Lektion 4.4

Funktionenscharen und Ortskurven

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, was eine Funktionenschar ist und wie sich Parameter und Variable unterscheiden
den Einfluss eines Parameters auf den Graphen beschreiben und begründen
Extrempunkte einer Schar in Abhängigkeit vom Parameter berechnen und die Ortskurve bestimmen
gemeinsame Punkte aller Scharkurven finden und Fallunterscheidungen sauber durchführen

Eine Formel, viele Kurven. Ein Ball wird waagerecht von einem Turm geworfen. Wie weit er fliegt, hängt von der Abwurfgeschwindigkeit ab. Für jede Geschwindigkeit gibt es eine eigene Flugbahn, aber alle Bahnen werden von derselben Formel beschrieben, nur mit einer anderen Zahl darin. Ebenso beim Bremsweg eines Autos: Die Formel ist dieselbe, nur der Wert für die Straßenverhältnisse ändert sich.

In der Mathematik nennt man so etwas eine Funktionenschar: eine Formel, die außer $x$ noch eine weitere Größe enthält, einen Parameter. Jeder Wert des Parameters liefert eine eigene Funktion. Statt jede einzeln zu untersuchen, rechnet man einmal allgemein und erhält die Antworten für alle Werte auf einmal. Dabei entstehen neue Fragen: Wie verändert der Parameter den Graphen? Auf welcher Kurve wandern die Hochpunkte, wenn der Parameter sich ändert? Gibt es Punkte, durch die alle Kurven gehen?

Definition

Funktionenschar

Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen $f_a$ , die durch einen gemeinsamen Term mit einem Parameter $a$ gegeben sind. Beispiel:

$\displaystyle f_a(x) = x^2 - 2ax, \qquad a \in \mathbb{R}.$

Für $a = 1$ erhält man $f_1(x) = x^2 - 2x$ , für $a = -3$ erhält man $f_{-3}(x) = x^2 + 6x$ . Die Graphen der einzelnen Funktionen heißen Scharkurven.

Der Unterschied zwischen den beiden Buchstaben ist wichtig. $x$ ist die Variable: Sie läuft über alle Werte, dabei entsteht der Graph. $a$ ist der Parameter: Er wird zuerst gewählt und bleibt dann fest, während $x$ läuft. Beim Ableiten nach $x$ behandelt man $a$ deshalb wie eine Zahl: $(2ax)' = 2a$ , genauso wie $(6x)' = 6$ .

Vermute zuerst

Die Scharkurven von $f_a(x) = x^2 - 2ax$ sind nach oben geöffnete Parabeln. Jede hat einen Scheitelpunkt $S_a$ . Auf welcher Linie liegen alle diese Scheitelpunkte, wenn $a$ alle reellen Zahlen durchläuft?

Die Schar

f_a(x) = x^2 - 2ax

und die Spur ihrer Scheitel

a

= 1

f_a(x) = x^2 - 2\,x

S = (1 | −1)

Verschieb $a$ langsam über den ganzen Bereich. Jeder Scheitel hinterlässt einen Punkt: Zusammen bilden sie die Ortskurve.

Der gefüllte Punkt ist der Scheitel der aktuellen Kurve, die kleinen Punkte sind die Scheitel der Kurven, die du schon eingestellt hattest.

Probier es aus

Schieb $a$ von $-2{,}5$ bis $2{,}5$ . Welche Form hat die Spur der Scheitel?
Lies für $a = 1$ , $a = 2$ und $a = -2$ den Scheitel ab. Erkennst du einen Zusammenhang zwischen $x$ - und $y$ -Koordinate?
Durch welchen Punkt gehen alle Scharkurven? Prüfe es an der Formel: Was ergibt $f_a(0)$ ?

Schritt für Schritt

Scheitelpunkt in Abhängigkeit von $a$

Wir bestimmen den Tiefpunkt von $f_a(x) = x^2 - 2ax$ für ein beliebiges, aber festes $a$ .

Ableitung nach $x$ , mit $a$ als fester Zahl:
$f_a'(x) = 2x - 2a, \qquad f_a''(x) = 2$

Schritt 1 von 3

Definition

Ortskurve

Hängt ein besonderer Punkt einer Scharkurve (Extrempunkt, Wendepunkt, Schnittpunkt) vom Parameter ab, so wandert er, wenn sich der Parameter ändert. Die Kurve, auf der alle diese Punkte liegen, heißt Ortskurve.

