Ein Intervall $[a;\,b]$ besteht aus allen Zahlen von $a$ bis $b$. Bei einer Intervallschachtelung gibst du viele Intervalle an. Jedes liegt im vorigen, und die Längen werden beliebig klein. Dann liegt genau eine Zahl in allen Intervallen.

Für $\sqrt{2}$ gehst du so vor: Du suchst in jeder Stufe zwei Dezimalzahlen mit einer Stelle mehr, deren Quadrate links und rechts von 2 liegen. Die Ziffer findest du durch Quadrieren und Probieren. Jede Stufe macht das Intervall zehnmal kürzer.

In jeder Zeile ist das Quadrat der unteren Grenze kleiner als 2 und das der oberen Grenze größer als 2. Also liegt $\sqrt{2}$ im Intervall. Nach Stufe 4 steht fest: $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$

Das Heron-Verfahren ist nach Heron von Alexandria benannt. Es verbessert einen Schätzwert für $\sqrt{a}$ Schritt für Schritt. Die Idee: Ein Rechteck mit den Seiten $x$ und $\frac{a}{x}$ hat den Flächeninhalt $a$. Du suchst ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $a$, bei dem beide Seiten gleich lang sind, nämlich $\sqrt{a}$. Ist $x$ zu klein, ist $\frac{a}{x}$ zu groß, und umgekehrt. Die Wurzel liegt also immer zwischen $x$ und $\frac{a}{x}$. Du nimmst den Mittelwert der beiden Seiten als neue Seite. Den alten Wert nennst du $x_n$, den neuen $x_{n+1}$. Die tiefgestellte Zahl zählt die Schritte. Das ist die Rechenvorschrift:

Du wählst einen positiven Startwert $x_0$, rechnest daraus $x_1$ aus, aus $x_1$ dann $x_2$ und so weiter. Ein Verfahren, bei dem du das Ergebnis eines Schritts wieder einsetzt, heißt Iteration. Jeder positive Startwert führt zum Ziel, ein guter Startwert spart Schritte. Als Faustregel verdoppelt sich ungefähr die Zahl der richtigen Stellen mit jedem Schritt. Du hörst auf, wenn sich die Stellen, die du brauchst, nicht mehr ändern.

Für viele Schritte lohnt sich ein digitales Werkzeug. In einer Tabellenkalkulation schreibst du den Startwert 1 in Zelle A1 und in Zelle A2 die Formel $\texttt{=(A1+2/A1)/2}$. Kopierst du die Formel nach unten, rechnet jede Zelle den nächsten Schritt aus dem Wert darüber. Für andere Wurzeln ersetzt du die 2 durch den Radikanden. Viele Taschenrechner haben eine Taste für das letzte Ergebnis, oft $\texttt{Ans}$. Du tippst den Startwert und die Eingabetaste, dann $\texttt{(Ans+2/Ans)/2}$ und drückst die Eingabetaste immer wieder.

Auch $\pi = \frac{U}{d}$, das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, kannst du einschließen. Die alten Griechen zeichneten ein Vieleck in den Kreis, dessen Ecken auf dem Kreis liegen, und eines um den Kreis, dessen Seiten ihn berühren. Der Kreisumfang ist länger als der Umfang des inneren und kürzer als der des äußeren Vielecks.

Nimm einen Kreis mit Radius $r$ und Durchmesser $d = 2r$. Das regelmäßige Sechseck im Kreis besteht aus sechs gleichschenkligen Dreiecken mit dem Winkel $60^\circ$ an der Spitze im Mittelpunkt. Die beiden anderen Winkel sind dann auch $60^\circ$, die Dreiecke sind also gleichseitig mit der Seite $r$. Der Umfang des Sechsecks ist $6r = 3d$. Das Quadrat um den Kreis hat die Seite $d$ und den Umfang $4d$. Also gilt $3d < U < 4d$ und damit $3 < \pi < 4$. Archimedes verdoppelte die Eckenzahl immer wieder bis zum 96-Eck, innen und außen. Er fand $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ (gerundet). Mit Computern kennt man $\pi$ heute auf sehr viele Stellen: $\pi = 3{,}14159265358979\ldots$