Lektion 1.2

Indirekter Beweis der Irrationalität von Wurzeln

15 min Lesezeit

In einem Krimi behauptet der Kommissar: „Der Gärtner war es nicht.“ Wie beweist er das? Er kann nicht alle Orte prüfen, an denen der Gärtner gewesen sein könnte. Er geht anders vor. Angenommen, der Gärtner war der Täter. Dann hätte er um 22 Uhr im Haus sein müssen. Aber um 22 Uhr hat ihn eine Kamera in einer anderen Stadt gefilmt. Beides passt nicht zusammen. Also war es der Gärtner nicht.

Dieselbe Idee brauchst du in der Mathematik. In der letzten Lektion hast du gelesen: $\sqrt{2}$ lässt sich nicht als Bruch schreiben. Es gibt aber unendlich viele Brüche, und du kannst nicht alle ausprobieren. Du kannst jedoch annehmen, es gäbe einen solchen Bruch, und zeigen, dass das zu einem Widerspruch führt. Das ist ein indirekter Beweis.

Definition

Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Du willst eine Aussage $A$ beweisen, die Behauptung. Beim indirekten Beweis gehst du in drei Schritten vor:

Annahme: Du nimmst das Gegenteil von $A$ an. Das Gegenteil von „Die Zahl ist irrational“ ist „Die Zahl ist rational“.
Folgerung: Du schließt mit richtigen Schritten weiter, bis du bei einer falschen Aussage ankommst. Sie widerspricht zum Beispiel der Annahme oder etwas, das sicher gilt. Das ist der Widerspruch.
Schluss: Alle Schritte waren richtig. Also kann nur die Annahme falsch gewesen sein. Damit ist $A$ wahr.

Ein kurzes Beispiel: „Es gibt keine größte natürliche Zahl.“ Angenommen, $n$ wäre die größte natürliche Zahl. Dann ist $n + 1$ auch eine natürliche Zahl, und sie ist größer als $n$ . Das widerspricht der Annahme. Also gibt es keine größte natürliche Zahl.

Definition

Gekürzte Brüche

Jede positive rationale Zahl lässt sich als gekürzter Bruch $\frac{a}{b}$ mit natürlichen Zahlen $a$ und $b \neq 0$ schreiben. Gekürzt heißt: $a$ und $b$ haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1. Du kürzt so lange, bis es nicht mehr geht. Zum Beispiel ist $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . Hier haben $a = 6$ und $b = 4$ den gemeinsamen Teiler 2, bei $\frac{3}{2}$ ist keiner mehr übrig. Diese Eigenschaft ist der Schlüssel zum Beweis.

\frac{a}{b} \text{ gekürzt} \;\Longleftrightarrow\; a \text{ und } b \text{ haben keinen gemeinsamen Teiler außer } 1

Beispiel

Hilfssatz über gerade Quadrate

Für den Beweis brauchst du eine Regel über gerade Zahlen. Eine kleine Aussage, die einem größeren Beweis dient, heißt Hilfssatz. Beweise indirekt: Ist $n^2$ gerade, dann ist $n$ gerade. Dabei ist $n$ eine natürliche Zahl.

\begin{aligned} \text{Annahme:}\;& n \text{ ist ungerade, } n = 2k + 1 \\ n^2 &= (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \\ &= 2 \cdot (2k^2 + 2k) + 1 \end{aligned}

Die Annahme ist das Gegenteil der Behauptung: $n$ ist ungerade. Eine ungerade Zahl hat die Form $2k + 1$ mit einer natürlichen Zahl $k$ . Zum Quadrieren nutzt du die erste binomische Formel. Das Ergebnis hat die Form $2m + 1$ mit $m = 2k^2 + 2k$ und ist ungerade. Das widerspricht der Angabe, dass $n^2$ gerade ist. Also war die Annahme falsch, und $n$ ist gerade.

Beispiel

Die Wurzel aus 2 ist irrational

Behauptung: $\sqrt{2}$ ist irrational. Beweise sie durch Widerspruch.

\begin{aligned} & \text{Annahme: } \sqrt{2} = \tfrac{a}{b} \text{ mit gekürztem Bruch} \\ & \Rightarrow\; 2 = \tfrac{a^2}{b^2} \;\Rightarrow\; a^2 = 2b^2 \\ & \Rightarrow\; a^2 \text{ ist gerade} \;\Rightarrow\; a \text{ ist gerade, } a = 2c \\ & \Rightarrow\; 4c^2 = 2b^2 \;\Rightarrow\; b^2 = 2c^2 \\ & \Rightarrow\; b^2 \text{ ist gerade} \;\Rightarrow\; b \text{ ist gerade} \end{aligned}

Du nimmst an, $\sqrt{2}$ sei rational, also ein gekürzter Bruch $\frac{a}{b}$ . Quadrieren ergibt $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , also $a^2 = 2b^2$ . Die rechte Seite ist gerade, also ist $a^2$ gerade. Nach dem Hilfssatz ist dann $a$ gerade, du schreibst $a = 2c$ . Einsetzen ergibt $4c^2 = 2b^2$ , geteilt durch 2 also $b^2 = 2c^2$ . Jetzt ist $b^2$ gerade, nach dem Hilfssatz auch $b$ . Dann sind $a$ und $b$ beide gerade und haben den gemeinsamen Teiler 2. Das widerspricht der Annahme, dass der Bruch gekürzt ist. Also war die Annahme falsch: $\sqrt{2}$ ist irrational.

