Im Vakuum und fast ebenso in Luft läuft Licht mit $c \approx 3{,}0 \cdot 10^{8}$ m/s (300 000 km/s). In durchsichtigen Stoffen ist es langsamer, und das ist der Grund der Brechung. Das Verhältnis von $c$ zur Lichtgeschwindigkeit $v$ im Stoff heißt Brechzahl $n$. Sie hat keine Einheit und ist größer als 1. Je größer $n$, desto „optisch dichter“ der Stoff. Gerundete Werte für gelbes Licht:

Die Brechzahl berechnest du so:

Für das Brechungsgesetz brauchst du den Sinus $\sin\alpha$ eines Winkels. Im rechtwinkligen Dreieck ist er das Verhältnis aus der Länge der Seite, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt (Gegenkathete), und der Länge der längsten Seite (Hypotenuse). Praktisch holst du ihn mit der Taste sin deines Taschenrechners, der auf Grad (DEG) eingestellt sein muss. Es ist sin 0° = 0, sin 30° = 0,5 und sin 90° = 1. Zwischen 0° und 90° wächst der Sinus von 0 bis 1 und ist nie größer als 1. Mit der Taste sin⁻¹ (auch arcsin) findest du den Winkel zu einem Sinuswert zurück: sin⁻¹(0,5) = 30°.

Ein Lichtbündel trifft schräg auf die Grenzfläche von Stoff 1 (Brechzahl $n_1$) zu Stoff 2 ($n_2$). Der Einfallswinkel ist $\alpha$, der Brechungswinkel $\beta$, beide vom Lot aus gemessen. Die Wellenfront steht senkrecht zu den Strahlen. Ein Ende der Front erreicht die Grenzfläche zuerst und wird dort langsamer, das andere läuft noch im ersten Stoff. So dreht sich die Front. In derselben Zeit $t$ legt sie in Stoff 1 den Weg $c_1 \cdot t$ und in Stoff 2 den Weg $c_2 \cdot t$ zurück. Beide Wege sind Katheten rechtwinkliger Dreiecke mit demselben Stück $s$ der Grenzfläche als Hypotenuse und den Winkeln $\alpha$ und $\beta$. Also gilt $\sin\alpha = \frac{c_1 t}{s}$ und $\sin\beta = \frac{c_2 t}{s}$. Teilst du beide Gleichungen, kürzt sich $\frac{t}{s}$ weg: $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{n_2}{n_1}$.

Das ist das Brechungsgesetz (nach Snellius):

Geht Licht in einen Stoff mit kleinerer Brechzahl über ($n_2 < n_1$), wird es vom Lot weg gebrochen, und es ist $\beta > \alpha$. Wächst $\alpha$, wächst auch $\beta$, bis $\beta = 90°$ ist und der Strahl an der Grenzfläche entlangläuft. Das geschieht beim Grenzwinkel $\alpha_G$. Wegen $\sin 90° = 1$ liefert das Brechungsgesetz $n_1 \cdot \sin\alpha_G = n_2$. Bei noch größerem $\alpha$ wäre $\sin\beta = \frac{n_1}{n_2} \cdot \sin\alpha$ größer als 1. Das ist unmöglich: Es tritt kein Licht aus, und alles wird zurückgeworfen (Totalreflexion). Sie gibt es nur beim Übergang in einen Stoff mit kleinerer Brechzahl, und nur für $\alpha > \alpha_G$. Der Grenzwinkel ist:

Bei einer Linse sind $G$ die Gegenstandsgröße, $B$ die Bildgröße, $g$ die Gegenstandsweite und $b$ die Bildweite. Der Mittelpunktstrahl geht ungebrochen durch die Linse, wie bei der Lochkamera. Daraus folgt (Strahlensatz): Bild und Gegenstand verhalten sich wie ihre Abstände zur Linse. Das Verhältnis heißt Abbildungsmaßstab $A$. Ist $A > 1$, ist das Bild vergrößert, bei $A < 1$ verkleinert, bei $A = 1$ gleich groß:

Der Parallelstrahl läuft in der Höhe $G$ parallel zur Achse und geht hinter der Linse durch den Brennpunkt. Im Dreieck zwischen Brennpunkt und Bildebene gilt dann $\frac{B}{G} = \frac{b - f}{f}$. Mit $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$ folgt $\frac{b}{g} = \frac{b - f}{f}$, also $b \cdot f = g \cdot b - g \cdot f$. Teilst du durch $g \cdot b \cdot f$, erhältst du die Abbildungsgleichung für dünne Sammellinsen:

Ein Fernrohr (nach Kepler) hat zwei Sammellinsen: das Objektiv mit großer Brennweite $f_1$ und das Okular mit kleiner Brennweite $f_2$. Der Gegenstand ist sehr weit entfernt, also ist $\frac{1}{g}$ fast null und $b \approx f_1$. Das Objektiv erzeugt ein reelles, umgekehrtes Zwischenbild in seiner Brennebene (die Ebene durch den Brennpunkt, senkrecht zur Achse). Die Linsen stehen so weit auseinander, dass dieses Zwischenbild im Brennpunkt des Okulars liegt. Für das Okular ist dann $g = f_2$ und $\frac{1}{b} = 0$: Das Licht verlässt es als paralleles Bündel, und das Auge sieht ein Bild im Unendlichen, ohne sich anzustrengen. Es steht auf dem Kopf.

Die Vergrößerung ist ein Verhältnis von Winkeln. Vom Objektiv aus gesehen füllt das Zwischenbild den Sehwinkel $\varepsilon$, unter dem der Gegenstand ohne Fernrohr erscheint. Durch das Okular sieht das Auge das Zwischenbild aus dem Abstand $f_2$ unter dem größeren Winkel $\varepsilon'$. Für kleine Winkel sind Winkel und Abstand umgekehrt proportional, also gilt $\frac{\varepsilon'}{\varepsilon} = \frac{f_1}{f_2}$. Vergrößerung $V$ und Rohrlänge $L$ (Abstand der Linsen) sind: