Lektion 4.5

Extremwertprobleme und Schnittpunkte bei quadratischen Funktionen

19 min Lesezeit

Für ein Kaninchengehege liegen 12 m Zaun bereit. Das Gehege soll rechteckig sein und mit einer Seite an einer Hauswand liegen. An der Wand braucht es keinen Zaun. Welche Maße geben die größte Fläche?

Du probierst. Bei 1 m Breite bleiben für die Länge $12 - 2 \cdot 1 = 10$ m, die Fläche ist 10 m². Bei 2 m Breite sind es 8 m Länge und 16 m². Bei 4 m Breite sind es 4 m Länge und ebenfalls 16 m². Bei 3 m Breite sind es 6 m Länge und 18 m². Das scheint das Beste zu sein. Wie sicher ist das? Und wie löst du solche Aufgaben ohne Probieren? Außerdem fragst du dich: Wo schneiden sich zwei Graphen, und wie findest du eine Parabel, wenn du nur einige Punkte kennst? Das klärt diese Lektion.

Definition

Extremwertaufgaben

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ihr tiefster Punkt (für $a > 0$ ) oder ihr höchster Punkt (für $a < 0$ ). Sein $y$ -Wert ist der kleinste oder größte Wert der Funktion. Man nennt ihn Minimum oder Maximum, zusammen Extremwert. Eine Extremwertaufgabe (Optimierungsproblem) fragt, wann eine Größe möglichst groß oder möglichst klein wird. Du gehst so vor:

Lege fest, was extremal werden soll (die Zielgröße), und wähle eine Variable $x$ .
Drücke alle anderen Größen mit $x$ aus. Dabei hilft eine feste Nebenbedingung, etwa die Länge des Zauns.
Stelle die Funktion für die Zielgröße auf und bestimme, welche $x$ in der Aufgabe möglich sind.
Bestimme den Scheitelpunkt, mit Ergänzung oder mit $x_S = -\frac{b}{2a}$ .
Prüfe, ob $x_S$ in dem möglichen Bereich liegt, und beantworte die Frage in einem Satz.

Beispiel

Das Gehege

Aus 12 m Zaun soll an einer Hauswand ein Rechteck mit größtmöglicher Fläche entstehen.

\begin{aligned} A(x) &= x \cdot (12 - 2x) = -2x^2 + 12x, \quad 0 < x < 6 \\ A(x) &= -2(x^2 - 6x) = -2\left((x - 3)^2 - 9\right) = -2(x - 3)^2 + 18 \end{aligned}

Sei $x$ die Breite in Metern. Zwei Seiten sind $x$ lang, die dritte Seite ist $12 - 2x$ lang. Die Fläche ist Breite mal Länge. Beide Seiten müssen positiv sein, deshalb gilt $0 < x < 6$ . Wegen $a = -2 < 0$ ist der Scheitel $S(3 \mid 18)$ der höchste Punkt. Er liegt im möglichen Bereich. Die größte Fläche ist 18 m². Die Breite ist 3 m, die Länge ist $12 - 6 = 6$ m. Das bestätigt das Probieren.

Die Fläche in Abhängigkeit von der Breite

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus über den Graphen. Die Werte stehen unter dem Bild. Suche den höchsten Punkt in der Nähe von x = 3: Dort liest du fast 18 ab. Vergleiche die Werte in der Nähe von x = 2 und x = 4 (jeweils 16). Negative Breiten sind für das Gehege sinnlos. Mit + und − änderst du den Ausschnitt, mit „Zurücksetzen“ kommst du zurück.

Beispiel

Der Eintrittspreis

Für ein Schulfest kosten Karten 10 Euro, und es kommen 200 Gäste. Angenommen, für jeden Euro mehr kommen 10 Gäste weniger. Bei welchem Preis sind die Einnahmen am größten?

\begin{aligned} U(x) &= (10 + x)(200 - 10x) = -10x^2 + 100x + 2000 \\ U(x) &= -10(x - 5)^2 + 2250 \end{aligned}

Sei $x$ die Preiserhöhung in Euro. Der Preis ist $10 + x$ , und es kommen $200 - 10x$ Gäste. Die Einnahmen ohne Kosten sind das Produkt. Ausmultipliziert: $2000 - 100x + 200x - 10x^2$ . Die Ergänzung ergibt $-10(x^2 - 10x) + 2000 = -10\left((x - 5)^2 - 25\right) + 2000$ . Der Scheitel ist $S(5 \mid 2250)$ . Der Preis sollte also 15 Euro sein. Dann kommen 150 Gäste, und die Einnahmen sind 2250 Euro. Probe: $15 \cdot 150 = 2250$ .

