihr folgt die Lösungsformel.
Satz von Vieta: Die Lösungen von $x^2 + px + q = 0$ haben die Summe $-p$ und das Produkt $q$ . Das hilft bei ganzzahligen Lösungen und bei der Probe.
Linearfaktorzerlegung: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , wenn es Nullstellen gibt.
Quadratische Ungleichungen löst du mit Nullstellen und einer Vorzeichentabelle. Bei $<$ und $>$ gehören die Nullstellen nicht dazu.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Welche Zahl musst du zu $x^2 - 3x$ addieren, um ein vollständiges Quadrat zu erhalten? Schreibe die Zahl als Dezimalzahl.

Aufgabe 2Numerisch

Eine Lösung von $x^2 - 7x + q = 0$ ist 3. Wie lautet die andere Lösung?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Zerlegung in Linearfaktoren gehört zu $x^2 - x - 6$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Löse $x^2 + 8x + 7 = 0$ mit quadratischer Ergänzung. Wie lautet die größere Lösung?

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung $x^2 - 3x - 10 > 0$ ?

Aufgabe 6Freitext

Zerlege $3x^2 - 3x - 36$ in Linearfaktoren und beschreibe deinen Weg.

Lektion 4.3 · Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Ergänzung und Satz von Vieta

Definition

Quadratische Ergänzung

x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2

Beispiel

Gleichungen mit quadratischer Ergänzung lösen

Löse a) $x^2 + 6x + 5 = 0$ und b) $2x^2 + 6x - 8 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & (x + 3)^2 - 9 + 5 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 3)^2 = 4 \;\Rightarrow\; x + 3 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ oder } x = -5 \\ \text{b)}\; & x^2 + 3x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 - 4 = 0 \;\Rightarrow\; (x + 1{,}5)^2 = 6{,}25 \\ & x + 1{,}5 = \pm 2{,}5 \;\Rightarrow\; x = 1 \text{ oder } x = -4 \end{aligned}

Definition

Herleitung der Lösungsformel

\begin{aligned} x^2 + px + q &= 0 \\ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q &= 0 \\ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\ x + \frac{p}{2} &= \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \\ x &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{aligned}

Definition

Satz von Vieta

x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q

Beispiel

Lösungen mit Vieta finden

Löse a) $x^2 - 7x + 12 = 0$ und b) $x^2 + x - 12 = 0$ ohne Formel.

\begin{aligned} \text{a)}\; & x_1 + x_2 = 7,\; x_1 \cdot x_2 = 12 \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = 4 \\ \text{b)}\; & x_1 + x_2 = -1,\; x_1 \cdot x_2 = -12 \;\Rightarrow\; x_1 = -4,\; x_2 = 3 \end{aligned}

Definition

Linearfaktorzerlegung

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Beispiel

In Linearfaktoren zerlegen

Zerlege $2x^2 - 4x - 6$ in Linearfaktoren.

\begin{aligned} 2x^2 - 4x - 6 &= 2(x^2 - 2x - 3) \\ x_1 + x_2 = 2,\; x_1 \cdot x_2 = -3 &\;\Rightarrow\; x_1 = 3,\; x_2 = -1 \\ 2x^2 - 4x - 6 &= 2(x - 3)(x + 1) \end{aligned}

Definition

Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung entsteht, wenn in einer quadratischen Gleichung das Gleichheitszeichen durch $<$ , $\leq$ , $>$ oder $\geq$ ersetzt wird. Du gehst so vor:

Bringe alles auf eine Seite, sodass rechts null steht.
Zerlege den Term in Linearfaktoren. Die Nullstellen teilen die Zahlengerade in Bereiche.
Lege eine Vorzeichentabelle an: In jedem Bereich hat jeder Faktor ein festes Vorzeichen, und das Produkt folgt der Regel „Minus mal Minus ist Plus“.
Lies die Bereiche ab, die zur Ungleichung passen. Die Nullstellen gehören nur bei $\leq$ und $\geq$ dazu.

Die Lösungsmenge schreibst du als Intervall wie bei den linearen Ungleichungen. Das Zeichen $\cup$ verbindet zwei Intervalle und heißt „oder“.

Beispiel

Quadratische Ungleichungen lösen

Löse a) $x^2 - 2x - 3 < 0$ und b) $x^2 + 2x \geq 8$ .

Zu a): Es ist $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ .

Bereich	$x < -1$	$-1 < x < 3$	$x > 3$
$x + 1$	−	+	+
$x - 3$	−	−	+
Produkt	+	−	+

\begin{aligned} \text{a)}\; & L = ]-1; 3[ \\ \text{b)}\; & x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) \geq 0 \;\Rightarrow\; L = ]-\infty; -4] \cup [2; \infty[ \end{aligned}

Häufige Fehler

Ergänzen, ohne auszugleichen

Jemand schreibt $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 + 5$ .

Beim Ausmultiplizieren von $(x + 3)^2$ entsteht $x^2 + 6x + 9$ . Die 9 ist neu und muss wieder abgezogen werden. Richtig ist $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ .

Häufige Fehler

Vorzeichen bei Vieta

Bei $x^2 - 7x + 12 = 0$ sagt jemand: „Die Summe der Lösungen ist $p = -7$ , also sind es $-3$ und $-4$ .“

Die Summe der Lösungen ist $-p$ , also $+7$ . Die Lösungen sind 3 und 4. Die Probe zeigt den Fehler: Für $x = -3$ gilt $9 + 21 + 12 = 42$ , nicht 0.

Häufige Fehler

Bei der Ungleichung ein Intervall vergessen

Jemand löst $x^2 \geq 9$ und schreibt $x \geq 3$ .

Auch $x = -5$ erfüllt die Ungleichung, denn $25 \geq 9$ . Wegen $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \geq 0$ gilt $x \leq -3$ oder $x \geq 3$ , also $L = ]-\infty; -3] \cup [3; \infty[$ .

Zusammenfassung

Quadratische Ergänzung: $x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$ . Du addierst und subtrahierst dieselbe Zahl.
Mit der Ergänzung kannst du jede quadratische Gleichung lösen. Aus ihr folgt die Lösungsformel.
Satz von Vieta: Die Lösungen von $x^2 + px + q = 0$ haben die Summe $-p$ und das Produkt $q$ . Das hilft bei ganzzahligen Lösungen und bei der Probe.
Linearfaktorzerlegung: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , wenn es Nullstellen gibt.
Quadratische Ungleichungen löst du mit Nullstellen und einer Vorzeichentabelle. Bei $<$ und $>$ gehören die Nullstellen nicht dazu.