Lektion 4.3

Wachstumsmodelle und Differentialgleichungen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

exponentielles Wachstum $N' = kN$ von linearem Wachstum unterscheiden,
die Gleichung $N' = kN$ als „Änderung proportional zum Bestand“ lesen und $N(t) = N_0 e^{kt}$ als Lösung angeben,
beschränktes Wachstum $N' = k(G - N)$ deuten,
Halbwerts- und Verdopplungszeit aus $k$ bestimmen.

Bei Zinseszins hängt der Zuwachs vom aktuellen Kapital ab: $5\,\%$ von $1000$ sind $50$ , $5\,\%$ von $2000$ sind $100$ . Je mehr da ist, desto schneller kommt dazu. Das Gegenstück ist der radioaktive Zerfall: Je mehr Kerne noch da sind, desto mehr zerfallen in der nächsten Minute.

Beide Male steckt dieselbe Satzform hinter der Formel: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Geschrieben $N'(t) = k \, N(t)$ . Das ist eine Differentialgleichung: eine Gleichung für eine unbekannte Funktion, in der die Ableitung vorkommt. Ihre Lösung ist die Exponentialfunktion.

Vermute zuerst

Eine Größe erfüllt $N' = 0{,}2\, N$ und startet bei $N(0) = 50$ . Was ist $N'(0)$ ?

Lösungen von

N' = kN

: die Schar

a\,e^{kt}

a

= 1

k

= 0,5

f(x) = e^{0{,}5x}

$D_f$: alle reellen x
$f(0)$: 1
$f(x) = 0$: keine im Fenster

Exponentialfunktion. Definitionsbereich: alle reellen x. Symmetrie: weder gerade noch ungerade.

Jede solche Kurve erfüllt $N' = kN$ . Andere Graphen, etwa Geraden, tun das nicht.

Probier es aus

Bei $k > 0$ steigt der Graph, bei $k < 0$ fällt er gegen die Achse. Das Vorzeichen von $k$ entscheidet über Wachstum oder Zerfall.
Schieb $a$ . Das ist der Startwert $N(0)$ . Alle Kurven zur selben $k$ sind nur senkrecht gestreckt.
Je größer $|k|$ , desto steiler am selben Punkt. $k$ ist die relative Änderungsrate: $N'/N$ .

Definition

Exponentielles Wachstum

Die Differentialgleichung

$N'(t) = k\, N(t)$

mit $N(0) = N_0$ hat die Lösung $N(t) = N_0 e^{kt}$ .

$k > 0$ : exponentielles Wachstum. Verdopplungszeit $T = \dfrac{\ln 2}{k}$ .
$k < 0$ : exponentieller Zerfall. Halbwertszeit $T = \dfrac{\ln 2}{|k|}$ .

„Proportional zum Bestand“ heißt: Verdoppelt sich $N$ , verdoppelt sich auch die Änderung $N'$ . Linear wäre $N' = c$ (konstante Änderung), etwa ein Konto nur mit Zinsen ohne Zinseszins in der ganz groben Näherung, oder ein leckender Tank mit konstanter Ausflussrate.

Schritt für Schritt

Probe: $N(t) = N_0 e^{kt}$ erfüllt $N' = kN$

Ableiten und vergleichen.

Kettenregel: $N'(t) = N_0 \cdot k \cdot e^{kt}$ .
$N'(t) = k\, N_0 e^{kt}$

Schritt 1 von 3

Definition

Beschränktes Wachstum

Oft kann $N$ nicht unbegrenzt wachsen: Eine Petrischale wird voll, ein Markt ist gesättigt. Dann ist die Änderung proportional zum noch freien Platz $G - N$ :

$N'(t) = k\bigl(G - N(t)\bigr)$ .

$G$ heißt Grenze oder Kapazität. Ist $N$ weit unter $G$ , wächst es fast mit Rate $kG$ . Näher an $G$ wird $N'$ kleiner, der Graph flacht ab und schmiegt sich an $y = G$ .

Die Lösung ist $N(t) = G - (G - N_0)e^{-kt}$ (für $k > 0$ ). Sie ist keine reine Exponentialfunktion, sondern $G$ minus eine zerfallende Exponentialfunktion.

Beispiel

Halbwertszeit aus $k$

Jod-131 zerfällt mit $N(t) = N_0 e^{-0{,}086\, t}$ , $t$ in Tagen. Die Halbwertszeit erfüllt $e^{-0{,}086\, T} = 1/2$ .

T = \frac{\ln 2}{0{,}086} \approx 8{,}1\text{ Tage}

Nach etwa acht Tagen ist die Hälfte übrig, nach $16$ Tagen ein Viertel. Die relative Rate $k$ ist konstant, die absolute Zerfallsmenge $kN$ wird kleiner.

Kurz geprüft

Welche Differentialgleichung beschreibt „die Temperatur eines Körpers nähert sich der Umgebungstemperatur $20$ , proportional zur Differenz“?

Häufige Fehler

$N' = kN$ mit $N = kt$ verwechseln

$N = kt$ erfüllt $N' = k$ , nicht $N' = kN$ . Lineares Wachstum hat konstante Zuwächse. Exponentielles Wachstum hat Zuwächse, die selbst wachsen.

Auch: Die Verdopplungszeit hängt nur von $k$ ab, nicht von $N_0$ . Wer „das doppelte Kapital braucht die doppelte Zeit“ denkt, verwechselt mit linearem Wachstum.

Richtig ist

$N(t) = N_0 e^{kt}$ . Verdopplung: $e^{kT} = 2$ , $T = \ln 2 / k$ .

Zusammenfassung

$N' = kN$ heißt: relative Änderung konstant. Lösung $N_0 e^{kt}$ .
$k>0$ Wachstum, $k<0$ Zerfall. Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit $\ln 2/|k|$ .
Beschränktes Wachstum: $N' = k(G-N)$ , Lösung nähert sich $G$ .
Eine Differentialgleichung legt die Änderung fest; der Startwert wählt die Kurve aus der Schar.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Löse $N' = 0{,}3 N$ , $N(0) = 10$ .

Aufgabe 2Numerisch

Wie groß ist die Verdopplungszeit (in derselben Zeiteinheit) für $k = \ln 2$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Bei $N' = 2(100 - N)$ ist die Grenze $G$ gleich

Aufgabe 4Freitext

Erkläre, warum lineares Wachstum $N = N_0 + ct$ die Gleichung $N' = kN$ nicht löst (außer in einem trivialen Fall).

Probe: N(t)=N0ektN(t) = N_0 e^{kt}N(t)=N0​ekt erfüllt N′=kNN' = kNN′=kN

Halbwertszeit aus kkk

N′=kNN' = kNN′=kN mit N=ktN = ktN=kt verwechseln

Zusammenfassung

Übungen

Probe: $N(t) = N_0 e^{kt}$ erfüllt $N' = kN$

Halbwertszeit aus $k$

$N' = kN$ mit $N = kt$ verwechseln