Lektion 13.5

Axiome von Kolmogorow und Wahrscheinlichkeitsbegriff

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

Wahrscheinlichkeit als Zahl zwischen $0$ und $1$ für Ereignisse lesen, nicht als „Bauchgefühl“,
die drei Axiome (Normierung, Nichtnegativität, Additivität für unvereinbare Ereignisse) angeben,
daraus Gegenereignis, leere Menge und die Pfadregeln als Folgerungen erkennen,
Laplace, frequentistisch und subjektiv als drei Lesarten derselben Axiome unterscheiden.

Bisher hast du Wahrscheinlichkeiten ausgezählt (Laplace), an Bäumen multipliziert oder als relative Häufigkeit auf lange Sicht gelesen. All das soll zusammenpassen: Dieselben Rechenregeln, egal woher die Zahlen kommen.

Kolmogorow hat 1933 gesagt, welche Eigenschaften eine Zuordnung „Ereignis $\mapsto$ Zahl“ haben muss, damit man sie Wahrscheinlichkeit nennen darf. Drei Forderungen. Alles andere — Gegenwahrscheinlichkeit, $P(\emptyset) = 0$ , die zweite Pfadregel — folgt daraus. Die Axiome sagen nicht, welche Zahl ein Würfel hat. Sie sagen, welche Rechnungen mit diesen Zahlen erlaubt sind.

Vermute zuerst

Zwei Ereignisse schließen sich aus, $P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}5$ . Was ist $P(A \cup B)$ ?

Pfadregeln als Folgerung, nicht als Extra-Gesetz

P(A)

= 0,4

P_{A}(B)

= 0,5

P_{\overline{A}}(B)

= 0,25

$P(B)$: 0,35
$P_{B}(A)$: 0,5714
$P(A \cap B)$: 0,2

Zweite Pfadregel: Zu $B$ führen zwei Pfade, ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert. $P(B) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35$ . Tipp auf ein Blatt, um seinen Pfad zu verfolgen.

Der Baum ist ein Rechenbild. Die Axiome sind der Grund, warum Addieren unvereinbarer Pfade und die Normierung auf $1$ nicht verhandelbar sind.

Probier es aus

Jeder Pfad ist ein Schnitt von Ereignissen entlang der Äste. Die erste Pfadregel (multiplizieren) gilt, wenn die Zahlen auf den Ästen bedingte Wahrscheinlichkeiten sind.
Zwei Pfade, die sich ausschließen, darf man addieren: das ist das dritte Axiom, angewendet auf die Blatt-Ereignisse.
Ändere eine Ast-Wahrscheinlichkeit. Die Summe der Pfade, die ein Ereignis ausmachen, bleibt eine Zahl zwischen $0$ und $1$ — solange an jedem Knoten die Äste sich zu $1$ ergänzen.

Definition

Kolmogorow-Axiome

Gegeben ist ein Ergebnisraum $\Omega$ und eine Menge von Ereignissen (Teilmengen von $\Omega$ ), die man verknüpfen darf. Eine Funktion $P$ ordnet jedem Ereignis eine reelle Zahl zu und erfüllt:

1. Nichtnegativität. $P(A) \ge 0$ für jedes Ereignis $A$ .
2. Normierung. $P(\Omega) = 1$ .
3. Additivität. Sind $A_1, A_2, \ldots$ paarweise unvereinbar ( $A_i \cap A_j = \emptyset$ für $i \neq j$ ), dann $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots$ .

Folgerungen, die man nicht extra fordern muss:

$P(\emptyset) = 0$ ,
$P(A^c) = 1 - P(A)$ ,
$0 \le P(A) \le 1$ ,
für beliebige $A, B$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Lesarten, die alle diese Axiome erfüllen können: Laplace (günstige durch mögliche, gleich wahrscheinlich), frequentistisch (relative Häufigkeit auf lange Sicht), subjektiv (Grad der Überzeugung, konsistent mit Wetten). Die Axiome entscheiden nicht, welche Lesart „die richtige“ ist.

Schritt für Schritt

Gegenwahrscheinlichkeit aus den Axiomen

$A$ und $A^c$ sind unvereinbar, ihre Vereinigung ist $\Omega$ .

Axiom 3: $P(A \cup A^c) = P(A) + P(A^c)$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Was die Axiome verbieten

Eine Zuordnung mit $P(\text{Kopf}) = 0{,}7$ und $P(\text{Zahl}) = 0{,}7$ auf einer fairen Münze mit $\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}$ verletzt die Normierung: Die Summe wäre $1{,}4 \neq 1$ , und die Ereignisse sind unvereinbar und ergeben $\Omega$ .

0{,}7 + 0{,}7 \neq 1

Negative „Wahrscheinlichkeiten“ verletzen Axiom 1. Eine Verteilung, die sich nicht zu $1$ addiert, ist keine. Ob $0{,}7$ für Kopf inhaltlich stimmt, sagen die Axiome nicht — nur, dass dann Zahl $0{,}3$ sein muss.

Kurz geprüft

Welche Aussage folgt aus den Axiomen, ohne weitere Annahmen?

Häufige Fehler

Axiome mit einem Modell verwechseln

„Wahrscheinlichkeit ist günstige durch mögliche“ ist Laplace, und Laplace erfüllt die Axiome nur, wenn die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Ein gezinkter Würfel hat immer noch eine Wahrscheinlichkeit im Sinn von Kolmogorow — nur keine gleichen Sechstel.

Ebenso: Unabhängigkeit in die Axiome hineinlesen. Sie steht nicht darin.

Richtig ist

Axiome = Rechenregeln. Laplace, Häufigkeit, Überzeugung = Gründe, die Zahlen so zu wählen, dass die Regeln gelten.

Zusammenfassung

Drei Axiome: $P \ge 0$ , $P(\Omega) = 1$ , Addition bei unvereinbaren Ereignissen.
Daraus: Gegenereignis, $P(\emptyset)=0$ , Siebformel für zwei Ereignisse.
Laplace, frequentistisch, subjektiv sind Deutungen, keine zusätzlichen Axiome.
Pfadregeln und Bäume rechnen mit diesen Eigenschaften, sie ersetzen sie nicht.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

$P(A) = 0{,}2$ . Wie groß ist $P(A^c)$ ?

Aufgabe 2Numerisch

$A$ und $B$ unvereinbar, $P(A)=0{,}15$ , $P(B)=0{,}25$ . Wie groß ist $P(A \cup B)$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Vorgabe kann keine Wahrscheinlichkeit sein?

Aufgabe 4Freitext

Warum reicht „Wahrscheinlichkeit ist, was auf lange Sicht die relative Häufigkeit wird“ nicht als einzige Definition, obwohl es oft stimmt?