Lektion 13.2

Schätzen von Parametern und Konfidenzintervalle

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine relative Häufigkeit als Schätzung einer unbekannten Wahrscheinlichkeit $p$ deuten,
erklären, warum die Schätzung streut und die Streuung mit $\sqrt{n}$ schrumpft,
ein Konfidenzintervall als Bereich lesen, der das unbekannte $p$ mit vorgegebener Sicherheit überdeckt,
das Niveau (etwa $95\,\%$ ) von der Breite des Intervalls unterscheiden.

Eine Partei lässt $400$ Menschen fragen und $220$ sagen Ja. Die relative Häufigkeit $220/400 = 0{,}55$ ist eine Schätzung des unbekannten Anteils $p$ in der ganzen Bevölkerung. Beim nächsten Mal kämen vielleicht $208$ oder $231$ Ja-Stimmen heraus, obwohl $p$ sich nicht geändert hat.

Die Schätzung $\hat{p}$ ist also eine Zufallsgröße. Ein Konfidenzintervall sagt nicht „ $p$ liegt mit $95\,\%$ in diesem Intervall“ im Sinne einer Wahrscheinlichkeit für ein schon festes $p$ . Es sagt: Das Verfahren erzeugt Intervalle, die das wahre $p$ in $95\,\%$ der Stichproben überdecken. Die eine Zahl $0{,}55$ allein verschweigt, wie grob die Lupe war.

Vermute zuerst

Zwei Umfragen schätzen dasselbe $p$ . Eine fragt $100$ Leute, eine $10\,000$ . Welche Schätzung streut typischerweise weniger?

Die Glocke um den wahren Mittelwert: wo die Schätzung landet

\mu

= 0,55

\sigma

= 0,03

$\mu$: 0,55
$\sigma$: 0,025
$P(0{,}5 \le X \le 0{,}6)$: 0,9545
$z = \tfrac{x - \mu}{\sigma}$: 2

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Kurve: $P(0{,}5 \le X \le 0{,}6) \approx 0{,}9545$ . Die gestrichelten Linien stehen bei $\mu$ und $\mu \pm \sigma$ , dort hat die Kurve ihre Wendestellen. Zwischen $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$ liegen immer rund $68\,\%$ der Fläche.

Die Normalverteilung ist hier die Näherung für $\hat{p}$ bei großem $n$ . Sie beschreibt die Streuung der Schätzung, nicht die Meinung eines einzelnen Menschen.

Probier es aus

Hier ist $\mu = 0{,}55$ der angenommene wahre Anteil und $\sigma = 0{,}025$ die Streuung von $\hat{p}$ bei etwa $n = 400$ (denn $\sqrt{0{,}55\cdot 0{,}45/400} \approx 0{,}025$ ).
Die Fläche zwischen $0{,}50$ und $0{,}60$ ist der Anteil der Stichproben, deren Schätzung in diesem Band liegt.
Verkleinere $\sigma$ (größeres $n$ ). Dieselbe Fläche sammelt sich enger um $0{,}55$ : Das Intervall darf schmaler werden, ohne Sicherheit zu verlieren.
Ein Konfidenzintervall dreht die Blickrichtung um: Man sieht $\hat{p}$ und legt ein Band darum, das das unbekannte $\mu$ meist enthält.

Definition

Schätzung und Konfidenzintervall

Sei $X$ die Trefferzahl in $n$ unabhängigen Versuchen mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p$ . Dann ist

$\hat{p} = X/n$

ein Schätzer für $p$ : erwartungstreu, weil $E(\hat{p}) = p$ .

Ein Konfidenzintervall zum Niveau $1-\alpha$ (oft $95\,\%$ , also $\alpha = 0{,}05$ ) ist ein Intervall $[U,\,O]$ , das aus den Daten berechnet wird, so dass

$P(U \le p \le O) = 1-\alpha$

(oder mindestens $1-\alpha$ ), wobei die Wahrscheinlichkeit über die Stichprobe geht, nicht über $p$ . $p$ ist fest und unbekannt.

Näherung bei großem $n$ und $\hat{p}$ nicht zu nah an $0$ oder $1$ :

$\displaystyle \hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ ,

mit $z \approx 1{,}96$ für $95\,\%$ .

Schritt für Schritt

$95\,\%$ -Intervall bei $220$ von $400$

$\hat{p} = 0{,}55$ , $n = 400$ , $z = 1{,}96$ .

Geschätzte Standardabweichung: $\sqrt{0{,}55\cdot 0{,}45/400} = \sqrt{0{,}00061875} \approx 0{,}0249$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Was $95\,\%$ nicht heißt

Das Intervall $[0{,}50;\, 0{,}60]$ ist schon berechnet. $p$ liegt darin oder nicht. Die $95\,\%$ beziehen sich auf das Verfahren: Wiederholt man die Umfrage sehr oft, enthalten etwa $95$ von $100$ so gebauten Intervallen das wahre $p$ .

1-\alpha = 0{,}95

Ein einzelnes Intervall hat keine Wahrscheinlichkeit mehr, sobald die Zahlen feststehen — außer man wechselt das Wahrscheinlichkeitsmodell (Bayes). In der Schule bleibt es beim Verfahren.

Kurz geprüft

Was passiert mit der Breite eines $95\,\%$ -Intervalls, wenn $n$ vervierfacht wird und $\hat{p}$ gleich bleibt?

Häufige Fehler

Niveau und Treffer verwechseln

„Das Intervall ist zu $95\,\%$ richtig“ klingt, als läge $p$ mit Wahrscheinlichkeit $0{,}95$ darin. Für dieses eine Intervall ist das in der frequentistischen Lesart sinnlos: $p$ ist kein Zufall.

Auch: $z = 1$ statt $1{,}96$ nehmen und es trotzdem $95\,\%$ nennen. $z = 1$ gehört eher zu etwa $68\,\%$ .

Richtig ist

Niveau = Anteil der Intervalle, die $p$ treffen, über viele Stichproben. Breite $\propto 1/\sqrt{n}$ .

Zusammenfassung

$\hat{p} = X/n$ schätzt $p$ , mit Streuung $\sqrt{p(1-p)/n}$ .
Konfidenzintervall: Verfahren, das $p$ mit Niveau $1-\alpha$ überdeckt.
Näherung $\hat{p} \pm 1{,}96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ für $95\,\%$ .
Vierfaches $n$ halbiert die Breite. Das Niveau ist keine Wahrscheinlichkeit für das schon berechnete Intervall.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Relative Häufigkeit bei $80$ Treffern in $200$ Versuchen.

Aufgabe 2Numerisch

Wie groß ist $\sqrt{p(1-p)/n}$ für $p = 0{,}5$ und $n = 100$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Ein $99\,\%$ -Intervall ist bei derselben Stichprobe im Vergleich zum $95\,\%$ -Intervall

Aufgabe 4Freitext

Warum sagt man nicht: „ $p$ liegt mit Wahrscheinlichkeit $95\,\%$ in dem Intervall, das wir gerade ausgerechnet haben“?