Lektion 4.1

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

17 min Lesezeit

Auf dem Wochenmarkt stehen die Preise pro Kilogramm nicht am Stand. Drei Kunden kaufen Obst und nennen, was sie bezahlt haben. Lena kauft je 1 kg Äpfel, Birnen und Trauben und zahlt 9 Euro. Murat kauft 2 kg Äpfel, 1 kg Birnen und 3 kg Trauben und zahlt 19 Euro. Jana kauft 1 kg Äpfel, 2 kg Birnen und 2 kg Trauben und zahlt 16 Euro.

Gesucht sind die drei Preise. Mit zwei Einkäufen reicht das nicht, denn es gibt zu viele passende Preise. Mit drei Einkäufen könnte es klappen. Gleichungssysteme mit zwei Variablen kennst du schon. Hier sind es drei Unbekannte und drei Gleichungen. Lässt sich das alte Verfahren übertragen? Gibt es immer genau eine Lösung? Das klärt diese Lektion.

Definition

Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

Sei $x$ der Preis für 1 kg Äpfel, $y$ der Preis für 1 kg Birnen und $z$ der Preis für 1 kg Trauben, jeweils in Euro. Jeder Einkauf ergibt eine Gleichung. Zusammen bilden die drei Gleichungen ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen. „Linear“ heißt wie bisher: Die Variablen kommen nur in der ersten Potenz vor und werden nicht miteinander multipliziert. Die Gleichungen nummerierst du mit I, II und III.

Eine Lösung ist ein Zahlentripel $(x \mid y \mid z)$ , das alle drei Gleichungen wahr macht. Die Lösungsmenge $L$ sammelt alle Lösungen. Ein Tripel, das nur zu zwei Gleichungen passt, ist keine Lösung.

\begin{aligned} \text{I:}\quad x + y + z &= 9 \\ \text{II:}\quad 2x + y + 3z &= 19 \\ \text{III:}\quad x + 2y + 2z &= 16 \end{aligned}

Definition

Lösen durch Eliminieren

Beim Additionsverfahren mit zwei Variablen lässt du eine Variable verschwinden (eliminieren). Bei drei Variablen machst du das zweimal, bis ein System mit zwei Variablen übrig ist. Dein Weg:

Wähle eine Variable, die du eliminierst. Am besten eine, deren Faktoren (die Zahlen davor, Koeffizienten genannt) klein sind.
Eliminiere sie aus zwei verschiedenen Paaren von Gleichungen, zum Beispiel aus I und II und aus I und III. Dafür multiplizierst du Gleichungen mit einer Zahl (beide Seiten!) und addierst oder subtrahierst sie. Es entstehen zwei neue Gleichungen IV und V mit nur zwei Variablen.
Löse das System aus IV und V wie gewohnt.
Setze die beiden Werte in eine ursprüngliche Gleichung ein und berechne die dritte Variable.
Mache die Probe in allen drei ursprünglichen Gleichungen.

Beispiel

Die Obstpreise

Löse das System aus der Motivation.

\begin{aligned} \text{IV} = \text{II} - 2 \cdot \text{I}:\quad -y + z &= 1 \\ \text{V} = \text{III} - \text{I}:\quad y + z &= 7 \\ \text{IV} + \text{V}:\quad 2z &= 8 \;\Rightarrow\; z = 4 \\ \text{in V}:\quad y + 4 &= 7 \;\Rightarrow\; y = 3 \\ \text{in I}:\quad x + 3 + 4 &= 9 \;\Rightarrow\; x = 2 \end{aligned}

Du eliminierst $x$ . In II steht $2x$ , deshalb ziehst du das Doppelte von I ab: $2x + y + 3z - (2x + 2y + 2z) = 19 - 18$ ergibt $-y + z = 1$ . In III steht $x$ , also reicht es, I abzuziehen: $y + z = 7$ . Addierst du IV und V, fällt $y$ weg. Dann folgen $y$ und $x$ durch Einsetzen. Probe: In I gilt $2 + 3 + 4 = 9$ , in II gilt $4 + 3 + 12 = 19$ , in III gilt $2 + 6 + 8 = 16$ . Ein Kilogramm Äpfel kostet 2 Euro, Birnen 3 Euro, Trauben 4 Euro. Es ist $L = \{(2 \mid 3 \mid 4)\}$ .

