Lektion 1.1

Irrationale und reelle Zahlen

16 min Lesezeit

Ein quadratisches Beet soll genau 2 Quadratmeter groß sein. Wie lang ist eine Seite? Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst malgenommen 2 ergibt. Du probierst: $1{,}4^2 = 1{,}96$ ist zu klein, $1{,}5^2 = 2{,}25$ ist zu groß. Du probierst weiter: $1{,}41^2 = 1{,}9881$ ist zu klein, $1{,}42^2 = 2{,}0164$ ist zu groß. Wie viele Nachkommastellen du auch nimmst: Das Quadrat trifft die 2 nie genau.

Das Beet lässt sich trotzdem bauen, die Seite hat also eine Länge. Ist diese Länge eine Zahl, die du kennst, also eine ganze Zahl, ein Bruch oder eine Dezimalzahl, die abbricht oder sich wiederholt? Die Antwort ist nein. In dieser Lektion lernst du die Zahlen kennen, die auf der Zahlengeraden noch fehlen, und ordnest alle Zahlbereiche ein.

Definition

Rationale Zahlen und ihre Dezimalschreibweise

Eine Zahl heißt rational, wenn du sie als Bruch $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q \neq 0$ schreiben kannst. Alle rationalen Zahlen bilden die Menge $\mathbb{Q}$ . Die Dezimalschreibweise einer rationalen Zahl bricht ab oder ist periodisch: Ab einer Stelle wiederholt sich eine Ziffernfolge ständig. Beispiele sind $\frac{3}{4} = 0{,}75$ , $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ und $\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$ . Der Grund: Beim schriftlichen Teilen durch $q$ kann nur einer der Reste $0, 1, \dots, q-1$ auftreten. Spätestens nach $q$ Schritten wiederholt sich ein Rest, und dann wiederholen sich auch die Ziffern.

Es gilt auch die Umkehrung: Jede abbrechende oder periodische Dezimalzahl ist ein Bruch. Für $x = 0{,}\overline{3}$ rechnest du $10x = 3{,}\overline{3}$ . Subtrahierst du $x$ , bleibt $9x = 3$ , also $x = \frac{1}{3}$ .

\mathbb{Q} = \left\{ \tfrac{p}{q} \,:\, p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}

Definition

Irrationale Zahlen

Es gibt Zahlen, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie nicht rational ist. Ihre Dezimalschreibweise bricht nie ab und wird nie periodisch. Bekannte Beispiele sind:

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ , die Seitenlänge des Beets,
$\pi = 3{,}14159265\ldots$ , das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises,
$0{,}101001000100001\ldots$ , bei der zwischen den Einsen immer eine Null mehr steht, sodass sich nie ein Block wiederholt.

Ist $n$ eine natürliche Zahl, die keine Quadratzahl ist, dann ist $\sqrt{n}$ irrational. Warum das für $\sqrt{2}$ gilt, zeigt ein Beweis in der nächsten Lektion. Dass $\pi$ irrational ist, wurde erst im 18. Jahrhundert bewiesen. Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist dagegen rational, zum Beispiel $\sqrt{49} = 7$ .

Definition

Reelle Zahlen und die Zahlbereiche

Nimmst du die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen, erhältst du die reellen Zahlen. Sie bilden die Menge $\mathbb{R}$ . Jeder Punkt der Zahlengeraden gehört zu genau einer reellen Zahl und umgekehrt. In $\mathbb{Q}$ gibt es auf der Zahlengeraden Lücken, zum Beispiel bei $\sqrt{2}$ . In $\mathbb{R}$ gibt es keine Lücke mehr. Du kennst $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$ . Mit $\mathbb{R}$ ergibt sich eine Reihe, in der jeder Bereich im nächsten liegt:

Zahlbereich	Neu dazu	Damit möglich
$\mathbb{N}$ natürliche Zahlen	0, 1, 2, 3, ...	Addieren und Multiplizieren
$\mathbb{Z}$ ganze Zahlen	negative Zahlen	Subtrahieren, zum Beispiel $3 - 5$
$\mathbb{Q}$ rationale Zahlen	Brüche	Dividieren durch Zahlen ungleich 0, zum Beispiel $3 : 4$
$\mathbb{R}$ reelle Zahlen	irrationale Zahlen	Wurzeln aus nicht negativen Zahlen, Zahlen wie $\pi$ , keine Lücken

Die irrationalen Zahlen sind die reellen Zahlen, die nicht rational sind. Dafür schreibst du $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Beispiel

Zahlen einem Zahlbereich zuordnen

Ordne jede Zahl dem kleinsten Zahlbereich zu, in dem sie liegt: a) $\sqrt{81}$ , b) $-\frac{8}{2}$ , c) $0{,}\overline{6}$ , d) $\sqrt{10}$ , e) $\pi$ .

