Lektion 4.2

Quadratische Gleichungen

18 min Lesezeit

Ein rechteckiges Beet soll 40 m² groß sein. Es soll 3 m länger als breit sein. Wie breit muss es sein?

Sei $x$ die Breite in Metern. Dann ist die Länge $x + 3$ Meter, und die Fläche ist $x \cdot (x + 3)$ . Du suchst also ein $x$ mit $x \cdot (x + 3) = 40$ . Multiplizierst du aus, steht dort $x^2 + 3x = 40$ . In dieser Gleichung kommt $x$ in der zweiten und in der ersten Potenz vor. Die Umformungen für lineare Gleichungen reichen nicht aus.

Probieren führt zum Ziel: Für $x = 4$ ist die Fläche $4 \cdot 7 = 28$ , zu klein. Für $x = 6$ ist sie $6 \cdot 9 = 54$ , zu groß. Für $x = 5$ ist sie $5 \cdot 8 = 40$ . Aber gibt es noch eine weitere Lösung? Und wie findest du sie ohne Probieren? Das klärt diese Lektion.

Definition

Quadratische Gleichung, allgemeine Form und Normalform

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable in höchster Potenz als $x^2$ vorkommt. Du kannst sie immer so umformen, dass auf einer Seite null steht. Die allgemeine Form lautet $ax^2 + bx + c = 0$ mit Zahlen $a$ , $b$ , $c$ und $a \neq 0$ . Wäre $a = 0$ , fiele $x^2$ weg, und die Gleichung wäre linear.

Teilst du durch $a$ , erhältst du die Normalform $x^2 + px + q = 0$ mit $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$ . Zum Beispiel wird $3x^2 - 12x + 9 = 0$ durch Teilen mit 3 zu $x^2 - 4x + 3 = 0$ . Hier ist $p = -4$ und $q = 3$ . Die Beet-Gleichung wird zu $x^2 + 3x - 40 = 0$ .

ax^2 + bx + c = 0 \;\; (a \neq 0) \qquad \Longrightarrow \qquad x^2 + px + q = 0

Definition

Graphisches Lösen

Zur Gleichung $x^2 + px + q = 0$ gehört die Funktion $f(x) = x^2 + px + q$ . Eine Lösung ist ein $x$ mit $f(x) = 0$ , also eine Nullstelle von $f$ . Am Graphen sind das die Stellen, an denen er die $x$ -Achse schneidet oder berührt. Der Graph hat die Form einer Schale und heißt Parabel. Du kennst eine solche Kurve vom Graphen von $x^2 - 2$ . Die Lektion zu quadratischen Funktionen behandelt Parabeln genauer.

Eine Parabel kann die $x$ -Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht treffen. Eine quadratische Gleichung hat deshalb zwei, eine oder keine Lösung.

Beispiel

Graphisch lösen

Löse $x^2 - 2x - 3 = 0$ mit einer Wertetabelle von $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

x	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	5	0	−3	−4	−3	0	5

Du rechnest zum Beispiel $f(-2) = 4 + 4 - 3 = 5$ und $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ . In der Tabelle steht bei $x = -1$ und bei $x = 3$ der Wert 0. Dort schneidet der Graph die $x$ -Achse. Probe: $(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$ und $3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 0$ . Also ist $L = \{-1; 3\}$ . Ablesen liefert oft nur Näherungswerte, deshalb brauchst du auch Rechenverfahren.

Definition

Wurzelziehen und Nullproduktsatz

Zwei einfache Fälle löst du ohne Formel:

Fehlt das lineare Glied ( $x^2 = c$ ): Für $c > 0$ gibt es die zwei Lösungen $x = \sqrt{c}$ und $x = -\sqrt{c}$ . Für $c = 0$ ist $x = 0$ die einzige Lösung. Für $c < 0$ gibt es keine, denn ein Quadrat ist nie negativ.
Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Aus $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ folgt $x = x_1$ oder $x = x_2$ . Fehlt das Absolutglied (die Zahl ohne $x$ ), klammerst du $x$ aus.

x^2 = c \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{c} \qquad a \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; a = 0 \text{ oder } b = 0

Beispiel

Wurzelziehen und Nullproduktsatz

Löse a) $2x^2 - 18 = 0$ , b) $x^2 - 5x = 0$ , c) $(x - 2)(x + 7) = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2x^2 = 18 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = 3 \text{ oder } x = -3 \\ \text{b)}\; & x(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \text{ oder } x = 5 \\ \text{c)}\; & x - 2 = 0 \text{ oder } x + 7 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \text{ oder } x = -7 \end{aligned}

In a) löst du nach $x^2$ auf und ziehst die Wurzel. Beide Vorzeichen zählen, denn $3^2 = (-3)^2 = 9$ . In b) klammerst du $x$ aus und liest die Lösungen an den Faktoren ab. Probe für $x = 5$ : $25 - 25 = 0$ . In c) steht das Produkt schon da.

