Lektion 1.4

Wurzelgesetze und Termumformungen mit Wurzeln

15 min Lesezeit

Ein Rechteck ist $\sqrt{8}$ cm lang und $\sqrt{2}$ cm breit. Wie groß ist seine Fläche? Beide Seiten sind irrational. Trotzdem kannst du die Fläche ohne Taschenrechner genau angeben: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ . Die Fläche beträgt genau 4 Quadratzentimeter.

Solche Regeln brauchst du auch für Brüche wie $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Durch $1{,}41421\ldots$ zu teilen ist mühsam. Formst du den Bruch zu $\frac{\sqrt{2}}{2}$ um, teilst du nur noch durch 2. In dieser Lektion lernst du die Rechengesetze für Wurzeln und das Umformen von Termen mit Wurzeln.

Definition

Wurzelgesetze

Für Quadratwurzeln gelten diese Gesetze. Dabei sind $a \geq 0$ und $b \geq 0$ , beim Quotienten $b > 0$ .

Gesetz	Beispiel
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$	$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$
$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$	$\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$ für jede Zahl $a$	$\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$

Warum gilt das erste Gesetz? Beide Seiten sind nicht negativ. Das Quadrat der linken Seite ist $\left(\sqrt{a}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \cdot b$ , und das Quadrat der rechten Seite ist ebenfalls $a \cdot b$ . Zwei nicht negative Zahlen mit demselben Quadrat sind gleich. Beim letzten Gesetz brauchst du den Betrag, weil eine Wurzel nie negativ ist. Für Summen gibt es kein Gesetz: $\sqrt{a + b}$ ist im Allgemeinen nicht $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

Beispiel

Wurzelgesetze anwenden

Berechne a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{8}$ , b) $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}$ , c) $\sqrt{(-5)^2}$ und d) $\left(2\sqrt{3}\right)^2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{144} = 12 \\ \text{b)}\; & \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{200}{8}} = \sqrt{25} = 5 \\ \text{c)}\; & \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \lvert -5 \rvert = 5 \\ \text{d)}\; & \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \cdot 3 = 12 \end{aligned}

In a) und b) fasst du die Wurzeln zu einer zusammen und rechnest unter dem Wurzelzeichen. In c) darfst du nicht einfach $-5$ schreiben, denn eine Wurzel ist nie negativ. Du quadrierst zuerst und ziehst dann die Wurzel. In d) quadrierst du die Zahl 2 und die Wurzel getrennt.

Definition

Teilweises Radizieren und Zusammenfassen

Aus Klasse 7-8 kennst du das teilweise Radizieren: Du zerlegst den Radikanden in eine Quadratzahl und einen Rest und ziehst die Wurzel aus der Quadratzahl, zum Beispiel $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ . Das klappt auch mit Variablen. Für $x \geq 0$ ist $\sqrt{12x^2} = \sqrt{4x^2 \cdot 3} = 2x\sqrt{3}$ . Für negative $x$ müsstest du $\lvert x \rvert$ schreiben.

Wozu ist das gut? Nur Wurzeln mit gleichem Radikanden kannst du addieren und subtrahieren, so wie gleichartige Terme: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3 + 5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ . Das ist das Distributivgesetz. Bei $2\sqrt{3} + \sqrt{5}$ geht es nicht weiter. Oft siehst du erst nach dem teilweisen Radizieren, ob die Radikanden gleich sind.

Beispiel

Terme mit Wurzeln vereinfachen

Vereinfache a) $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ , b) $\left(2 + \sqrt{3}\right)^2$ und c) $\left(\sqrt{7} + 2\right)\left(\sqrt{7} - 2\right)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \\ \text{b)}\; & 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \\ \text{c)}\; & \left(\sqrt{7}\right)^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 \end{aligned}

In a) ziehst du zuerst teilweise die Wurzel: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ und $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ . Dann fasst du zusammen: $(2 + 3 - 1)\sqrt{3}$ , denn $\sqrt{3}$ steht für $1 \cdot \sqrt{3}$ . In b) nutzt du die erste binomische Formel mit $a = 2$ und $b = \sqrt{3}$ . Der Term $7 + 4\sqrt{3}$ lässt sich nicht weiter zusammenfassen. In c) nutzt du die dritte binomische Formel. Die Wurzeln verschwinden.