\begin{aligned} \sqrt{81} &= 9 &&\in \mathbb{N} \\ -\tfrac{8}{2} &= -4 &&\in \mathbb{Z} \\ 0{,}\overline{6} &= \tfrac{2}{3} &&\in \mathbb{Q} \\ \sqrt{10} &\approx 3{,}162 &&\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \\ \pi &\approx 3{,}142 &&\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{aligned}

Bei a) bis c) vereinfachst du zuerst. $\sqrt{81} = 9$ ist sogar natürlich. $-\frac{8}{2} = -4$ ist ganz. Für $0{,}\overline{6}$ rechnest du wie oben: $10x - x = 6$ , also $9x = 6$ und $x = \frac{2}{3}$ . Bei d) liegt 10 zwischen den Quadratzahlen 9 und 16. Es ist keine Quadratzahl, also ist $\sqrt{10}$ irrational. Das Zeichen $\approx$ heißt „ungefähr gleich“, die Dezimalzahlen sind hier nur gerundet. $\pi$ ist irrational.

Definition

Näherungswerte

Eine irrationale Zahl lässt sich nie vollständig aufschreiben. Du ersetzt sie durch einen Näherungswert, eine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen, die der Zahl nahe liegt. Rundest du $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ auf zwei Nachkommastellen, erhältst du $1{,}41$ . Der Fehler ist der Abstand zum wahren Wert, hier $1{,}41421\ldots - 1{,}41 = 0{,}00421\ldots$ . Beim Runden auf zwei Nachkommastellen ist der Fehler höchstens $0{,}005$ , beim Runden auf drei höchstens $0{,}0005$ . Mit jeder weiteren Stelle wird der Näherungswert genauer.

Du kannst eine Zahl auch einschließen. Aus $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2$ folgt $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$ . Dann weißt du sicher, dass der Fehler von $1{,}41$ kleiner als $0{,}01$ ist. Bei Rechnungen rundest du erst am Schluss.

Beispiel

Näherungswerte angeben

Das Beet aus der Motivation hat die Seitenlänge $\sqrt{2}$ m. a) Gib die Länge auf Zentimeter genau an. b) Wie groß ist die Fläche, wenn du mit dem gerundeten Wert rechnest? c) Zwischen welchen Zahlen mit einer Nachkommastelle liegt $\sqrt{10}$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{2} \approx 1{,}41 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 1{,}41^2 = 1{,}9881 \text{ m}^2 \\ \text{c)}\; & 3{,}1^2 = 9{,}61 < 10 < 10{,}24 = 3{,}2^2 \;\Rightarrow\; 3{,}1 < \sqrt{10} < 3{,}2 \end{aligned}

In a) ist die dritte Nachkommastelle eine 4, du rundest also ab: 141 cm. In b) siehst du, dass das Beet mit der gerundeten Seite etwas zu klein wäre. Es fehlen $2 - 1{,}9881 = 0{,}0119$ Quadratmeter, das sind 119 Quadratzentimeter. In c) schließt du die Zahl zwischen zwei Zehnteln ein, indem du quadrierst. Der Taschenrechner zeigt $\sqrt{10} = 3{,}1622\ldots$ , das passt.

Häufige Fehler

Pi ist gleich 22/7 oder 3,14

Jemand schreibt $\pi = \frac{22}{7}$ oder $\pi = 3{,}14$ .

Richtig ist

Beides sind nur Näherungswerte. Der Bruch $\frac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$ ist periodisch, und $3{,}14$ bricht ab. Aber $\pi = 3{,}14159\ldots$ ist irrational, also weder ein Bruch noch eine abbrechende Dezimalzahl. Schreibe $\pi \approx 3{,}14$ .

Häufige Fehler

Jede Wurzel ist irrational

Jemand sagt: „ $\sqrt{16}$ ist irrational, denn es steht ein Wurzelzeichen davor.“

Richtig ist

Es kommt auf den Radikanden an. $\sqrt{16} = 4$ und $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ sind rational. Ist $n$ eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, dann ist $\sqrt{n}$ irrational. Und es gibt irrationale Zahlen ohne Wurzel, zum Beispiel $\pi$ .