Definition

Lösungsformel und Diskriminante

Für die Normalform $x^2 + px + q = 0$ gilt die Lösungsformel (pq-Formel). Den Term unter der Wurzel nennt man die Diskriminante $D$ . Sie sagt dir, wie viele Lösungen es gibt:

$D > 0$ : zwei Lösungen (Plus und Minus vor der Wurzel).
$D = 0$ : genau eine Lösung $x = -\frac{p}{2}$ .
$D < 0$ : keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Wurzel. Die Parabel trifft die $x$ -Achse nicht.

Bei $ax^2 + bx + c = 0$ führt die abc-Formel (Mitternachtsformel) $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ zu denselben Lösungen. Ihre Diskriminante $b^2 - 4ac$ hat dasselbe Vorzeichen. Warum die Formel stimmt, zeigt die nächste Lektion. Hier lernst du, sie sicher anzuwenden. Wichtig: Die Gleichung muss in Normalform stehen, und $p$ und $q$ haben ihr Vorzeichen.

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \qquad D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q

Beispiel

Die Lösungsformel anwenden

Löse a) $x^2 - 2x - 3 = 0$ und b) $3x^2 - 12x + 9 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & p = -2,\; q = -3: \quad x = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2 \;\Rightarrow\; x_1 = -1,\; x_2 = 3 \\ \text{b)}\; & x^2 - 4x + 3 = 0: \quad x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 3 \end{aligned}

In a) ist $-\frac{p}{2} = -\frac{-2}{2} = 1$ und $D = (-1)^2 - (-3) = 4$ . Das passt zur Wertetabelle von oben. In b) teilst du zuerst durch 3, damit $x^2$ allein steht. Dann ist $p = -4$ , $q = 3$ und $D = 4 - 3 = 1$ . Probe für $x = 3$ in der ursprünglichen Gleichung: $3 \cdot 9 - 36 + 9 = 0$ .

Beispiel

Wie viele Lösungen?

Bestimme mit der Diskriminante die Lösungen von a) $x^2 + 4x + 5 = 0$ und b) $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = 2^2 - 5 = -1 < 0 \;\Rightarrow\; L = \{\} \\ \text{b)}\; & D = (-3)^2 - 9 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \end{aligned}

In a) ist $p = 4$ und $q = 5$ , also $\left(\frac{p}{2}\right)^2 = 4$ und $D = 4 - 5 = -1$ . Unter der Wurzel stünde eine negative Zahl, die Gleichung hat keine Lösung. Die geschweiften Klammern ohne Inhalt bedeuten: leere Menge. In b) ist $p = -6$ , $q = 9$ und $D = 9 - 9 = 0$ . Die Parabel berührt die $x$ -Achse nur im Punkt bei $x = 3$ . Probe: $9 - 18 + 9 = 0$ .

Beispiel

Das Beet

Löse die Gleichung $x \cdot (x + 3) = 40$ aus der Motivation und gib die Maße des Beets an.

\begin{aligned} x^2 + 3x - 40 &= 0 \\ x &= -1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 40} = -1{,}5 \pm \sqrt{42{,}25} = -1{,}5 \pm 6{,}5 \\ x_1 &= -8, \quad x_2 = 5 \end{aligned}

Es ist $p = 3$ , also $-\frac{p}{2} = -1{,}5$ und $\left(\frac{p}{2}\right)^2 = 2{,}25$ . Mit $q = -40$ wird $D = 2{,}25 + 40 = 42{,}25$ und $\sqrt{42{,}25} = 6{,}5$ . Mathematisch löst auch $x = -8$ die Gleichung, denn $(-8) \cdot (-5) = 40$ . Eine Breite von $-8$ m gibt es nicht. Die Lösung muss zur Aufgabe passen. Das Beet ist 5 m breit und 8 m lang. Probe: $5 \cdot 8 = 40$ .