Definition

Schnittpunkte von Graphen

Zwei Graphen $f$ und $g$ schneiden sich dort, wo beide denselben Wert haben. Du setzt gleich: $f(x) = g(x)$ . Bringe alles auf eine Seite und löse die quadratische Gleichung. Jede Lösung ist die $x$ -Koordinate eines Schnittpunkts. Die $y$ -Koordinate bekommst du, indem du $x$ in $f$ oder $g$ einsetzt.

Bei einer Parabel und einer Geraden entscheidet die Diskriminante: $D > 0$ zwei Schnittpunkte, $D = 0$ ein gemeinsamer Punkt (die Gerade berührt die Parabel), $D < 0$ keiner. Bei zwei Parabeln mit verschiedenem $a$ ist es genauso. Haben beide Parabeln dasselbe $a$ , fällt $x^2$ beim Gleichsetzen weg. Dann bleibt eine lineare Gleichung mit höchstens einer Lösung, oder die Parabeln sind gleich.

Beispiel

Parabel und Gerade, Parabel und Parabel

Bestimme die Schnittpunkte a) von $f(x) = x^2 - 2x$ und $g(x) = x + 4$ , b) von $f(x) = x^2 - 4x$ und $h(x) = -x^2 + 2x + 8$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & x^2 - 2x = x + 4 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -1,\; x_2 = 4 \\ & S_1(-1 \mid 3),\quad S_2(4 \mid 8) \\ \text{b)}\; & x^2 - 4x = -x^2 + 2x + 8 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = -1,\; x_2 = 4 \\ & T_1(-1 \mid 5),\quad T_2(4 \mid 0) \end{aligned}

In a) wird $x^2 - 2x - x - 4 = 0$ zu $x^2 - 3x - 4 = 0$ . Mit $p = -3$ , $q = -4$ ist $D = 2{,}25 + 4 = 6{,}25$ , und $x = 1{,}5 \pm 2{,}5$ . Dann setzt du in $g$ ein: $g(-1) = 3$ und $g(4) = 8$ . Probe in $f$ : $f(-1) = 1 + 2 = 3$ und $f(4) = 16 - 8 = 8$ . In b) bringst du alles nach links: $2x^2 - 6x - 8 = 0$ . Teilen durch 2 gibt dieselbe Gleichung wie in a). Mit $f$ folgt $f(-1) = 1 + 4 = 5$ und $f(4) = 16 - 16 = 0$ . Probe in $h$ : $h(-1) = -1 - 2 + 8 = 5$ und $h(4) = -16 + 8 + 8 = 0$ . Eine Gerade mit $g(x) = 2x - 4$ ergäbe bei $f$ aus a) $x^2 - 4x + 4 = 0$ , also $(x - 2)^2 = 0$ . Dann gibt es nur den Berührpunkt $(2 \mid 0)$ .

Definition

Parabelgleichung aus Punkten

Die Normalform $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat drei unbekannte Zahlen. Du brauchst deshalb drei Punkte. Jeder Punkt $(x_0 \mid y_0)$ ergibt eine Gleichung $ax_0^2 + bx_0 + c = y_0$ . Zusammen ist das ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen, wie du es in der Lektion dazu gelöst hast. Zwei Punkte reichen nicht, denn durch zwei Punkte gehen unendlich viele Parabeln.

Ist der Scheitelpunkt bekannt, ist die Scheitelpunktform bequemer: Der Scheitel liefert $d$ und $e$ , ein weiterer Punkt liefert $a$ . Bei bekannten Nullstellen nimmst du entsprechend die faktorisierte Form.