Wurzelterme im Rechenweg

1Potenzen
Potenzen, Wurzeln und Funktionen kommen vor der Punktrechnung dran. $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ ; $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ .
$\displaystyle = 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}$
Wurzel
Teilweise Wurzelziehen: $12$ enthält den Faktor $4 = 2^{2}$ , aus dem sich die Wurzel ziehen lässt.
$\displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$
Wurzel
Teilweise Wurzelziehen: $27$ enthält den Faktor $9 = 3^{2}$ , aus dem sich die Wurzel ziehen lässt.
$\displaystyle \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$
2Strichrechnung
Zum Schluss die Strichrechnung: Plus und Minus von links nach rechts. $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$ .
$\displaystyle = 5 \sqrt{3} - \sqrt{3}$
3Strichrechnung
Zum Schluss die Strichrechnung: Plus und Minus von links nach rechts. $5 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .
$\displaystyle = 4 \sqrt{3}$

Ergebnis $\displaystyle 4 \sqrt{3}$

Drücke auf „Rechnen“ und vergleiche den Rechenweg mit Teil a). Das Werkzeug schreibt Wurzeln als sqrt(...). Probiere danach sqrt(50) - sqrt(8) und 6/sqrt(3) aus. Du erhältst jeweils ein Vielfaches einer Wurzel.

Definition

Nenner rational machen

Ein Bruch wie $\frac{1}{\sqrt{2}}$ hat eine Wurzel im Nenner. Du kannst ihn so umformen, dass der Nenner eine rationale Zahl ist. Das heißt den Nenner rational machen. Dazu erweiterst du den Bruch, also Zähler und Nenner mit derselben Zahl:

Steht im Nenner nur $\sqrt{b}$ , erweiterst du mit $\sqrt{b}$ . Im Nenner steht dann $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$ .
Steht im Nenner $a + \sqrt{b}$ , erweiterst du mit $a - \sqrt{b}$ , also mit dem Term mit umgekehrtem Vorzeichen. Im Nenner steht dann $a^2 - b$ nach der dritten binomischen Formel.

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Beispiel

Nenner rational machen

Mache den Nenner rational: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ und b) $\frac{5}{\sqrt{7} - 2}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \\ \text{b)}\; & \frac{5}{\sqrt{7} - 2} = \frac{5\left(\sqrt{7} + 2\right)}{\left(\sqrt{7} - 2\right)\left(\sqrt{7} + 2\right)} = \frac{5\sqrt{7} + 10}{7 - 4} = \frac{5\sqrt{7} + 10}{3} \end{aligned}

In a) erweiterst du mit $\sqrt{3}$ und kürzt dann 6 durch 3. In b) ist der Nenner eine Differenz. Du erweiterst mit $\sqrt{7} + 2$ . Im Nenner entsteht $\left(\sqrt{7}\right)^2 - 2^2 = 3$ . Probe mit $\sqrt{7} \approx 2{,}6458$ : Links ist $\frac{5}{0{,}6458} \approx 7{,}74$ , rechts ist $\frac{13{,}229 + 10}{3} \approx 7{,}74$ .

Häufige Fehler

Wurzel aus einer Summe

Jemand rechnet $\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$ .

Richtig ist

Aus einer Summe darfst du die Wurzel nicht gliedweise ziehen. Probe mit $x = 4$ : Es ist $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ , aber $4 + 3 = 7$ . Der Term $\sqrt{x^2 + 9}$ lässt sich nicht vereinfachen.

Häufige Fehler

Verschiedene Wurzeln zusammenfassen

Jemand schreibt $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{8}$ .

Richtig ist

Zusammenfassen darfst du nur Wurzeln mit gleichem Radikanden, so wie bei $2x + 3y$ . Der Term $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ bleibt stehen. Probe: $2 \cdot 1{,}732 + 3 \cdot 2{,}236 \approx 10{,}17$ , aber $5\sqrt{8} \approx 14{,}14$ .

Häufige Fehler

Mit dem falschen Term erweitern

Jemand erweitert $\frac{5}{\sqrt{7} - 2}$ mit $\sqrt{7} - 2$ .

Richtig ist

Dann steht im Nenner $\left(\sqrt{7} - 2\right)^2 = 11 - 4\sqrt{7}$ , und die Wurzel bleibt. Du brauchst den Term mit umgekehrtem Vorzeichen, $\sqrt{7} + 2$ . Dann entsteht die dritte binomische Formel, bei der die gemischten Glieder wegfallen.

Zusammenfassung

Für $a, b \geq 0$ gilt $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ und $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (mit $b > 0$ ). Außerdem ist $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ und $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$ .
Für Summen gibt es kein Wurzelgesetz: $\sqrt{a + b}$ ist im Allgemeinen nicht $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Beim teilweisen Radizieren ziehst du die Wurzel aus der größten Quadratzahl im Radikanden, zum Beispiel $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .
Addieren und subtrahieren kannst du nur Wurzeln mit gleichem Radikanden. Vereinfache zuerst, fasse dann zusammen.
Die binomischen Formeln gelten auch mit Wurzeln. Bei der dritten Formel verschwinden die Wurzeln.
Den Nenner machst du rational, indem du mit $\sqrt{b}$ erweiterst, oder bei $a + \sqrt{b}$ mit $a - \sqrt{b}$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Umformung ist richtig?