Die Lösungsformel Schritt für Schritt

1pq-Formel
pq-Formel: Für $x^{2} + px + q = 0$ gilt $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}$ . Hier ist $p = 3$ und $q = -40$ . (Die abc-Formel, auch Mitternachtsformel, führt zum selben Ergebnis, nur ohne vorher zu teilen.)
$\displaystyle x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(-40\right)} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}}$
2Lösungen
Unter der Wurzel steht eine positive Zahl (die Diskriminante $D = \frac{169}{4}$ ist größer als 0), also gibt es zwei Lösungen: einmal mit Minus, einmal mit Plus.
$\displaystyle x_1 = -\frac{3}{2} - \frac{13}{2} = -8, \qquad x_2 = -\frac{3}{2} + \frac{13}{2} = 5$
3Probe
Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung bestätigt jede Lösung.
$\displaystyle \begin{aligned} x = -8: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \\ x = 5: \quad & 0 = 0 \quad \checkmark \end{aligned}$
4Lösungsmenge
Damit ist die Lösungsmenge:
$\displaystyle L = \left\{ -8; \; 5 \right\}$

Ergebnis $\displaystyle L = \left\{ -8; \; 5 \right\}$

Vergleiche den Rechenweg des Werkzeugs mit deiner Rechnung für das Beet. Das Werkzeug rechnet mit Brüchen: Es schreibt 3/2 statt 1,5. Ändere dann die Gleichung in x^2 + 4*x + 5 = 0 und klicke auf "Rechnen". Du siehst, wie das Werkzeug mit negativer Diskriminante umgeht.

Häufige Fehler

Das Vorzeichen von p

Bei $x^2 - 2x - 3 = 0$ rechnet jemand $x = -1 \pm \sqrt{1 + 3}$ und erhält $1$ und $-3$ .

Richtig ist

In der Formel steht $-\frac{p}{2}$ . Hier ist $p = -2$ , also $-\frac{p}{2} = +1$ . Richtig ist $x = 1 \pm 2$ mit den Lösungen $-1$ und $3$ . Die Probe zeigt den Fehler: Für $x = 1$ gilt $1 - 2 - 3 = -4$ , nicht 0.

Häufige Fehler

Nullproduktsatz bei einer Zahl ungleich null

Aus $(x - 2)(x + 3) = 6$ folgert jemand: $x - 2 = 6$ oder $x + 3 = 6$ .

Richtig ist

Der Satz gilt nur, wenn das Produkt null ist. Bringe zuerst alles auf eine Seite: $x^2 + x - 6 = 6$ wird zu $x^2 + x - 12 = 0$ . Mit der Formel folgt $x = -0{,}5 \pm 3{,}5$ , also $x = 3$ oder $x = -4$ . Probe: $(3 - 2)(3 + 3) = 6$ .

Häufige Fehler

Durch x teilen

Bei $x^2 = 5x$ teilt jemand beide Seiten durch $x$ und erhält $x = 5$ .

Richtig ist

Dabei geht die Lösung $x = 0$ verloren, denn durch 0 darf man nicht teilen. Richtig ist: $x^2 - 5x = 0$ , dann $x(x - 5) = 0$ mit $x = 0$ oder $x = 5$ .

Zusammenfassung

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Durch Teilen mit $a$ entsteht die Normalform $x^2 + px + q = 0$ .
Graphisch sind die Lösungen die Nullstellen der Parabel zu $f(x) = x^2 + px + q$ .
Ohne lineares Glied ziehst du die Wurzel ( $x = \pm\sqrt{c}$ ). Ohne Absolutglied klammerst du $x$ aus. Der Nullproduktsatz gilt nur für Produkte, die null sind.
Lösungsformel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ , mit Normalform und richtigem Vorzeichen von $p$ .
Die Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ entscheidet: $D > 0$ zwei Lösungen, $D = 0$ eine, $D < 0$ keine.
Bei Sachaufgaben prüfst du, ob jede Lösung zur Aufgabe passt (eine Breite ist nicht negativ).

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne die positive Lösung von $3x^2 = 75$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Lösungen hat die Gleichung $(x - 4)(x + 1) = 0$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne die größere Lösung von $2x^2 + 4x - 30 = 0$ .

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche dieser Gleichungen hat keine Lösung?

Aufgabe 5Numerisch

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 156. Wie lautet die kleinere der beiden Zahlen?

Aufgabe 6Freitext

Für welche Werte von $q$ hat $x^2 + 6x + q = 0$ zwei Lösungen, genau eine Lösung oder keine? Begründe mit der Diskriminante.

Lektion 4.2 · Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen

Ein rechteckiges Beet soll 40 m² groß sein. Es soll 3 m länger als breit sein. Wie breit muss es sein?

Definition

Quadratische Gleichung, allgemeine Form und Normalform

ax^2 + bx + c = 0 \;\; (a \neq 0) \qquad \Longrightarrow \qquad x^2 + px + q = 0

Definition

Graphisches Lösen

Eine Parabel kann die $x$ -Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht treffen. Eine quadratische Gleichung hat deshalb zwei, eine oder keine Lösung.

