Lektion 4.4

Quadratische Funktionen

19 min Lesezeit

Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Bei etwa 10 Metern pro Sekunde Abwurfgeschwindigkeit gilt näherungsweise, wenn man den Luftwiderstand weglässt: $h(t) = -5t^2 + 10t$ . Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $h$ die Höhe in Metern über der Abwurfstelle.

t in s	0	0,5	1	1,5	2
h in m	0	3,75	5	3,75	0

Der Ball steigt, erreicht nach 1 s seinen höchsten Punkt und fällt wieder. Die Werte vor und nach dem höchsten Punkt sind gleich. Wie sieht der Graph dieser Funktion aus? Wie findest du den höchsten Punkt und die Zeit, zu der der Ball wieder unten ist? Das klärt diese Lektion.

Definition

Quadratische Funktion und Normalparabel

Eine Funktion der Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$ heißt quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Der einfachste Fall ist $f(x) = x^2$ . Sein Graph heißt Normalparabel.

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
x²	9	4	1	0	1	4	9

Der tiefste Punkt $(0 \mid 0)$ heißt Scheitelpunkt. Die Normalparabel ist symmetrisch zur $y$ -Achse: Es ist $(-x)^2 = x^2$ , also liegt zu jedem Punkt auf der linken Seite ein gleich hoher Punkt auf der rechten Seite.

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

Definition

Der Faktor a: Streckung, Stauchung, Spiegelung

Bei $f(x) = ax^2$ ändert der Faktor $a$ die Form. Jeder $y$ -Wert der Normalparabel wird mit $a$ multipliziert:

$|a| > 1$ : Die Parabel wird schmaler (in $y$ -Richtung gestreckt).
$0 < |a| < 1$ : Die Parabel wird breiter (gestaucht).
$a < 0$ : Die Parabel wird an der $x$ -Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet. Bei $a > 0$ ist sie nach oben geöffnet.

An der Stelle $x = 2$ hat die Normalparabel den Wert 4. Dort hat $2x^2$ den Wert 8, $0{,}5x^2$ den Wert 2 und $-x^2$ den Wert $-4$ .

Definition

Scheitelpunktform

Verschiebst du die Parabel $y = ax^2$ um $d$ nach rechts und um $e$ nach oben, erhältst du die Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt liegt dann bei $S(d \mid e)$ . Die senkrechte Gerade $x = d$ ist die Symmetrieachse. Der Term $(x - d)^2$ ist null bei $x = d$ , so wie $x^2$ bei $x = 0$ null ist. Deshalb wandert der Scheitel dorthin. Achte auf das Vorzeichen: $(x - 3)^2$ verschiebt nach rechts, $(x + 3)^2$ nach links. Für $a > 0$ ist der Scheitel der tiefste Punkt (Minimum), für $a < 0$ der höchste (Maximum).

f(x) = a(x - d)^2 + e \qquad S(d \mid e)

Definition

Normalform, faktorisierte Form und die Wechsel

Aus der Normalform $f(x) = ax^2 + bx + c$ liest du den $y$ -Achsenabschnitt ab, denn $f(0) = c$ . In die Scheitelpunktform kommst du durch quadratische Ergänzung: Klammere $a$ aus und ergänze. Die Scheitelstelle ist $x_S = -\frac{b}{2a}$ , und $y_S = f(x_S)$ .

Die faktorisierte Form $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ zeigt die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ . Die Nullstellen sind die Lösungen von $f(x) = 0$ , also einer quadratischen Gleichung. Es gibt dafür zwei, eine oder keine, je nach Diskriminante. Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel in der Mitte zwischen den Nullstellen: $x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .

Form	Funktionsterm	Das liest du ab
Normalform	$ax^2 + bx + c$	$y$ -Achsenabschnitt $c$
Scheitelpunktform	$a(x - d)^2 + e$	Scheitelpunkt $S(d \mid e)$
faktorisierte Form	$a(x - x_1)(x - x_2)$	Nullstellen $x_1$ , $x_2$

Beispiel

Eigenschaften aus der Scheitelpunktform

Untersuche $f(x) = 0{,}5(x + 3)^2 - 2$ : Scheitelpunkt, Öffnung, Symmetrieachse, Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitt.

\begin{aligned} S(-3 \mid -2),\quad x = -3 \\ 0{,}5(x + 3)^2 - 2 = 0 &\;\Rightarrow\; (x + 3)^2 = 4 \;\Rightarrow\; x + 3 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ oder } x = -5 \\ f(0) &= 0{,}5 \cdot 9 - 2 = 2{,}5 \end{aligned}

Es ist $a = 0{,}5 > 0$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. Der Term $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ zeigt $d = -3$ . Der Scheitel ist der tiefste Punkt. Die Nullstellen liegen symmetrisch zur Achse $x = -3$ : $-5$ und $-1$ haben von $-3$ den Abstand 2. Probe: $0{,}5 \cdot (-1 + 3)^2 - 2 = 0{,}5 \cdot 4 - 2 = 0$ .