Zusammenfassung

Rationale Zahlen sind Brüche aus ganzen Zahlen. Ihre Dezimalschreibweise bricht ab oder ist periodisch. Umgekehrt ist jede solche Dezimalzahl ein Bruch.
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimalschreibweise bricht nie ab und wiederholt sich nie. Beispiele sind $\sqrt{2}$ und $\pi$ .
Ist $n$ eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, dann ist $\sqrt{n}$ irrational. Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist rational.
Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ . Sie füllen die Zahlengerade lückenlos. Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Eine irrationale Zahl ersetzt du durch einen Näherungswert, den du mit $\approx$ schreibst. Beim Runden ist der Fehler höchstens eine halbe Einheit der letzten Stelle. Mit Quadrieren kannst du die Zahl einschließen.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche dieser Zahlen ist irrational?

Aufgabe 2Numerisch

Wie viele der Zahlen $\sqrt{4}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{9}$ , $\sqrt{12}$ , $\sqrt{16}$ und $\sqrt{20}$ sind irrational?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 5 Quadratzentimeter. Wie lang ist eine Seite in Zentimetern, gerundet auf zwei Nachkommastellen?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 5Freitext

Die Zahl $0{,}101001000100001\ldots$ hat zwischen den Einsen immer eine Null mehr. Begründe, dass sie irrational ist.

Lektion 1.1 · Reelle Zahlen, Wurzeln und Potenzen

Irrationale und reelle Zahlen

Definition

Rationale Zahlen und ihre Dezimalschreibweise

\mathbb{Q} = \left\{ \tfrac{p}{q} \,:\, p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}

Definition

Irrationale Zahlen

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ , die Seitenlänge des Beets,
$\pi = 3{,}14159265\ldots$ , das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises,
$0{,}101001000100001\ldots$ , bei der zwischen den Einsen immer eine Null mehr steht, sodass sich nie ein Block wiederholt.

Definition

Reelle Zahlen und die Zahlbereiche

Zahlbereich	Neu dazu	Damit möglich
$\mathbb{N}$ natürliche Zahlen	0, 1, 2, 3, ...	Addieren und Multiplizieren
$\mathbb{Z}$ ganze Zahlen	negative Zahlen	Subtrahieren, zum Beispiel $3 - 5$
$\mathbb{Q}$ rationale Zahlen	Brüche	Dividieren durch Zahlen ungleich 0, zum Beispiel $3 : 4$
$\mathbb{R}$ reelle Zahlen	irrationale Zahlen	Wurzeln aus nicht negativen Zahlen, Zahlen wie $\pi$ , keine Lücken

Die irrationalen Zahlen sind die reellen Zahlen, die nicht rational sind. Dafür schreibst du $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Beispiel

Zahlen einem Zahlbereich zuordnen

Ordne jede Zahl dem kleinsten Zahlbereich zu, in dem sie liegt: a) $\sqrt{81}$ , b) $-\frac{8}{2}$ , c) $0{,}\overline{6}$ , d) $\sqrt{10}$ , e) $\pi$ .

\begin{aligned} \sqrt{81} &= 9 &&\in \mathbb{N} \\ -\tfrac{8}{2} &= -4 &&\in \mathbb{Z} \\ 0{,}\overline{6} &= \tfrac{2}{3} &&\in \mathbb{Q} \\ \sqrt{10} &\approx 3{,}162 &&\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \\ \pi &\approx 3{,}142 &&\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{aligned}

Definition

Näherungswerte

Beispiel

Näherungswerte angeben

\begin{aligned} \text{a)}\; & \sqrt{2} \approx 1{,}41 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 1{,}41^2 = 1{,}9881 \text{ m}^2 \\ \text{c)}\; & 3{,}1^2 = 9{,}61 < 10 < 10{,}24 = 3{,}2^2 \;\Rightarrow\; 3{,}1 < \sqrt{10} < 3{,}2 \end{aligned}

Häufige Fehler

Pi ist gleich 22/7 oder 3,14

Jemand schreibt $\pi = \frac{22}{7}$ oder $\pi = 3{,}14$ .

Häufige Fehler

Jede Wurzel ist irrational

Jemand sagt: „ $\sqrt{16}$ ist irrational, denn es steht ein Wurzelzeichen davor.“

Zusammenfassung

Rationale Zahlen sind Brüche aus ganzen Zahlen. Ihre Dezimalschreibweise bricht ab oder ist periodisch. Umgekehrt ist jede solche Dezimalzahl ein Bruch.
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Ihre Dezimalschreibweise bricht nie ab und wiederholt sich nie. Beispiele sind $\sqrt{2}$ und $\pi$ .
Ist $n$ eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, dann ist $\sqrt{n}$ irrational. Die Wurzel aus einer Quadratzahl ist rational.
Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ . Sie füllen die Zahlengerade lückenlos. Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Eine irrationale Zahl ersetzt du durch einen Näherungswert, den du mit $\approx$ schreibst. Beim Runden ist der Fehler höchstens eine halbe Einheit der letzten Stelle. Mit Quadrieren kannst du die Zahl einschließen.