So bestimmt man sie:

1. Die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit vom Parameter berechnen: $x = x(a)$ , $y = y(a)$ .
2. Die Gleichung für $x$ nach dem Parameter auflösen.
3. Das Ergebnis in die Gleichung für $y$ einsetzen. Dann steht $y$ als Term in $x$ da, ohne $a$ .
4. Prüfen, ob die Ortskurve wirklich ganz durchlaufen wird oder nur ein Teil davon, zum Beispiel wenn nur $a > 0$ erlaubt ist.

Schritt für Schritt

Die Ortskurve der Tiefpunkte $T_a(a \mid -a^2)$

Koordinaten aufschreiben:
$x = a, \qquad y = -a^2$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Die Schar $f_a(x) = (x - a)^2 + 2a$ hat die Scheitelpunkte $S_a(a \mid 2a)$ . Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte.

Beispiel

Wenn die erste Koordinate komplizierter ist

Die Schar $g_t(x) = x^3 - 3t^2 x$ mit $t > 0$ hat Extrempunkte bei $g_t'(x) = 3x^2 - 3t^2 = 0$ , also bei $x = \pm t$ . Für den Hochpunkt bei $x = -t$ gilt $g_t(-t) = -t^3 + 3t^3 = 2t^3$ .

H_t(-t \mid 2t^3) \quad\Rightarrow\quad t = -x \quad\Rightarrow\quad y = 2(-x)^3 = -2x^3

Die Ortskurve der Hochpunkte ist $y = -2x^3$ . Weil aber nur $t > 0$ erlaubt ist, gilt $x = -t < 0$ : Die Hochpunkte liegen nur auf dem linken Ast dieser Kurve, also auf $y = -2x^3$ für $x < 0$ . Ohne diese Einschränkung wäre die Antwort falsch, denn ein Punkt wie $(1 \mid -2)$ ist für kein erlaubtes $t$ ein Hochpunkt.

Punkte, durch die alle Kurven gehen. Bei $f_a(x) = x^2 - 2ax$ ist $f_a(0) = 0$ für jedes $a$ : Alle Scharkurven gehen durch den Ursprung. Solche Punkte heißen gemeinsame Punkte der Schar. Man findet sie, indem man fragt: Für welche $x$ hängt $f_a(x)$ gar nicht von $a$ ab? Dazu setzt man zwei Scharkurven mit verschiedenen Parametern $a \neq b$ gleich.

Schritt für Schritt

Gemeinsame Punkte der Schar $f_a(x) = ax^2 + x - 4a$

Zwei Scharkurven mit $a \neq b$ gleichsetzen:
$ax^2 + x - 4a = bx^2 + x - 4b$

Schritt 1 von 4

Gemeinsame Punkte von

f_a(x) = ax^2 + x - 4a

a

= 0,5

f_a(x) = 0{,}5\,x^2 + x - 2

Für $a = 0$ ist die Scharkurve keine Parabel, sondern die Gerade $y = x$ . Solche Sonderfälle muss man bei Scharen immer im Blick behalten.

Probier es aus

Bewege $a$ durch den ganzen Bereich. An welchen zwei Stellen bleibt der Graph fest?
Stell $a = 0$ ein. Welche Kurve entsteht, und warum fällt sie mit der gestrichelten Geraden $y = x$ zusammen?
Wie verändert das Vorzeichen von $a$ die Öffnung der Parabel?

Kurz geprüft

Durch welchen Punkt gehen alle Kurven der Schar $f_a(x) = a(x - 3) + 5$ ? Gib die $y$ -Koordinate an.

Satz

Einfluss eines Parameters auf den Graphen

Für eine Funktion $g$ und einen Parameter $a$ gilt:

$f_a(x) = g(x) + a$ : Verschiebung um $a$ in $y$ -Richtung.
$f_a(x) = g(x - a)$ : Verschiebung um $a$ in $x$ -Richtung (bei $a > 0$ nach rechts).
$f_a(x) = a \cdot g(x)$ : Streckung in $y$ -Richtung mit dem Faktor $a$ ; für $a < 0$ zusätzlich Spiegelung an der $x$ -Achse.
$f_a(x) = g(ax)$ : Stauchung in $x$ -Richtung mit dem Faktor $\frac{1}{a}$ (für $a > 0$ ).

Häufige Fehler

Nach dem Parameter ableiten

Bei $f_a(x) = ax^2$ rechnet man $f_a'(x) = x^2$ oder $f_a'(x) = 2ax + x^2$ .

