Lektion 13.3

Normalverteilung

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, warum man bei stetigen Größen wie Länge oder Gewicht Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter einer Dichtefunktion beschreibt
die Gaußsche Glockenkurve mit ihren Parametern $\mu$ und $\sigma$ beschreiben und ihre Wendestellen herleiten
Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Größen mit Standardisierung und $\Phi$ berechnen und Grenzen rückwärts bestimmen
Binomialverteilungen mit großem $\sigma$ durch die Normalverteilung nähern und dabei die Stetigkeitskorrektur anwenden

Wenn es keine einzelnen Werte mehr gibt. Bisher hatten Zufallsgrößen einzelne Werte: $0, 1, 2, \ldots$ Treffer. Viele Größen sind aber stetig: die Körpergröße eines Menschen, das Gewicht einer Packung Mehl, die Abweichung eines Messwerts. Sie können jeden Wert in einem Bereich annehmen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand genau $175{,}000\ldots$ cm groß ist, auf unendlich viele Stellen genau? Sie ist $0$ . Es gibt unendlich viele mögliche Werte, und keiner hat ein eigenes Stück Wahrscheinlichkeit. Sinnvoll ist nur die Frage nach Bereichen: Wie wahrscheinlich ist eine Größe zwischen $170$ und $180$ cm?

Misst man die Körpergrößen vieler Menschen und zeichnet ein Histogramm, dessen Balkenflächen die relativen Häufigkeiten sind, so entsteht mit immer feineren Klassen eine glatte Kurve. Die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs ist dann die Fläche unter dieser Kurve. Bei Körpergrößen, Messfehlern und vielen anderen Größen hat die Kurve immer dieselbe Glockenform. Sie heißt nach Carl Friedrich Gauß die Gaußsche Glockenkurve.

Vermute zuerst

Intelligenztests werden so geeicht, dass die Ergebnisse normalverteilt sind mit dem Mittelwert $\mu = 100$ und der Standardabweichung $\sigma = 15$ . Welcher Anteil der Menschen hat einen Wert zwischen $85$ und $115$ ?

Wahrscheinlichkeiten als Flächen

\mu

= 100

\sigma

= 15

$\mu$: 100
$\sigma$: 15
$P(85 \le X \le 115)$: 0,6827
$z = \tfrac{x - \mu}{\sigma}$: 1

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Kurve: $P(85 \le X \le 115) \approx 0{,}6827$ . Die gestrichelten Linien stehen bei $\mu$ und $\mu \pm \sigma$ , dort hat die Kurve ihre Wendestellen. Zwischen $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$ liegen immer rund $68\,\%$ der Fläche.

Die gestrichelten Linien stehen bei $\mu$ und bei $\mu \pm \sigma$ . Die Gesamtfläche unter der Kurve ist immer $1$ .

Probier es aus

Lies die Fläche zwischen $85$ und $115$ ab. Zieh dann die Grenzen auf $70$ und $130$ .
Wähle „ $X \ge a$ “ und setze $a = 130$ . Welcher Anteil hat einen Wert über $130$ ?
Verändere $\sigma$ . Wie ändern sich Höhe und Breite der Glocke? Warum muss die Kurve niedriger werden, wenn sie breiter wird?
Verschiebe $\mu$ . Was ändert sich an der Form der Kurve?

Definition

Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße

Eine stetige Zufallsgröße $X$ wird durch eine Dichtefunktion $f$ beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen $a$ und $b$ liegt, ist die Fläche unter dem Graphen von $f$ :

$\displaystyle P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx.$

Eine Dichtefunktion muss zwei Bedingungen erfüllen: $f(x) \ge 0$ für alle $x$ , und die Gesamtfläche ist $1$ . Daraus folgt:

$P(X = a) = 0$ für jeden einzelnen Wert, denn über einem Punkt liegt keine Fläche. Deshalb ist es egal, ob man $\le$ oder $<$ schreibt.
Der Funktionswert $f(x)$ selbst ist keine Wahrscheinlichkeit. Er sagt nur, wie dicht die Wahrscheinlichkeit in der Nähe von $x$ liegt, und kann größer als $1$ sein.