Beispiel

Eine Parabel durch Punkte legen

a) Bestimme die Parabel durch $A(0 \mid 1)$ , $B(1 \mid 0)$ und $C(2 \mid 3)$ . b) Bestimme die Parabel mit dem Scheitel $S(2 \mid -1)$ durch $P(4 \mid 3)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & c = 1,\quad a + b + 1 = 0,\quad 4a + 2b + 1 = 3 \\ & a + b = -1,\quad 2a + b = 1 \;\Rightarrow\; a = 2,\; b = -3 \;\Rightarrow\; f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \\ \text{b)}\; & a(4 - 2)^2 - 1 = 3 \;\Rightarrow\; 4a = 4 \;\Rightarrow\; f(x) = (x - 2)^2 - 1 \end{aligned}

In a) liefert $A$ gleich $c = 1$ , denn $f(0) = c$ . Bei $B$ steht $a + b + c = 0$ , bei $C$ steht $4a + 2b + c = 3$ . Mit $c = 1$ bleiben $a + b = -1$ und $4a + 2b = 2$ . Teilst du die zweite Gleichung durch 2, entsteht $2a + b = 1$ . Die Differenz ist $a = 2$ und dann $b = -3$ . Probe für $C$ : $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ . In b) ist $d = 2$ , $e = -1$ , und $P$ liefert $a$ . Probe: $f(4) = 4 - 1 = 3$ .

Häufige Fehler

Die falsche Größe angeben

Beim Gehege schreibt jemand: „Die größte Fläche ist 3 m².“

Richtig ist

Die 3 ist die $x$ -Koordinate des Scheitels, also die Breite. Die größte Fläche ist der $y$ -Wert des Scheitels: $A(3) = 18$ m². Lies in der Frage nach, welche Größe gesucht ist, und antworte mit der richtigen.

Häufige Fehler

Nur die x-Werte der Schnittpunkte

Jemand löst $f(x) = g(x)$ , erhält $x_1 = -1$ und $x_2 = 4$ und schreibt diese als Schnittpunkte.

Richtig ist

Ein Punkt hat zwei Koordinaten. Setze jedes $x$ in $f$ oder $g$ ein und schreibe $S_1(-1 \mid 3)$ und $S_2(4 \mid 8)$ . Rechne die $y$ -Koordinate immer in beiden Funktionen nach: Beide Werte müssen gleich sein.

Häufige Fehler

Zwei Punkte reichen für eine Parabel

Jemand will eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ durch nur zwei Punkte bestimmen.

Richtig ist

Zwei Punkte ergeben nur zwei Gleichungen für drei Unbekannte. Es bleibt ein Parameter frei, es gibt unendlich viele Parabeln. Eine zusätzliche Angabe wie der Scheitel oder ein dritter Punkt legt sie fest.

Zusammenfassung

Der Scheitelpunkt liefert den größten ( $a < 0$ ) oder kleinsten ( $a > 0$ ) Wert einer quadratischen Funktion.
Bei Extremwertaufgaben stellst du mit der Nebenbedingung eine Funktion für die Zielgröße auf, bestimmst den Scheitel und prüfst, ob er im möglichen Bereich liegt.
Antworte auf die gestellte Frage: Die $x$ -Koordinate des Scheitels ist der Ort, die $y$ -Koordinate der Extremwert.
Schnittpunkte findest du durch Gleichsetzen $f(x) = g(x)$ . Die Diskriminante zeigt, ob es zwei, einen oder keinen gibt. Die $y$ -Koordinate bekommst du durch Einsetzen.
Für eine Parabel in Normalform brauchst du drei Punkte: Sie führen zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen. Mit Scheitel oder Nullstellen sind die anderen Formen bequemer.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Zwei Zahlen haben die Summe 20. Wie groß ist ihr Produkt höchstens?

Aufgabe 2Multiple Choice

Wie viele gemeinsame Punkte haben die Parabel $f(x) = x^2 - 4$ und die Gerade $g(x) = 2x - 5$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Die Parabel $f(x) = x^2$ und die Gerade $g(x) = x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Welche $x$ -Koordinate hat der Schnittpunkt mit der positiven $x$ -Koordinate?

Aufgabe 4Numerisch

Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $A(0 \mid 3)$ , $B(1 \mid 2)$ und $C(2 \mid 3)$ . Berechne $f(3)$ .

Aufgabe 5Numerisch

Ein Ball wird geworfen. Für seine Höhe gilt näherungsweise $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (Zeit $t$ in Sekunden, Höhe $h$ in Metern). Wie hoch kommt er höchstens? Gib die Höhe in Metern an.

Aufgabe 6Freitext

Zeige, dass sich die Parabel $f(x) = x^2 + 1$ und die Gerade $g(x) = x$ nicht schneiden.