Beispiel

Mit größeren Faktoren

Löse $\text{I: } x + 2y - z = 2$ , $\text{II: } 2x - y + 3z = 9$ , $\text{III: } 3x + y + z = 8$ .

\begin{aligned} \text{IV} = \text{II} - 2 \cdot \text{I}:\quad -5y + 5z &= 5 \\ \text{V} = \text{III} - 3 \cdot \text{I}:\quad -5y + 4z &= 2 \\ \text{IV} - \text{V}:\quad z &= 3 \\ \text{in IV}:\quad -5y + 15 &= 5 \;\Rightarrow\; y = 2 \\ \text{in I}:\quad x + 4 - 3 &= 2 \;\Rightarrow\; x = 1 \end{aligned}

Wieder wird $x$ eliminiert. In II steht $2x$ , in III steht $3x$ . Du ziehst deshalb von II das Doppelte und von III das Dreifache von I ab. Dabei wird jede Gleichung ganz vervielfacht, auch die rechte Seite: $3 \cdot \text{I}$ lautet $3x + 6y - 3z = 6$ . Probe: In II gilt $2 - 2 + 9 = 9$ , in III gilt $3 + 2 + 3 = 8$ , in I gilt $1 + 4 - 3 = 2$ . Die Lösung ist $(1 \mid 2 \mid 3)$ .

Definition

Lösbarkeitsfälle

Bei zwei Variablen kennst du drei Fälle. Bei drei Variablen ist es genauso:

Genau eine Lösung: Am Ende bekommst du für jede Variable einen festen Wert.
Keine Lösung: Beim Eliminieren entsteht eine falsche Aussage wie $0 = 1$ . Die Gleichungen widersprechen sich, und $L$ ist die leere Menge.
Unendlich viele Lösungen: Es entsteht eine wahre Aussage wie $0 = 0$ . Dann ist eine Gleichung überflüssig, weil sie sich aus den anderen ergibt. Du darfst eine Variable frei wählen, zum Beispiel $z = t$ , und die anderen Variablen hängen von $t$ ab.

Anschaulich beschreibt jede dieser Gleichungen in der Regel eine ebene Fläche im Raum. Drei solche Flächen können sich in einem Punkt schneiden, eine gemeinsame Gerade haben oder keinen gemeinsamen Punkt haben.

Beispiel

Keine oder unendlich viele Lösungen

Untersuche $\text{I: } x + y + z = 6$ , $\text{II: } x - y + z = 2$ , $\text{III: } x + 2y + z = c$ für $c = 8$ und für $c = 9$ .

\begin{aligned} \text{IV} = \text{II} - \text{I}:\quad -2y &= -4 \;\Rightarrow\; y = 2 \\ \text{V} = \text{III} - \text{I}:\quad y &= c - 6 \\ \text{IV in V}:\quad 2 &= c - 6 \end{aligned}

Hier fallen $x$ und $z$ zugleich weg, weil ihre Faktoren in I, II und III gleich sind. Für $c = 8$ lautet die letzte Zeile $2 = 2$ . Das ist wahr, es gibt unendlich viele Lösungen. Aus I folgt $x + 2 + z = 6$ , also $x = 4 - z$ . Mit $z = t$ ist $L = \{(4 - t \mid 2 \mid t) \mid t \in \mathbb{R}\}$ . Für $t = 1$ ergibt sich $(3 \mid 2 \mid 1)$ , und die Probe in II ( $3 - 2 + 1 = 2$ ) und III ( $3 + 4 + 1 = 8$ ) stimmt. Für $c = 9$ lautet die letzte Zeile $2 = 3$ . Das ist falsch, es gibt keine Lösung.

Der Fall ohne Lösung im Rechenweg

1Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten ( $x$ , $y$ , $z$ ). Lösen mit dem Gauß-Verfahren: Man schreibt nur die Zahlen vor den Unbekannten und die rechten Seiten in eine erweiterte Matrix und formt die Zeilen so um, dass die Unbekannten nach und nach wegfallen. Das ist dasselbe wie das Additionsverfahren aus der Schule, nur übersichtlicher aufgeschrieben.
$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{I} \quad x + y + z &= 6 \\ \mathrm{II} \quad x - y + z &= 2 \\ \mathrm{III} \quad x + 2y + z &= 9 \end{aligned}$
2Erweiterte Matrix
Die erweiterte Matrix: links die Koeffizienten, rechts vom Strich die rechten Seiten.
$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 9 \end{array}\right)$
3Zeilenumformung
In der ersten Spalte alle anderen Einträge zu 0 machen: Von jeder anderen Zeile wird das passende Vielfache der 1. Zeile abgezogen.
$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 9 \end{array}\right) \; \begin{array}{l} \\ \scriptstyle \mathrm{II} - \mathrm{I} \\ \scriptstyle \mathrm{III} - \mathrm{I} \end{array} \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$
4Zeilentausch
Zeile 2 und Zeile 3 tauschen, damit oben in der zweiten Spalte eine 1 steht; das erspart Brüche.
$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right) \; \begin{array}{l} \\ \scriptstyle \mathrm{II} \leftrightarrow \mathrm{III} \\ \end{array} \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \end{array}\right)$
5Zeilenumformung
In der zweiten Spalte alle anderen Einträge zu 0 machen: Von jeder anderen Zeile wird das passende Vielfache der 2. Zeile abgezogen.
$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \end{array}\right) \; \begin{array}{l} \scriptstyle \mathrm{I} - \mathrm{II} \\ \\ \scriptstyle \mathrm{III} + 2 \cdot \mathrm{II} \end{array} \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$
6Keine Lösung
Eine Zeile lautet jetzt $0 = c$ mit einer Zahl $c \neq 0$ . Das ist ein Widerspruch: Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis $\displaystyle L = \{\,\}$