Den Erwartungswert und die Varianz bildet man wie bei endlichen Zufallsgrößen, nur mit Integral statt Summe: $\mu = \int x f(x)\,dx$ .

Definition

Normalverteilung

Eine Zufallsgröße $X$ heißt normalverteilt mit den Parametern $\mu$ und $\sigma > 0$ , wenn sie die Dichtefunktion

$\displaystyle \varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

hat. Man schreibt kurz $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ . Dabei ist $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung.

Was die Formel tut, lässt sich Stück für Stück lesen: $(x - \mu)^2$ misst den quadrierten Abstand von der Mitte. Teilen durch $2\sigma^2$ misst ihn in Einheiten von $\sigma$ . Das Minuszeichen im Exponenten sorgt dafür, dass $e^{\ldots}$ mit wachsendem Abstand schnell gegen $0$ fällt. Der Vorfaktor $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ ist genau so gewählt, dass die Gesamtfläche $1$ wird: Eine breitere Glocke (großes $\sigma$ ) muss dafür niedriger sein.

Satz

Form der Glockenkurve

Der Graph von $\varphi_{\mu,\sigma}$ ist symmetrisch zur Geraden $x = \mu$ , hat dort sein einziges Maximum und hat genau zwei Wendestellen:

x_{W} = \mu - \sigma \quad \text{und} \quad x_{W} = \mu + \sigma

Definition

Standardisierung und die Funktion Φ

Die Fläche unter der Glockenkurve lässt sich nicht mit einer Stammfunktion aus bekannten Funktionen berechnen. Man braucht Tabellen oder den Rechner. Damit nicht jede Kombination von $\mu$ und $\sigma$ eine eigene Tabelle braucht, rechnet man um. Ist $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ , so ist

$\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

standardnormalverteilt, also $Z \sim N(0; 1)$ . $Z$ misst, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Erwartungswert liegt. Die Verteilungsfunktion von $Z$ heißt $\Phi$ (groß Phi):

$\displaystyle \Phi(z) = P(Z \le z), \qquad P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$

Nützlich ist die Symmetrie $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ . Auf dem Rechner heißt die Funktion oft „normalcdf“ oder „NormCD“. Dann gibt man $\mu$ und $\sigma$ direkt ein und braucht keine Umrechnung.

Schritt für Schritt

Unterfüllte Packungen

Eine Maschine füllt Mehl ab. Die Füllmenge $X$ ist normalverteilt mit $\mu = 500$ g und $\sigma = 4$ g. Wie groß ist der Anteil der Packungen mit weniger als $492$ g?

Standardisieren:
$z = \frac{492 - 500}{4} = -2$

Schritt 1 von 2

Kurz geprüft

Wie groß ist bei derselben Maschine ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g) der Anteil der Packungen mit mehr als $510$ g? Gib vier Nachkommastellen an. ( $\Phi(2{,}5) \approx 0{,}9938$ )

Schritt für Schritt

Rückwärts: die Maschine richtig einstellen

Gesetzlich dürfen höchstens $1\,\%$ der Packungen unter $492$ g liegen. Die Streuung $\sigma = 4$ g lässt sich nicht verbessern, aber der Mittelwert $\mu$ ist einstellbar. Welches $\mu$ muss man mindestens wählen?