Beispiel

Graphisch lösen

Löse $x^2 - 2x - 3 = 0$ mit einer Wertetabelle von $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

x	−2	−1	0	1	2	3	4
f(x)	5	0	−3	−4	−3	0	5

Definition

Wurzelziehen und Nullproduktsatz

Zwei einfache Fälle löst du ohne Formel:

Fehlt das lineare Glied ( $x^2 = c$ ): Für $c > 0$ gibt es die zwei Lösungen $x = \sqrt{c}$ und $x = -\sqrt{c}$ . Für $c = 0$ ist $x = 0$ die einzige Lösung. Für $c < 0$ gibt es keine, denn ein Quadrat ist nie negativ.
Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Aus $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ folgt $x = x_1$ oder $x = x_2$ . Fehlt das Absolutglied (die Zahl ohne $x$ ), klammerst du $x$ aus.

x^2 = c \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{c} \qquad a \cdot b = 0 \;\Rightarrow\; a = 0 \text{ oder } b = 0

Beispiel

Wurzelziehen und Nullproduktsatz

Löse a) $2x^2 - 18 = 0$ , b) $x^2 - 5x = 0$ , c) $(x - 2)(x + 7) = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2x^2 = 18 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = 3 \text{ oder } x = -3 \\ \text{b)}\; & x(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \text{ oder } x = 5 \\ \text{c)}\; & x - 2 = 0 \text{ oder } x + 7 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \text{ oder } x = -7 \end{aligned}

Definition

Lösungsformel und Diskriminante

Für die Normalform $x^2 + px + q = 0$ gilt die Lösungsformel (pq-Formel). Den Term unter der Wurzel nennt man die Diskriminante $D$ . Sie sagt dir, wie viele Lösungen es gibt:

$D > 0$ : zwei Lösungen (Plus und Minus vor der Wurzel).
$D = 0$ : genau eine Lösung $x = -\frac{p}{2}$ .
$D < 0$ : keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl gibt es keine reelle Wurzel. Die Parabel trifft die $x$ -Achse nicht.

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \qquad D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q

Beispiel

Die Lösungsformel anwenden

Löse a) $x^2 - 2x - 3 = 0$ und b) $3x^2 - 12x + 9 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & p = -2,\; q = -3: \quad x = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2 \;\Rightarrow\; x_1 = -1,\; x_2 = 3 \\ \text{b)}\; & x^2 - 4x + 3 = 0: \quad x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 3 \end{aligned}

Beispiel

Wie viele Lösungen?

Bestimme mit der Diskriminante die Lösungen von a) $x^2 + 4x + 5 = 0$ und b) $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & D = 2^2 - 5 = -1 < 0 \;\Rightarrow\; L = \{\} \\ \text{b)}\; & D = (-3)^2 - 9 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \end{aligned}

Beispiel

Das Beet

Löse die Gleichung $x \cdot (x + 3) = 40$ aus der Motivation und gib die Maße des Beets an.

\begin{aligned} x^2 + 3x - 40 &= 0 \\ x &= -1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 40} = -1{,}5 \pm \sqrt{42{,}25} = -1{,}5 \pm 6{,}5 \\ x_1 &= -8, \quad x_2 = 5 \end{aligned}

Häufige Fehler

Das Vorzeichen von p

Bei $x^2 - 2x - 3 = 0$ rechnet jemand $x = -1 \pm \sqrt{1 + 3}$ und erhält $1$ und $-3$ .

Häufige Fehler

Nullproduktsatz bei einer Zahl ungleich null

Aus $(x - 2)(x + 3) = 6$ folgert jemand: $x - 2 = 6$ oder $x + 3 = 6$ .

Häufige Fehler

Durch x teilen

Bei $x^2 = 5x$ teilt jemand beide Seiten durch $x$ und erhält $x = 5$ .

Dabei geht die Lösung $x = 0$ verloren, denn durch 0 darf man nicht teilen. Richtig ist: $x^2 - 5x = 0$ , dann $x(x - 5) = 0$ mit $x = 0$ oder $x = 5$ .

Zusammenfassung

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Durch Teilen mit $a$ entsteht die Normalform $x^2 + px + q = 0$ .
Graphisch sind die Lösungen die Nullstellen der Parabel zu $f(x) = x^2 + px + q$ .
Ohne lineares Glied ziehst du die Wurzel ( $x = \pm\sqrt{c}$ ). Ohne Absolutglied klammerst du $x$ aus. Der Nullproduktsatz gilt nur für Produkte, die null sind.
Lösungsformel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ , mit Normalform und richtigem Vorzeichen von $p$ .
Die Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ entscheidet: $D > 0$ zwei Lösungen, $D = 0$ eine, $D < 0$ keine.
Bei Sachaufgaben prüfst du, ob jede Lösung zur Aufgabe passt (eine Breite ist nicht negativ).