Lektion 4.2

Natürliche Logarithmusfunktion

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

den Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens lesen und Gleichungen $a^{x} = b$ damit lösen,
den Graphen von $\ln x$ als an der Winkelhalbierenden gespiegelte $e^{x}$ -Kurve erkennen,
die Ableitung $(\ln x)' = 1/x$ begründen und mit der Kettenregel anwenden,
Logarithmengesetze zum Vereinfachen von Termen und beim Ableiten nutzen.

Ein Kapital wächst nach $K(t) = 1000 \cdot 1{,}05^{t}$ . Die Frage „Wie viel nach $10$ Jahren?“ ist einsetzen. Die umgekehrte Frage ist härter: Wann sind es $2000$ Euro? Man muss $1{,}05^{t} = 2$ nach $t$ auflösen.

Potenzieren packt $t$ in den Exponenten. Das Gegenteil muss $t$ wieder herausholen. Diese Umkehrung heißt Logarithmus. In der Schule schreibt man $\log_b a$ für „der Exponent, mit dem man $b$ potenzieren muss, um $a$ zu erhalten“. Für die Basis $e$ gibt es eine eigene Schreibweise: $\ln a$ , der natürliche Logarithmus.

In dieser Lektion siehst du den Graphen, lernst die Rechenregeln und leitest $\ln x$ ab. Die Ableitung ist überraschend einfach: $1/x$ .

Vermute zuerst

Es gilt $2^{3} = 8$ . Was ist dann $\log_2 8$ ?

Definition

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus $\ln x$ ist der Logarithmus zur Basis $e$ :

$\displaystyle \ln x = y \quad\Longleftrightarrow\quad e^{y} = x$ .

Er ist nur für $x > 0$ definiert. Besondere Werte:

$\ln 1 = 0$ , weil $e^{0} = 1$ ,
$\ln e = 1$ , weil $e^{1} = e$ ,
$\ln e^{a} = a$ und $e^{\ln a} = a$ (für $a > 0$ ).

Die beiden letzten Zeilen sagen: $\ln$ und $e^{\,\cdot\,}$ sind Umkehrfunktionen. Die Graphen entstehen auseinander durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ .

Der Graph von

a\ln(x - d) + e

a

= 1

d

= 0

e

= 0

f(x) = \ln x

$D_f$: x > 0
$f(0)$: nicht definiert
$f(x) = 0$: 0,07

Logarithmus. Definitionsbereich: x > 0. Die gestrichelte senkrechte Linie ist eine senkrechte Asymptote. Symmetrie: auf diesem Fenster nicht zu entscheiden.

Definitionsbereich $x > d$ . Senkrechte Asymptote $x = d$ . Nullstelle dort, wo das Argument $1$ ist: $x = d + e^{0} = d + 1$ für $a = 1$ , $e = 0$ .

Probier es aus

Setze $a = 1$ , $d = 0$ , $e = 0$ . Der Graph kommt von unten aus der $y$ -Achse und wird nach rechts flacher. Er schneidet die $x$ -Achse bei $1$ .
Schieb $d$ auf $2$ . Der ganze Graph wandert nach rechts; die senkrechte Asymptote sitzt bei $x = 2$ .
Setze $a$ negativ. Der Graph wird an der $x$ -Achse gespiegelt: Er kommt von oben.
Vergleiche mit der Exponentialfunktion im Kopf: $e^{x}$ schmiegt sich an die $x$ -Achse, $\ln x$ an die $y$ -Achse. Spiegelung an $y = x$ tauscht die Achsen.

Definition

Logarithmengesetze

Weil $\ln$ die Umkehrung von $e^{\,\cdot\,}$ ist, werden aus den Potenzgesetzen die Logarithmengesetze. Für $u > 0$ , $v > 0$ :

$\ln(uv) = \ln u + \ln v$ (Produkt wird Summe),
$\ln\dfrac{u}{v} = \ln u - \ln v$ (Quotient wird Differenz),
$\ln(u^{r}) = r \ln u$ (Exponent kommt nach vorn).