Beispiel

Dieselbe Idee für die Wurzel aus 3

Zeige, dass $\sqrt{3}$ irrational ist. Welchen neuen Hilfssatz brauchst du?

\begin{aligned} a^2 &= 3b^2 \\ a &= 3c \\ 9c^2 &= 3b^2 \\ b^2 &= 3c^2 \end{aligned}

Der Ablauf bleibt gleich, nur ersetzt du die 2 durch die 3. Du brauchst den Hilfssatz: Ist $n^2$ durch 3 teilbar, dann ist $n$ durch 3 teilbar. Beweis: Wäre $n$ nicht durch 3 teilbar, dann wäre $n = 3k + 1$ oder $n = 3k + 2$ . Es gilt $(3k + 1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ und $(3k + 2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ . Beide Quadrate lassen den Rest 1 bei der Division durch 3, sind also nicht durch 3 teilbar. Aus $a^2 = 3b^2$ folgt dann, dass $a$ durch 3 teilbar ist, $a = 3c$ . Dann ist $9c^2 = 3b^2$ , also $b^2 = 3c^2$ , und auch $b$ ist durch 3 teilbar. Der gemeinsame Teiler 3 widerspricht der Annahme „gekürzt“. Allgemein gilt: Ist $n$ eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, ist $\sqrt{n}$ irrational. Der Beweis folgt derselben Idee, benutzt aber die Primfaktorzerlegung.

Häufige Fehler

Beispiele sind kein Beweis

Jemand sagt: „Ich habe $\left(\frac{14}{10}\right)^2$ , $\left(\frac{141}{100}\right)^2$ und $\left(\frac{1414}{1000}\right)^2$ berechnet. Keines ergibt 2. Also ist $\sqrt{2}$ irrational.“

Richtig ist

Ein paar Beispiele sagen nichts über die unendlich vielen anderen Brüche. Der indirekte Beweis betrachtet dagegen einen beliebigen gekürzten Bruch $\frac{a}{b}$ und gilt damit für alle Brüche zugleich.

Häufige Fehler

Das Gegenteil falsch bilden

Jemand will „ $\sqrt{2}$ ist irrational“ beweisen. Er nimmt an: „ $\sqrt{2}$ ist eine ganze Zahl“, und zeigt, dass das nicht geht.

Richtig ist

Das Gegenteil von „irrational“ ist „rational“, nicht „ganz“. Ganze Zahlen sind nur ein Teil der rationalen Zahlen. Du musst alle Brüche $\frac{a}{b}$ abdecken.

Häufige Fehler

Das Kürzen vergessen

Jemand schreibt $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ , zeigt, dass $a$ und $b$ gerade sind, und sagt: „Fertig.“

Richtig ist

Dass $a$ und $b$ gerade sind, ist nur dann ein Widerspruch, wenn der Bruch vorher gekürzt war. Beim Bruch $\frac{6}{4}$ sind beide Zahlen gerade, und nichts ist falsch. Darum beginnt der Beweis mit „gekürzt“. Beim Versuch, so $\sqrt{4}$ als irrational zu „beweisen“, bekommst du $c^2 = b^2$ und keinen Widerspruch. Das ist richtig so, denn $\sqrt{4} = 2$ ist rational.

Zusammenfassung

Beim indirekten Beweis nimmst du das Gegenteil der Behauptung an, folgerst bis zu einem Widerspruch und schließt, dass die Behauptung stimmt.
Das Gegenteil von „irrational“ ist „rational“, also „als gekürzter Bruch $\frac{a}{b}$ schreibbar“.
Hilfssatz: Ist $n^2$ gerade, dann ist $n$ gerade. Das beweisest du indirekt, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.
Beweis für $\sqrt{2}$ : Aus $a^2 = 2b^2$ folgt, dass $a$ gerade ist, und dann auch $b$ . Der Bruch wäre nicht gekürzt. Das ist der Widerspruch.
Für $\sqrt{3}$ geht es genauso mit der Teilbarkeit durch 3. Allgemein ist $\sqrt{n}$ irrational, wenn $n$ eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl ist.
Einzelne Beispiele beweisen nichts über unendlich viele Fälle.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Du willst beweisen: „ $\sqrt{5}$ ist irrational.“ Mit welcher Annahme beginnt der indirekte Beweis?

Aufgabe 2Numerisch

Du beweist, dass $\sqrt{3}$ irrational ist, und nimmst $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ an. Es folgt $a^2 = 3b^2$ . Setzt du $a = 3c$ ein, erhältst du $9c^2 = 3b^2$ . Dann gilt $b^2 = k \cdot c^2$ . Welche Zahl ist $k$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele der Zahlen $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \ldots, \sqrt{10}$ sind irrational? Zähle $\sqrt{2}$ und $\sqrt{10}$ mit.

Aufgabe 4Multiple Choice

Im Beweis für $\sqrt{2}$ wird $\frac{a}{b}$ als gekürzt angenommen. An welcher Stelle entsteht der Widerspruch?

Aufgabe 5Freitext

Beweise indirekt: Die Zahl $1 + \sqrt{2}$ ist irrational. Du darfst benutzen, dass $\sqrt{2}$ irrational ist.