Der Graph von f(x) = 0,5(x + 3)² − 2

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus über den Graphen. Die Werte stehen unter dem Bild. In der Nähe von x = −3 ist der Wert am kleinsten, fast −2. Das ist der Scheitel. In der Nähe von x = −5 und x = −1 ist der Wert fast 0. Vergleiche die Werte in der Nähe von x = −4 und x = −2: Du erwartest fast denselben Wert. Mit + und − änderst du den Ausschnitt, mit „Zurücksetzen“ kommst du zurück.

Beispiel

Normalform umwandeln

Wandle $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ in die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form um.

\begin{aligned} f(x) &= -2(x^2 - 4x) - 6 = -2\left((x - 2)^2 - 4\right) - 6 = -2(x - 2)^2 + 2 \\ -2x^2 + 8x - 6 = 0 &\;\Rightarrow\; x^2 - 4x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 3 \\ f(x) &= -2(x - 1)(x - 3) \end{aligned}

Du klammerst $-2$ aus den ersten beiden Gliedern aus und ergänzt in der Klammer $4$ . Beim Ausmultiplizieren von $-2 \cdot (-4)$ kommt $+8$ dazu, mit $-6$ ergibt das $+2$ . Der Scheitel ist $S(2 \mid 2)$ und wegen $a = -2 < 0$ der höchste Punkt. Die Nullstellen folgen mit Vieta: Summe 4, Produkt 3. Der Scheitel liegt in der Mitte zwischen 1 und 3. Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f(0) = -6$ . Probe der faktorisierten Form: $-2(x^2 - 4x + 3) = -2x^2 + 8x - 6$ .

Beispiel

Zurück zum Ball

Untersuche $h(t) = -5t^2 + 10t$ aus der Motivation.

\begin{aligned} h(t) &= -5t(t - 2) \\ h(t) &= -5(t^2 - 2t) = -5\left((t - 1)^2 - 1\right) = -5(t - 1)^2 + 5 \end{aligned}

Die faktorisierte Form zeigt die Nullstellen $t = 0$ und $t = 2$ : Der Ball startet bei 0 s und ist nach 2 s wieder in der Höhe der Abwurfstelle. Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel $S(1 \mid 5)$ . Der Ball erreicht nach 1 s seinen höchsten Punkt von 5 m. Das passt zur Tabelle der Motivation. Auch die Symmetrie stimmt: $h(0{,}5) = h(1{,}5) = 3{,}75$ .

Häufige Fehler

Das Vorzeichen in der Scheitelpunktform

Jemand liest bei $f(x) = (x + 3)^2 - 2$ den Scheitelpunkt $S(3 \mid -2)$ ab.

Richtig ist

Die Form heißt $a(x - d)^2 + e$ . Aus $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ folgt $d = -3$ . Der Scheitelpunkt ist $S(-3 \mid -2)$ . Die Probe zeigt es: $f(-3) = 0 - 2 = -2$ ist der kleinste Wert, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Häufige Fehler

Der y-Achsenabschnitt ist nicht der Scheitel

Bei $f(x) = x^2 - 6x + 4$ meint jemand: „Der Scheitelpunkt hat die $y$ -Koordinate 4, denn $c = 4$ .“

Richtig ist

Die Zahl $c = 4$ ist nur der Wert bei $x = 0$ , also der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. Der Scheitel liegt bei $x_S = 3$ mit $f(3) = 9 - 18 + 4 = -5$ . Mit Ergänzung: $f(x) = (x - 3)^2 - 5$ , also $S(3 \mid -5)$ .

Häufige Fehler

Negatives a heißt nicht flacher

Jemand sagt: „ $f(x) = -3x^2$ ist breiter als die Normalparabel, weil $-3$ kleiner als 1 ist.“

Richtig ist

Für die Breite zählt der Betrag $|a| = 3 > 1$ . Die Parabel ist also schmaler. Das Minus spiegelt sie an der $x$ -Achse, sie ist nach unten geöffnet. Bei $x = 2$ gilt $f(2) = -12$ , viel weiter von null entfernt als der Wert 4 der Normalparabel.

Zusammenfassung

Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$ . Ihr Graph ist eine Parabel, die Normalparabel gehört zu $f(x) = x^2$ .
Der Faktor $a$ streckt ( $|a| > 1$ ) oder staucht ( $|a| < 1$ ) die Parabel. Bei $a < 0$ ist sie nach unten geöffnet.
Scheitelpunktform $f(x) = a(x - d)^2 + e$ : Der Scheitelpunkt ist $S(d \mid e)$ , die Symmetrieachse ist $x = d$ . Achte auf das Vorzeichen von $d$ .
Normalform: $c$ ist der $y$ -Achsenabschnitt. Die Scheitelstelle ist $x_S = -\frac{b}{2a}$ , den Rest liefert die quadratische Ergänzung.
Faktorisierte Form $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : Du liest die Nullstellen ab. Der Scheitel liegt in der Mitte zwischen ihnen.
Die Nullstellen sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung. Es gibt zwei, eine oder keine.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel zu $f(x) = (x - 4)^2 + 1$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Berechne die größere Nullstelle von $f(x) = 2(x - 3)^2 - 8$ .