Aufgabe 3Numerisch

Es gilt $\sqrt{48} - \sqrt{12} = k \cdot \sqrt{3}$ . Welche Zahl ist $k$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Berechne $\left(3 + \sqrt{2}\right)\left(3 - \sqrt{2}\right)$ .

Aufgabe 5Numerisch

Mache den Nenner rational: $\frac{12}{\sqrt{6}} = k \cdot \sqrt{6}$ . Welche Zahl ist $k$ ?

Aufgabe 6Freitext

Mache den Nenner rational und vereinfache: $\frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

Lektion 1.4 · Reelle Zahlen, Wurzeln und Potenzen

Wurzelgesetze und Termumformungen mit Wurzeln

Definition

Wurzelgesetze

Für Quadratwurzeln gelten diese Gesetze. Dabei sind $a \geq 0$ und $b \geq 0$ , beim Quotienten $b > 0$ .

Gesetz	Beispiel
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$	$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5$
$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$	$\left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45$
$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$ für jede Zahl $a$	$\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$

Beispiel

Wurzelgesetze anwenden

Berechne a) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{8}$ , b) $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}$ , c) $\sqrt{(-5)^2}$ und d) $\left(2\sqrt{3}\right)^2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{18} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{144} = 12 \\ \text{b)}\; & \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{200}{8}} = \sqrt{25} = 5 \\ \text{c)}\; & \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \lvert -5 \rvert = 5 \\ \text{d)}\; & \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \cdot 3 = 12 \end{aligned}

Definition

Teilweises Radizieren und Zusammenfassen

Beispiel

Terme mit Wurzeln vereinfachen

Vereinfache a) $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ , b) $\left(2 + \sqrt{3}\right)^2$ und c) $\left(\sqrt{7} + 2\right)\left(\sqrt{7} - 2\right)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \\ \text{b)}\; & 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \\ \text{c)}\; & \left(\sqrt{7}\right)^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 \end{aligned}

Definition

Nenner rational machen

Steht im Nenner nur $\sqrt{b}$ , erweiterst du mit $\sqrt{b}$ . Im Nenner steht dann $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$ .
Steht im Nenner $a + \sqrt{b}$ , erweiterst du mit $a - \sqrt{b}$ , also mit dem Term mit umgekehrtem Vorzeichen. Im Nenner steht dann $a^2 - b$ nach der dritten binomischen Formel.

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Beispiel

Nenner rational machen

Mache den Nenner rational: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ und b) $\frac{5}{\sqrt{7} - 2}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \\ \text{b)}\; & \frac{5}{\sqrt{7} - 2} = \frac{5\left(\sqrt{7} + 2\right)}{\left(\sqrt{7} - 2\right)\left(\sqrt{7} + 2\right)} = \frac{5\sqrt{7} + 10}{7 - 4} = \frac{5\sqrt{7} + 10}{3} \end{aligned}

Häufige Fehler

Wurzel aus einer Summe

Jemand rechnet $\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$ .

Aus einer Summe darfst du die Wurzel nicht gliedweise ziehen. Probe mit $x = 4$ : Es ist $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ , aber $4 + 3 = 7$ . Der Term $\sqrt{x^2 + 9}$ lässt sich nicht vereinfachen.

Häufige Fehler

Verschiedene Wurzeln zusammenfassen

Jemand schreibt $2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{8}$ .

Häufige Fehler

Mit dem falschen Term erweitern

Jemand erweitert $\frac{5}{\sqrt{7} - 2}$ mit $\sqrt{7} - 2$ .

Zusammenfassung

Für $a, b \geq 0$ gilt $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ und $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (mit $b > 0$ ). Außerdem ist $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ und $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$ .
Für Summen gibt es kein Wurzelgesetz: $\sqrt{a + b}$ ist im Allgemeinen nicht $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Beim teilweisen Radizieren ziehst du die Wurzel aus der größten Quadratzahl im Radikanden, zum Beispiel $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .
Addieren und subtrahieren kannst du nur Wurzeln mit gleichem Radikanden. Vereinfache zuerst, fasse dann zusammen.
Die binomischen Formeln gelten auch mit Wurzeln. Bei der dritten Formel verschwinden die Wurzeln.
Den Nenner machst du rational, indem du mit $\sqrt{b}$ erweiterst, oder bei $a + \sqrt{b}$ mit $a - \sqrt{b}$ .