Gesucht ist das $z$ , unter dem genau $1\,\%$ der Fläche liegt:
$\Phi(z) = 0{,}01 \iff z \approx -2{,}326$

Schritt 1 von 2

Warum taucht die Glocke überall auf? Bei den Sigma-Regeln hast du gesehen, dass Binomialverteilungen mit großem $\sigma$ alle dieselbe Form haben. Das ist kein Zufall. Eine Binomialverteilung ist eine Summe vieler kleiner, unabhängiger Beiträge: Jeder Versuch trägt $0$ oder $1$ bei. Der zentrale Grenzwertsatz, einer der wichtigsten Sätze der Mathematik, besagt: Eine Summe vieler unabhängiger, nicht zu ungleicher Zufallsgrößen ist ungefähr normalverteilt, egal wie die einzelnen Summanden verteilt sind. Deshalb ist die Körpergröße (viele Gene, Ernährung, Umwelt) ungefähr normalverteilt, ebenso Messfehler (viele kleine Störungen). Im Versuch siehst du den Spezialfall der Binomialverteilung.

Die Glockenkurve über dem Binomial-Histogramm

n

= 50

p

= 0,4

$\mu$: 20
$\sigma$: 3,464
$P(15 \le X \le 25)$: 0,8511
$\text{exakt (binomial)}$: 0,8887
$\text{mit } \pm 0{,}5$: 0,8876

Die Glockenkurve mit $\mu = 20$ und $\sigma = 3{,}46$ liegt über dem Histogramm von $B(50;\,0{,}4)$ . Bei $\sigma > 3$ passt sie gut. Jeder Balken reicht von $k - 0{,}5$ bis $k + 0{,}5$ . Wer die Fläche ab genau diesen Rändern misst, kommt mit $0{,}8876$ dem exakten Wert $0{,}8887$ viel näher als ohne Verschiebung.

Jeder Balken der Breite $1$ steht für einen Wert $k$ und reicht von $k - 0{,}5$ bis $k + 0{,}5$ . Will man die Balken von $15$ bis $25$ durch eine Fläche nähern, muss man deshalb von $14{,}5$ bis $25{,}5$ messen.

Probier es aus

Vergleiche die drei Werte rechts: die Fläche unter der Kurve von $15$ bis $25$ , den exakten Wert der Binomialverteilung und den Wert „mit $\pm 0{,}5$ “.
Stell $p = 0{,}05$ ein. Wie gut passt die Kurve jetzt? Wie groß ist $\sigma$ ?
Erhöhe dann $n$ schrittweise. Ab wann passt die Kurve wieder gut?

Satz

Näherung der Binomialverteilung (de Moivre und Laplace)

Ist $X$ binomialverteilt mit $\mu = np$ und $\sigma = \sqrt{np(1-p)} > 3$ , so gilt mit Stetigkeitskorrektur näherungsweise

P(X \le k) \approx \Phi\!\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right), \qquad P(a \le X \le b) \approx \Phi\!\left(\frac{b + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right)

Beispiel

Stetigkeitskorrektur in Zahlen

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}3$ , also $\mu = 30$ und $\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58$ . Gesucht ist $P(X \le 25)$ .

P(X \le 25) \approx \Phi\!\left(\frac{25{,}5 - 30}{4{,}58}\right) = \Phi(-0{,}98) \approx 0{,}163

Der exakte Wert der Binomialverteilung ist $0{,}1631$ . Ohne Korrektur, mit $\Phi\big(\frac{25 - 30}{4{,}58}\big)$ , erhielte man $0{,}138$ , also einen deutlich schlechteren Wert. Heute rechnet der Taschenrechner die Binomialverteilung meist direkt aus. Die Näherung bleibt trotzdem wichtig, weil sie erklärt, warum die Sigma-Regeln gelten und warum alle großen Binomialverteilungen gleich aussehen.

Kurz geprüft

Die Körpergröße erwachsener Männer in einem Land ist ungefähr normalverteilt mit $\mu = 178$ cm und $\sigma = 7$ cm. Welche Größe überschreiten nur $10\,\%$ der Männer? Runde auf ganze Zentimeter. ( $\Phi(1{,}28) \approx 0{,}90$ )

Häufige Fehler

Den Funktionswert für eine Wahrscheinlichkeit halten

Man rechnet $P(X = 500) = \varphi(500) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}0997$ .

Richtig ist

Bei stetigen Zufallsgrößen ist $P(X = a) = 0$ . Der Wert der Dichte gibt keine Wahrscheinlichkeit an, erst eine Fläche tut das. Für „ungefähr $500$ g“ muss man einen Bereich angeben, etwa $499{,}5 \le X \le 500{,}5$ .

Häufige Fehler

Durch die Varianz statt durch die Standardabweichung teilen

Bei $N(500; 16)$ standardisiert man mit $z = \frac{x - 500}{16}$ .

Richtig ist

In $N(\mu; \sigma^2)$ steht die Varianz. Bei $N(500; 16)$ ist $\sigma = 4$ , und man teilt durch $4$ . Am sichersten ist es, vor jeder Rechnung $\mu$ und $\sigma$ ausdrücklich hinzuschreiben.

Häufige Fehler

Die Seite verwechseln

Für $P(X > 510)$ rechnet man $\Phi(2{,}5) \approx 0{,}994$ .

Richtig ist

$\Phi$ gibt immer die Fläche links von $z$ an. Für „größer als“ braucht man $1 - \Phi(z)$ . Eine Skizze der Glocke mit der gesuchten Fläche verhindert diesen Fehler zuverlässig.

Zusammenfassung

Bei stetigen Zufallsgrößen sind Wahrscheinlichkeiten Flächen unter einer Dichtefunktion. Einzelne Werte haben die Wahrscheinlichkeit $0$ .
Die Normalverteilung $N(\mu; \sigma^2)$ hat die Glockenkurve $\varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ mit Maximum bei $\mu$ und Wendestellen bei $\mu \pm \sigma$ .
Standardisierung: $P(X \le x) = \Phi\big(\frac{x - \mu}{\sigma}\big)$ , und $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ .
Rückwärts: Aus einer gegebenen Wahrscheinlichkeit findet man mit der Umkehrfunktion von $\Phi$ die Grenze.
Binomialverteilungen mit $\sigma > 3$ sind näherungsweise normalverteilt. Mit Stetigkeitskorrektur $\pm 0{,}5$ wird die Näherung genau.
Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum Summen vieler kleiner Einflüsse ungefähr normalverteilt sind.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 50$ und $\sigma = 5$ . Berechne den standardisierten Wert $z$ von $x = 62$ .

Aufgabe 2Numerisch

Die Füllmenge ist $N(500; 4^2)$ -verteilt. Berechne den Anteil der Packungen zwischen $495$ g und $505$ g auf vier Nachkommastellen. ( $\Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944$ )

Aufgabe 3Multiple Choice

Zwei Normalverteilungen haben denselben Erwartungswert, aber $\sigma_1 = 2$ und $\sigma_2 = 4$ . Wie verhalten sich die Maxima ihrer Dichtefunktionen?

Aufgabe 4Numerisch

Bei einem Test mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ : Welcher Anteil hat einen Wert über $130$ ? Gib vier Nachkommastellen an. ( $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ )

Aufgabe 5Numerisch

Eine Maschine füllt mit $\sigma = 3$ g. Höchstens $5\,\%$ der Packungen dürfen unter $250$ g liegen. Auf welchen Mittelwert muss man sie mindestens einstellen? Gib eine Nachkommastelle an. ( $\Phi(-1{,}645) \approx 0{,}05$ )

Aufgabe 6Numerisch

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 100$ und $p = 0{,}3$ . Nähere $P(X \ge 36)$ mit der Normalverteilung und Stetigkeitskorrektur. Gib drei Nachkommastellen an. ( $\Phi(1{,}2) \approx 0{,}8849$ )

Aufgabe 7Freitext

Begründe mit der zweiten Ableitung, dass die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung $\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$ bei $z = \pm 1$ Wendestellen hat. Erkläre dann, was das für das Ablesen von $\sigma$ an einem beliebigen Graphen einer Normalverteilung bedeutet.