Lektion 13.1

Hypothesentests

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, wie man mit einer Stichprobe eine Vermutung über eine Wahrscheinlichkeit prüft, und warum dabei Irrtümer unvermeidbar sind
Nullhypothese, Gegenhypothese, Signifikanzniveau und Ablehnungsbereich festlegen und ein- und beidseitige Tests durchführen
Fehler erster und zweiter Art unterscheiden, ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen und deuten
begründen, welche Behauptung man als Nullhypothese wählt und was ein Testergebnis aussagt und was nicht

Ist die Münze gezinkt? Ein Freund wirft eine Münze $50$ -mal und erhält $32$ -mal Wappen. Er behauptet, die Münze sei fair. Du hast Zweifel. Bei einer fairen Münze erwartet man $25$ -mal Wappen, aber natürlich nicht genau: Schwankungen gehören dazu. Ab wann ist eine Abweichung so groß, dass man nicht mehr an Zufall glauben mag?

Die Frage hat eine Struktur wie ein Gerichtsverfahren. Der Angeklagte gilt als unschuldig, solange die Beweise nicht stark genug gegen ihn sprechen. „Im Zweifel für den Angeklagten“ heißt: Man nimmt lieber in Kauf, einen Schuldigen laufen zu lassen, als einen Unschuldigen zu verurteilen. Beim Test spielt die Behauptung „Die Münze ist fair“ die Rolle der Unschuld. Man gibt sie nur auf, wenn das Ergebnis unter dieser Annahme sehr unwahrscheinlich wäre. Was „sehr unwahrscheinlich“ heißt, legt man vorher fest.

Vermute zuerst

Bei $50$ Würfen einer fairen Münze: Ab wie vielen Wappen würdest du sagen, dass die Münze wohl Wappen bevorzugt? Du willst dich dabei höchstens in $5\,\%$ der Fälle irren, in denen die Münze in Wahrheit fair ist.

Definition

Hypothesentest

Ein Hypothesentest (Signifikanztest) entscheidet mithilfe einer Stichprobe zwischen zwei Aussagen über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ :

Die Nullhypothese $H_0$ ist die Aussage, die man nur bei starken Gegenbelegen aufgibt. Im Beispiel: $H_0\colon p \le 0{,}5$ (die Münze bevorzugt Wappen nicht).
Die Gegenhypothese $H_1$ ist das Gegenteil, im Beispiel $H_1\colon p > 0{,}5$ .

Die Prüfgröße $X$ ist die Trefferzahl in der Stichprobe vom Umfang $n$ . Unter $H_0$ ist sie binomialverteilt. Vor dem Versuch wird eine Entscheidungsregel festgelegt: Fällt $X$ in den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ , verwirft man $H_0$ . Sonst, im Annahmebereich $A$ , behält man $H_0$ bei.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ (meist $5\,\%$ oder $1\,\%$ ) ist die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ zu verwerfen, obwohl $H_0$ wahr ist. Den Ablehnungsbereich wählt man so groß wie möglich, ohne diese Grenze zu überschreiten.

Schritt für Schritt

Den Ablehnungsbereich bestimmen

Rechtsseitiger Test für $H_0\colon p \le 0{,}5$ mit $n = 50$ und $\alpha = 5\,\%$ .

Welche Ergebnisse sprechen gegen $H_0$ ? Viele Wappen. Also hat der Ablehnungsbereich die Form:
$\overline{A} = \{k, k + 1, \ldots, 50\}$

Schritt 1 von 4

Der Test im Histogramm

n

= 50

p_0

= 0,5

k \text{ (beobachtet)}

= 32

Wahre Wahrscheinlichkeit annehmen (Fehler 2. Art)

$H_0$: p ≤ 0,5
$\text{Ablehnung bei}$: k ≥ 32
$\alpha_{\text{tatsächlich}}$: 0,0325

$k = 32$ liegt im Ablehnungsbereich: $H_0\colon p \le 0{,}5$ wird verworfen. Ein so extremes Ergebnis hätte unter $H_0$ höchstens die Wahrscheinlichkeit $0{,}032$ . Der Ablehnungsbereich ist $\overline{A} = \{32, \dots, 50\}$ ; er ist so gewählt, dass seine Säulen zusammen höchstens $\alpha = 5\,\%$ ergeben.

Das Histogramm zeigt die Verteilung der Trefferzahl unter der Nullhypothese. Fällt die Beobachtung in den gefüllten Bereich, wäre sie bei wahrer Nullhypothese sehr selten.

Probier es aus

Die gefüllten Balken bilden den Ablehnungsbereich. Lies ab, wie groß ihre Summe ist.
Verschiebe die beobachtete Trefferzahl auf $31$ . Wie lautet jetzt die Entscheidung?
Stell das Signifikanzniveau auf $1\,\%$ . Wo beginnt der Ablehnungsbereich jetzt? Würde man $H_0$ bei $32$ Wappen noch verwerfen?
Verdopple $n$ auf $100$ . Wo liegt die Grenze jetzt, und um wie viel liegt sie über dem Erwartungswert $50$ ?

Kurz geprüft

Rechtsseitiger Test für $H_0\colon p \le 0{,}5$ mit $n = 20$ und $\alpha = 5\,\%$ . Ab welcher Trefferzahl beginnt der Ablehnungsbereich? (Es gilt $P(X \ge 14) \approx 0{,}058$ und $P(X \ge 15) \approx 0{,}021$ .)

Definition

Fehler erster und zweiter Art

Ein Test kann sich auf zwei Arten irren:

	$H_0$ ist wahr	$H_0$ ist falsch
$H_0$ wird beibehalten	richtig	Fehler 2. Art
$H_0$ wird verworfen	Fehler 1. Art	richtig

Fehler 1. Art: $H_0$ wird verworfen, obwohl sie stimmt. Im Gericht: Ein Unschuldiger wird verurteilt. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens $\alpha$ , dafür ist der Ablehnungsbereich ja gebaut.
Fehler 2. Art: $H_0$ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Im Gericht: Ein Schuldiger wird freigesprochen. Seine Wahrscheinlichkeit heißt $\beta$ . Sie hängt davon ab, wie das wahre $p$ aussieht, und lässt sich nur berechnen, wenn man ein bestimmtes $p_1$ annimmt.

Man kann nicht beide Fehler zugleich beliebig klein machen. Verkleinert man den Ablehnungsbereich, um seltener einen Fehler 1. Art zu begehen, behält man $H_0$ öfter bei, auch wenn sie falsch ist.

Vermute zuerst

Die Münze bevorzugt in Wahrheit Wappen mit $p = 0{,}7$ . Der Test mit $n = 50$ und $\alpha = 5\,\%$ übersieht das mit Wahrscheinlichkeit $\beta \approx 14\,\%$ . Was passiert mit $\beta$ , wenn man $\alpha$ auf $1\,\%$ senkt?

Fehler 2. Art sichtbar machen

n

= 50

p_0

= 0,5

k \text{ (beobachtet)}

= 30

Wahre Wahrscheinlichkeit annehmen (Fehler 2. Art)

p_1

= 0,7

$H_0$: p ≤ 0,5
$\text{Ablehnung bei}$: k ≥ 32
$\alpha_{\text{tatsächlich}}$: 0,0325
$\beta \text{ (Fehler 2. Art)}$: 0,1406

$k = 30$ liegt im Annahmebereich: $H_0\colon p \le 0{,}5$ wird nicht verworfen. Das beweist $H_0$ nicht, das Ergebnis spricht nur nicht deutlich genug dagegen. Der Ablehnungsbereich ist $\overline{A} = \{32, \dots, 50\}$ ; er ist so gewählt, dass seine Säulen zusammen höchstens $\alpha = 5\,\%$ ergeben. Ist in Wahrheit $p = 0{,}7$ , landet die Trefferzahl mit Wahrscheinlichkeit $\beta \approx 0{,}141$ trotzdem im Annahmebereich: Der Test übersieht den Unterschied.

Die beiden Verteilungen überlappen sich. Wo genau man die Grenze zieht, verschiebt nur, welcher Fehler häufiger vorkommt. Mit größerem $n$ rücken die Verteilungen relativ zu ihrer Breite auseinander, dann werden beide Fehler klein.

Probier es aus

Die umrandeten Balken zeigen die Verteilung für $p_1 = 0{,}7$ . Welcher Teil von ihnen liegt im Annahmebereich? Das ist $\beta$ .
Stell $\alpha = 1\,\%$ ein und beobachte $\beta$ .
Stell $\alpha$ zurück auf $5\,\%$ und erhöhe $n$ auf $100$ . Wie klein wird $\beta$ ?
Rücke $p_1$ näher an $0{,}5$ heran, etwa auf $0{,}55$ . Warum wird $\beta$ so groß?

Schritt für Schritt

Wirkt das neue Medikament besser?

Ein bisheriges Medikament hilft $60\,\%$ der Patienten. Ein Hersteller behauptet, sein neues Mittel helfe mehr Patienten. Es wird an $100$ Patienten erprobt, bei $70$ hilft es.

Hypothesen festlegen. Die Behauptung, die man belegen will, kommt in die Gegenhypothese:
$H_0\colon p \le 0{,}6, \qquad H_1\colon p > 0{,}6$

Schritt 1 von 4

Beispiel

Linksseitig und beidseitig

Linksseitig. Ein Hersteller garantiert, dass mindestens $90\,\%$ seiner Samen keimen. Ein Händler will das prüfen und sät $200$ Samen. Gegen die Garantie sprechen wenige keimende Samen, der Ablehnungsbereich liegt links: $H_0\colon p \ge 0{,}9$ . Mit $\alpha = 5\,\%$ ergibt sich $\overline{A} = \{0, \ldots, 172\}$ , denn $P(X \le 172) \approx 0{,}043$ . Keimen nur $167$ , wird die Garantie verworfen.

Beidseitig. Soll nur geprüft werden, ob eine Münze fair ist, egal in welche Richtung sie abweicht, dann ist $H_0\colon p = 0{,}5$ und $H_1\colon p \neq 0{,}5$ . Gegen $H_0$ sprechen sowohl sehr wenige als auch sehr viele Wappen. Man teilt $\alpha$ auf beide Seiten auf, je $2{,}5\,\%$ . Für $n = 100$ ergibt das $\overline{A} = \{0, \ldots, 39\} \cup \{61, \ldots, 100\}$ .

Ob ein- oder beidseitig, entscheidet die Fragestellung, und zwar bevor man die Daten sieht. Wer erst die Daten anschaut und dann die Seite wählt, auf der das Ergebnis liegt, verdoppelt heimlich sein Irrtumsrisiko.

Satz

Der Fehler 1. Art bleibt für die ganze Nullhypothese unter $\alpha$

Beim rechtsseitigen Test mit $H_0\colon p \le p_0$ rechnet man den Ablehnungsbereich nur mit $p = p_0$ aus. Das genügt, denn für jedes $p \le p_0$ gilt

P_p(X \ge k) \le P_{p_0}(X \ge k)

Häufige Fehler

„ $H_0$ beibehalten“ heißt nicht „ $H_0$ bewiesen“

Fällt das Ergebnis in den Annahmebereich, sagt man: „Die Münze ist also fair.“

Richtig ist

Man hat nur keinen ausreichenden Beleg gegen $H_0$ gefunden. Wie wahrscheinlich das auch bei falscher $H_0$ passiert, sagt $\beta$ , und das ist oft groß. Im Gericht heißt ein Freispruch auch nicht, dass die Unschuld bewiesen ist. Richtig: „Die Daten sprechen nicht signifikant gegen $H_0$ .“

Häufige Fehler

$\alpha$ ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ falsch ist

Nach einem Ergebnis auf dem $5\,\%$ -Niveau sagt man: „ $H_0$ ist mit $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit falsch.“

Richtig ist

$\alpha$ ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ zu verwerfen, wenn $H_0$ wahr ist. Über die Wahrscheinlichkeit von $H_0$ selbst sagt der Test nichts. Das ist dieselbe Verwechslung von $P_A(B)$ und $P_B(A)$ wie beim Satz von Bayes.

Häufige Fehler

Die Regel nach den Daten festlegen

Man schaut erst auf das Ergebnis und wählt dann Hypothesen, Seite oder Niveau so, dass es signifikant wird.

Richtig ist

Hypothesen, Signifikanzniveau, Stichprobenumfang und Ablehnungsbereich werden vor dem Versuch festgelegt. Sonst gilt die Garantie „Fehler 1. Art höchstens $\alpha$ “ nicht mehr.

Häufige Fehler

Mit $P(X = k)$ statt mit $P(X \ge k)$ rechnen

Man prüft, ob $P(X = 32) \le 0{,}05$ ist.

Richtig ist

Jede einzelne Trefferzahl ist bei großem $n$ unwahrscheinlich, auch $X = 25$ hat nur etwa $11\,\%$ . Entscheidend ist die Wahrscheinlichkeit des ganzen Ablehnungsbereichs, also aller Ergebnisse, die mindestens so stark gegen $H_0$ sprechen.

Zusammenfassung

Ein Test prüft eine Nullhypothese $H_0$ über $p$ mit einer Stichprobe. Man verwirft $H_0$ nur, wenn das Ergebnis unter $H_0$ sehr unwahrscheinlich wäre.
Der Ablehnungsbereich wird vorher so gewählt, dass seine Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ höchstens $\alpha$ beträgt.
Rechtsseitig: $H_0\colon p \le p_0$ , große Trefferzahlen verwerfen. Linksseitig: $H_0\colon p \ge p_0$ , kleine verwerfen. Beidseitig: $H_0\colon p = p_0$ , $\alpha$ auf beide Seiten aufteilen.
Fehler 1. Art: $H_0$ zu Unrecht verwerfen (höchstens $\alpha$ ). Fehler 2. Art: $H_0$ zu Unrecht beibehalten (Wahrscheinlichkeit $\beta$ , abhängig vom wahren $p$ ).
Was man belegen will, gehört in die Gegenhypothese.
Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist $H_0$ nicht. $\beta$ sinkt bei festem $\alpha$ nur mit größerem $n$ .

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Ein Würfel soll darauf geprüft werden, ob er zu oft eine Sechs zeigt. Welche Nullhypothese ist richtig?

Aufgabe 2Numerisch

Für den Würfel aus Aufgabe 1 wird $100$ -mal gewürfelt, $\alpha = 5\,\%$ . Es gilt $P(X \ge 23) \approx 0{,}063$ und $P(X \ge 24) \approx 0{,}038$ für $p = \frac{1}{6}$ . Ab welcher Zahl von Sechsen wird $H_0$ verworfen?

Aufgabe 3Multiple Choice

Beim Würfeltest aus Aufgabe 2 fallen $22$ Sechsen. Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Test für $H_0\colon p \le 0{,}5$ mit $n = 50$ hat den Ablehnungsbereich $\{32, \ldots, 50\}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn in Wahrheit $p = 0{,}7$ ist? Es gilt $P_{p=0{,}7}(X \le 31) \approx 0{,}141$ . Gib $\beta$ als Dezimalzahl an.

Aufgabe 5Multiple Choice

Ein Rauchmelder „testet“ ständig die Nullhypothese „Es brennt nicht“. Was ist hier ein Fehler 1. Art?

Aufgabe 6Numerisch

Ein Hersteller garantiert höchstens $5\,\%$ defekte Teile. Ein Kunde prüft $100$ Teile und will die Garantie auf dem $5\,\%$ -Niveau widerlegen. Es gilt für $p = 0{,}05$ : $P(X \ge 9) \approx 0{,}063$ und $P(X \ge 10) \approx 0{,}028$ . Ab wie vielen defekten Teilen wird die Garantie verworfen?

Aufgabe 7Freitext

Eine Partei hatte bei der letzten Wahl $20\,\%$ . Ein Institut will mit einer Umfrage unter $500$ Personen belegen, dass sie inzwischen weniger Zustimmung hat. Formuliere die Hypothesen, gib an, ob der Test links- oder rechtsseitig ist, bestimme den Ablehnungsbereich näherungsweise mit der Sigma-Regel für $1{,}64\sigma$ (einseitig etwa $5\,\%$ ) und beschreibe in Worten, was ein Fehler 1. und ein Fehler 2. Art hier wären.

Lektion 13.1 · Beurteilende Statistik und weitere Modelle

Hypothesentests

Definition

Hypothesentest

Ein Hypothesentest (Signifikanztest) entscheidet mithilfe einer Stichprobe zwischen zwei Aussagen über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ :

Die Nullhypothese $H_0$ ist die Aussage, die man nur bei starken Gegenbelegen aufgibt. Im Beispiel: $H_0\colon p \le 0{,}5$ (die Münze bevorzugt Wappen nicht).
Die Gegenhypothese $H_1$ ist das Gegenteil, im Beispiel $H_1\colon p > 0{,}5$ .

Schritt für Schritt

Den Ablehnungsbereich bestimmen

Rechtsseitiger Test für $H_0\colon p \le 0{,}5$ mit $n = 50$ und $\alpha = 5\,\%$ .

Welche Ergebnisse sprechen gegen $H_0$ ? Viele Wappen. Also hat der Ablehnungsbereich die Form:
$\overline{A} = \{k, k + 1, \ldots, 50\}$
Gesucht ist das kleinste $k$ mit $P(X \ge k) \le 0{,}05$ , gerechnet mit $p = 0{,}5$ :
$P(X \ge 31) \approx 0{,}0595 > 0{,}05, \qquad P(X \ge 32) \approx 0{,}0325 \le 0{,}05$
Entscheidungsregel:
$\overline{A} = \{32, \ldots, 50\}, \qquad A = \{0, \ldots, 31\}$
Entscheidung für die Stichprobe mit $32$ Wappen:
$32 \in \overline{A} \ \Rightarrow\ H_0 \text{ wird verworfen.}$

Das Ergebnis ist signifikant auf dem $5\,\%$ -Niveau. Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit dieses Tests ist sogar nur

P_{p = 0{,}5}(X \ge 32) \approx 3{,}25\,\%

Definition

Fehler erster und zweiter Art

Ein Test kann sich auf zwei Arten irren:

	$H_0$ ist wahr	$H_0$ ist falsch
$H_0$ wird beibehalten	richtig	Fehler 2. Art
$H_0$ wird verworfen	Fehler 1. Art	richtig

Fehler 1. Art: $H_0$ wird verworfen, obwohl sie stimmt. Im Gericht: Ein Unschuldiger wird verurteilt. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens $\alpha$ , dafür ist der Ablehnungsbereich ja gebaut.
Fehler 2. Art: $H_0$ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Im Gericht: Ein Schuldiger wird freigesprochen. Seine Wahrscheinlichkeit heißt $\beta$ . Sie hängt davon ab, wie das wahre $p$ aussieht, und lässt sich nur berechnen, wenn man ein bestimmtes $p_1$ annimmt.

Man kann nicht beide Fehler zugleich beliebig klein machen. Verkleinert man den Ablehnungsbereich, um seltener einen Fehler 1. Art zu begehen, behält man $H_0$ öfter bei, auch wenn sie falsch ist.

Schritt für Schritt

Wirkt das neue Medikament besser?

Ein bisheriges Medikament hilft $60\,\%$ der Patienten. Ein Hersteller behauptet, sein neues Mittel helfe mehr Patienten. Es wird an $100$ Patienten erprobt, bei $70$ hilft es.

Hypothesen festlegen. Die Behauptung, die man belegen will, kommt in die Gegenhypothese:
$H_0\colon p \le 0{,}6, \qquad H_1\colon p > 0{,}6$
Ablehnungsbereich für $\alpha = 5\,\%$ , $n = 100$ , gerechnet mit $p = 0{,}6$ :
$P(X \ge 69) \approx 0{,}040 \le 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad \overline{A} = \{69, \ldots, 100\}$
Entscheiden:
$70 \in \overline{A} \ \Rightarrow\ H_0 \text{ wird verworfen.}$
Wie gut ist der Test? Angenommen, das Mittel hilft in Wahrheit $70\,\%$ :
$\beta = P_{p = 0{,}7}(X \le 68) \approx 0{,}37$

Entscheidung auf dem $5\,\%$ -Niveau:

H_0\colon p \le 0{,}6 \text{ wird verworfen.}

Beispiel

Linksseitig und beidseitig

Satz

Der Fehler 1. Art bleibt für die ganze Nullhypothese unter $\alpha$

Beim rechtsseitigen Test mit $H_0\colon p \le p_0$ rechnet man den Ablehnungsbereich nur mit $p = p_0$ aus. Das genügt, denn für jedes $p \le p_0$ gilt

P_p(X \ge k) \le P_{p_0}(X \ge k)

Beweis

Man denkt sich beide Experimente mit denselben Zufallszahlen simuliert, wie in der Lektion über Simulationen. Für jeden der $n$ Versuche wird eine Zufallszahl $z_i$ zwischen $0$ und $1$ gezogen. Treffer im Experiment mit $p$ heißt $z_i < p$ , Treffer im Experiment mit $p_0$ heißt $z_i < p_0$ .

Wegen $p \le p_0$ ist jeder Treffer des ersten Experiments auch ein Treffer des zweiten: Aus $z_i < p$ folgt $z_i < p_0$ . Die Trefferzahl mit $p$ ist also bei jeder Folge von Zufallszahlen höchstens so groß wie die mit $p_0$ . Immer wenn die erste mindestens $k$ ist, ist es auch die zweite. Daraus folgt die Ungleichung für die Wahrscheinlichkeiten. Ein größeres $p$ verschiebt die Verteilung also nach rechts, und am Rand $p_0$ ist der Fehler 1. Art am größten.

q.e.d.

Häufige Fehler

„ $H_0$ beibehalten“ heißt nicht „ $H_0$ bewiesen“

Fällt das Ergebnis in den Annahmebereich, sagt man: „Die Münze ist also fair.“

Häufige Fehler

$\alpha$ ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ falsch ist

Nach einem Ergebnis auf dem $5\,\%$ -Niveau sagt man: „ $H_0$ ist mit $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit falsch.“

Häufige Fehler

Die Regel nach den Daten festlegen

Man schaut erst auf das Ergebnis und wählt dann Hypothesen, Seite oder Niveau so, dass es signifikant wird.

Hypothesen, Signifikanzniveau, Stichprobenumfang und Ablehnungsbereich werden vor dem Versuch festgelegt. Sonst gilt die Garantie „Fehler 1. Art höchstens $\alpha$ “ nicht mehr.

Häufige Fehler

Mit $P(X = k)$ statt mit $P(X \ge k)$ rechnen

Man prüft, ob $P(X = 32) \le 0{,}05$ ist.

Zusammenfassung

Ein Test prüft eine Nullhypothese $H_0$ über $p$ mit einer Stichprobe. Man verwirft $H_0$ nur, wenn das Ergebnis unter $H_0$ sehr unwahrscheinlich wäre.
Der Ablehnungsbereich wird vorher so gewählt, dass seine Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ höchstens $\alpha$ beträgt.
Rechtsseitig: $H_0\colon p \le p_0$ , große Trefferzahlen verwerfen. Linksseitig: $H_0\colon p \ge p_0$ , kleine verwerfen. Beidseitig: $H_0\colon p = p_0$ , $\alpha$ auf beide Seiten aufteilen.
Fehler 1. Art: $H_0$ zu Unrecht verwerfen (höchstens $\alpha$ ). Fehler 2. Art: $H_0$ zu Unrecht beibehalten (Wahrscheinlichkeit $\beta$ , abhängig vom wahren $p$ ).
Was man belegen will, gehört in die Gegenhypothese.
Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist $H_0$ nicht. $\beta$ sinkt bei festem $\alpha$ nur mit größerem $n$ .

Den Ablehnungsbereich bestimmen

Wirkt das neue Medikament besser?

Linksseitig und beidseitig

„H0H_0H0​ beibehalten“ heißt nicht „H0H_0H0​ bewiesen“

α\alphaα ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H0H_0H0​ falsch ist

Die Regel nach den Daten festlegen

Mit P(X=k)P(X = k)P(X=k) statt mit P(X≥k)P(X \ge k)P(X≥k) rechnen

Zusammenfassung

Übungen

„ $H_0$ beibehalten“ heißt nicht „ $H_0$ bewiesen“

$\alpha$ ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ falsch ist

Mit $P(X = k)$ statt mit $P(X \ge k)$ rechnen