Das Werkzeug löst das System mit dem Gauß-Verfahren. Das ist das Additionsverfahren, aufgeschrieben als Tabelle aus den Zahlen des Systems. Sieh dir an, bei welchem Schritt der Widerspruch auftaucht. Ändere dann die letzte 9 in eine 8 und klicke auf "Rechnen": Jetzt gibt es unendlich viele Lösungen. Probiere auch das Obstsystem x + y + z = 9; 2x + y + 3z = 19; x + 2y + 2z = 16 (die Gleichungen trennst du mit einem Semikolon).

Häufige Fehler

In jedem Paar eine andere Variable eliminieren

Jemand eliminiert aus I und II die Variable $x$ und aus I und III die Variable $z$ . Die neuen Gleichungen enthalten dann $y$ und $z$ sowie $x$ und $y$ .

Richtig ist

Die beiden neuen Gleichungen müssen dieselben zwei Variablen enthalten, sonst bilden sie kein System, das du wie gewohnt lösen kannst. Eliminiere aus beiden Paaren dieselbe Variable.

Häufige Fehler

Nur eine Seite vervielfachen

Aus $x + 2y - z = 2$ wird mit dem Faktor 2 die Gleichung $2x + 4y - 2z = 2$ .

Richtig ist

Beim Vervielfachen gilt der Faktor für die ganze Gleichung. Richtig ist $2x + 4y - 2z = 4$ , denn auch die rechte Seite wird verdoppelt. Sonst ist die neue Gleichung nicht gleichwertig zur alten.

Häufige Fehler

Aus 0 = 0 folgt keine Lösung

Beim Eliminieren entsteht $0 = 0$ . Jemand schließt: Es gibt keine Lösung.

Richtig ist

$0 = 0$ ist wahr und widerspricht nichts. Es zeigt, dass eine Gleichung überflüssig ist und es unendlich viele Lösungen gibt. Nur eine falsche Aussage wie $0 = 1$ bedeutet, dass es keine Lösung gibt.

Zusammenfassung

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen hat drei Gleichungen. Eine Lösung ist ein Tripel $(x \mid y \mid z)$ , das alle drei Gleichungen erfüllt.
Du eliminierst dieselbe Variable aus zwei verschiedenen Paaren von Gleichungen. So entsteht ein System mit zwei Variablen, das du wie gewohnt löst.
Danach setzt du ein, um die dritte Variable zu berechnen, und machst die Probe in allen drei ursprünglichen Gleichungen.
Wenn du eine Gleichung vervielfachst, vervielfachst du beide Seiten.
Es gibt drei Fälle: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
Eine falsche Aussage wie $0 = 1$ heißt: keine Lösung. Eine wahre Aussage wie $0 = 0$ heißt: unendlich viele Lösungen, mit einem frei gewählten Parameter $t$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Löse das System $\text{I: } x + y = 5$ , $\text{II: } y + z = 7$ , $\text{III: } x + z = 6$ . Welchen Wert hat $z$ ?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welches Tripel $(x \mid y \mid z)$ löst das System $\text{I: } x + y + z = 6$ , $\text{II: } 2x - y + z = 3$ , $\text{III: } x + 2y - z = 2$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Beim Eliminieren entsteht die Zeile $0 = 4$ . Was folgt daraus für das Gleichungssystem?

Aufgabe 4Numerisch

Drei Zahlen haben die Summe 27. Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite. Die dritte Zahl ist um 3 größer als die zweite. Wie groß ist die erste Zahl?

Aufgabe 5Numerisch

Löse das System $\text{I: } 2x + y + z = 9$ , $\text{II: } x + 3y - z = 5$ , $\text{III: } x - y + 2z = 6$ . Wie groß ist $x + y + z$ ?

Aufgabe 6Freitext

Betrachte $\text{I: } x + y + z = 5$ , $\text{II: } x + y = 2$ , $\text{III: } 2x + 2y + 2z = 10$ . Wie viele Lösungen hat das System? Begründe deine Antwort.