Aufgabe 3Numerisch

Welche $y$ -Koordinate hat der Scheitelpunkt der Parabel zu $f(x) = x^2 - 6x + 4$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Funktion hat eine nach unten geöffnete Parabel, die schmaler ist als die Normalparabel?

Aufgabe 5Numerisch

Eine Parabel hat die Nullstellen $-2$ und 8. Welche $x$ -Koordinate hat ihr Scheitelpunkt?

Aufgabe 6Freitext

Wandle $f(x) = x^2 + 4x - 5$ in die Scheitelpunktform um. Gib den Scheitelpunkt und die Nullstellen an.

Lektion 4.4 · Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Funktionen

t in s	0	0,5	1	1,5	2
h in m	0	3,75	5	3,75	0

Definition

Quadratische Funktion und Normalparabel

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
x²	9	4	1	0	1	4	9

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

Definition

Der Faktor a: Streckung, Stauchung, Spiegelung

Bei $f(x) = ax^2$ ändert der Faktor $a$ die Form. Jeder $y$ -Wert der Normalparabel wird mit $a$ multipliziert:

$|a| > 1$ : Die Parabel wird schmaler (in $y$ -Richtung gestreckt).
$0 < |a| < 1$ : Die Parabel wird breiter (gestaucht).
$a < 0$ : Die Parabel wird an der $x$ -Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet. Bei $a > 0$ ist sie nach oben geöffnet.

An der Stelle $x = 2$ hat die Normalparabel den Wert 4. Dort hat $2x^2$ den Wert 8, $0{,}5x^2$ den Wert 2 und $-x^2$ den Wert $-4$ .

Definition

Scheitelpunktform

f(x) = a(x - d)^2 + e \qquad S(d \mid e)

Definition

Normalform, faktorisierte Form und die Wechsel

Form	Funktionsterm	Das liest du ab
Normalform	$ax^2 + bx + c$	$y$ -Achsenabschnitt $c$
Scheitelpunktform	$a(x - d)^2 + e$	Scheitelpunkt $S(d \mid e)$
faktorisierte Form	$a(x - x_1)(x - x_2)$	Nullstellen $x_1$ , $x_2$

Beispiel

Eigenschaften aus der Scheitelpunktform

Untersuche $f(x) = 0{,}5(x + 3)^2 - 2$ : Scheitelpunkt, Öffnung, Symmetrieachse, Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitt.

\begin{aligned} S(-3 \mid -2),\quad x = -3 \\ 0{,}5(x + 3)^2 - 2 = 0 &\;\Rightarrow\; (x + 3)^2 = 4 \;\Rightarrow\; x + 3 = \pm 2 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ oder } x = -5 \\ f(0) &= 0{,}5 \cdot 9 - 2 = 2{,}5 \end{aligned}

Beispiel

Normalform umwandeln

Wandle $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$ in die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form um.

\begin{aligned} f(x) &= -2(x^2 - 4x) - 6 = -2\left((x - 2)^2 - 4\right) - 6 = -2(x - 2)^2 + 2 \\ -2x^2 + 8x - 6 = 0 &\;\Rightarrow\; x^2 - 4x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 3 \\ f(x) &= -2(x - 1)(x - 3) \end{aligned}

Beispiel

Zurück zum Ball

Untersuche $h(t) = -5t^2 + 10t$ aus der Motivation.

\begin{aligned} h(t) &= -5t(t - 2) \\ h(t) &= -5(t^2 - 2t) = -5\left((t - 1)^2 - 1\right) = -5(t - 1)^2 + 5 \end{aligned}

Häufige Fehler

Das Vorzeichen in der Scheitelpunktform

Jemand liest bei $f(x) = (x + 3)^2 - 2$ den Scheitelpunkt $S(3 \mid -2)$ ab.

Häufige Fehler

Der y-Achsenabschnitt ist nicht der Scheitel

Bei $f(x) = x^2 - 6x + 4$ meint jemand: „Der Scheitelpunkt hat die $y$ -Koordinate 4, denn $c = 4$ .“

Häufige Fehler

Negatives a heißt nicht flacher

Jemand sagt: „ $f(x) = -3x^2$ ist breiter als die Normalparabel, weil $-3$ kleiner als 1 ist.“

Zusammenfassung

Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$ . Ihr Graph ist eine Parabel, die Normalparabel gehört zu $f(x) = x^2$ .
Der Faktor $a$ streckt ( $|a| > 1$ ) oder staucht ( $|a| < 1$ ) die Parabel. Bei $a < 0$ ist sie nach unten geöffnet.
Scheitelpunktform $f(x) = a(x - d)^2 + e$ : Der Scheitelpunkt ist $S(d \mid e)$ , die Symmetrieachse ist $x = d$ . Achte auf das Vorzeichen von $d$ .
Normalform: $c$ ist der $y$ -Achsenabschnitt. Die Scheitelstelle ist $x_S = -\frac{b}{2a}$ , den Rest liefert die quadratische Ergänzung.
Faktorisierte Form $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : Du liest die Nullstellen ab. Der Scheitel liegt in der Mitte zwischen ihnen.
Die Nullstellen sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung. Es gibt zwei, eine oder keine.