Richtig ist

Abgeleitet wird nach der Variablen $x$ . Der Parameter $a$ ist dabei eine feste Zahl, genau wie die $3$ in $3x^2$ . Also ist $f_a'(x) = 2ax$ .

Häufige Fehler

Durch den Parameter teilen, ohne nachzudenken

Aus $ax = 2$ folgt sofort $x = \frac{2}{a}$ , ohne den Fall $a = 0$ zu betrachten.

Richtig ist

Durch $a$ darf man nur teilen, wenn $a \neq 0$ ist. Für $a = 0$ lautet die Gleichung $0 = 2$ und hat keine Lösung. Bei Scharen gehört zu fast jeder Rechnung eine Fallunterscheidung: Was gilt für $a > 0$ , $a = 0$ , $a < 0$ ? Beim Hinreichend-Kriterium entscheidet oft das Vorzeichen von $a$ , ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt.

Häufige Fehler

Die Ortskurve zu groß angeben

Man gibt $y = -2x^3$ als Ortskurve an, obwohl nur Parameter $t > 0$ erlaubt sind.

Richtig ist

Die Ortskurve besteht nur aus den Punkten, die wirklich als Hochpunkt einer erlaubten Scharkurve vorkommen. Aus der Einschränkung für den Parameter folgt eine Einschränkung für $x$ , die man dazuschreibt, etwa „für $x < 0$ “.

Zusammenfassung

Eine Funktionenschar $f_a$ ist eine Familie von Funktionen mit einem gemeinsamen Term. Jeder Wert von $a$ liefert eine Scharkurve.
Beim Ableiten und Lösen nach $x$ ist der Parameter eine feste Zahl.
Besondere Punkte werden in Abhängigkeit vom Parameter berechnet, etwa $T_a(a \mid -a^2)$ .
Ortskurve: $x = x(a)$ nach $a$ auflösen, in $y = y(a)$ einsetzen. Einschränkungen des Parameters übertragen sich auf $x$ .
Gemeinsame Punkte: $f_a(x) = f_b(x)$ für $a \neq b$ ansetzen, $(a - b)$ ausklammern.
Fallunterscheidungen für den Parameter nicht vergessen, vor allem beim Teilen und beim Vorzeichen der zweiten Ableitung.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Bilde die Ableitung von $f_a(x) = ax^3 - 2a^2x$ nach $x$ .

Aufgabe 2Numerisch

Die Schar $f_a(x) = x^2 - 4ax + 3$ hat für jedes $a$ einen Tiefpunkt. Bei welchem $x$ liegt er für $a = 1{,}5$ ?

Aufgabe 3Term eingeben

Die Tiefpunkte der Schar $f_a(x) = x^2 - 4ax + 3$ sind $T_a(2a \mid 3 - 4a^2)$ . Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte.

Aufgabe 4Multiple Choice

Durch welche Punkte gehen alle Kurven der Schar $f_a(x) = a x^2 - a x + 1$ ?

Aufgabe 5Multiple Choice

Die Schar $f_a(x) = ax^2 - 2x$ mit $a \neq 0$ hat ihren Scheitel bei $x = \frac{1}{a}$ . Wann ist dieser Scheitel ein Hochpunkt?

Aufgabe 6Numerisch

Für welches $a > 0$ liegt der Tiefpunkt von $f_a(x) = x^2 - 2ax$ auf der Geraden $y = -4$ ?

Aufgabe 7Freitext

Gegeben ist die Schar $f_t(x) = -x^2 + 2tx + t$ mit $t \in \mathbb{R}$ . Bestimme den Hochpunkt in Abhängigkeit von $t$ und die Ortskurve der Hochpunkte. Gibt es eine Scharkurve, deren Hochpunkt auf der $x$ -Achse liegt?

Scheitelpunkt in Abhängigkeit von aaa

Die Ortskurve der Tiefpunkte Ta(a∣−a2)T_a(a \mid -a^2)Ta​(a∣−a2)

Wenn die erste Koordinate komplizierter ist

Gemeinsame Punkte der Schar fa(x)=ax2+x−4af_a(x) = ax^2 + x - 4afa​(x)=ax2+x−4a

Nach dem Parameter ableiten

Durch den Parameter teilen, ohne nachzudenken

Die Ortskurve zu groß angeben

Zusammenfassung

Übungen

Scheitelpunkt in Abhängigkeit von $a$

Die Ortskurve der Tiefpunkte $T_a(a \mid -a^2)$

Gemeinsame Punkte der Schar $f_a(x) = ax^2 + x - 4a$