Damit löst man Wachstumsgleichungen. Aus $1{,}05^{t} = 2$ folgt $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ , also $t = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}2$ Jahre.

Dieselben Regeln gelten für $\log_b$ zu jeder Basis. Umrechnen: $\log_b a = \dfrac{\ln a}{\ln b}$ .

Beispiel

Gleichung $3^{x} = 20$ lösen

Auf beiden Seiten $\ln$ anwenden und das dritte Gesetz nutzen.

\ln(3^{x}) = \ln 20 \quad\Rightarrow\quad x \ln 3 = \ln 20 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2{,}727

Probe: $3^{2{,}727} \approx 20$ . Ohne Taschenrechner lässt man den Term $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ stehen. Wichtig: $\ln(3^{x})$ ist $x \ln 3$ , nicht $(\ln 3)^{x}$ .

Die Ableitung. $e^{x}$ hat die Ableitung $e^{x}$ . Die Umkehrfunktion muss dann eine Ableitung haben, die dazu passt. Anschaulich: Spiegeln an $y = x$ macht aus Steigungen Kehrwerte. Am Punkt $(0 \mid 1)$ von $e^{x}$ ist die Steigung $1$ , der gespiegelte Punkt ist $(1 \mid 0)$ auf dem Graphen von $\ln x$ , und die Steigung dort ist $1/1 = 1$ . Am Punkt $(1 \mid e)$ von $e^{x}$ ist die Steigung $e$ , gespiegelt $(e \mid 1)$ auf $\ln x$ mit Steigung $1/e$ . Allgemein: $(\ln x)' = 1/x$ .

Schritt für Schritt

Ableitung von $\ln x$ aus der Umkehrregel

Ist $g$ die Umkehrfunktion von $f$ , so gilt $g'(x) = 1 / f'(g(x))$ , dort wo die Nenner nicht null sind.

Hier ist $f(u) = e^{u}$ und $g(x) = \ln x$ , also $f(g(x)) = x$ . Die Umkehrregel sagt: Ableitung von $g$ an der Stelle $x$ ist $1$ geteilt durch die Ableitung von $f$ an der Stelle $g(x)$ .

Schritt 1 von 2

Beispiel

Ableiten von $\ln(3x^{2} + 1)$

Innere Funktion $u = 3x^{2} + 1$ , $u' = 6x$ . Der Logarithmus ist für alle $x$ definiert, weil $3x^{2} + 1$ immer positiv ist.

f'(x) = \frac{6x}{3x^{2} + 1}

Kein Betrag, kein Extra-Faktor. Nur $u'/u$ . Probe bei $x = 0$ : $f'(0) = 0$ , und tatsächlich hat $\ln(3x^{2}+1)$ dort ein Minimum (der Graph von $3x^{2}+1$ hat dort sein Minimum $1$ , $\ln 1 = 0$ ).

Kurz geprüft

Wie lautet $f'(x)$ für $f(x) = \ln(2x)$ mit $x > 0$ ?

Die Ableitung von

\ln x

ist

1/x

$x$: 0,5
$f(x)$: −0,693
$f'(x)$: 2

$f$ steigt an dieser Stelle, die Tangente hat die Steigung $2$ . Deshalb liegt der Punkt von $f'$ über der $x$ -Achse.

Links, nahe bei $0$ , ist $\ln x$ steil nach unten, $1/x$ ist dort sehr groß. Rechts ist $\ln x$ fast waagerecht, $1/x$ nahe bei $0$ .

Probier es aus

Der Graph von $\ln x$ startet links steil und wird flach. Zieh den Punkt nach rechts: Die Tangentensteigung wird kleiner.
Bei $x = 1$ muss die Steigung $1$ sein. Stimmt der untere Punkt mit Höhe $1$ überein?
Blende den ganzen Graphen von $f'$ ein. Er sollte wie $1/x$ aussehen: Hyperbelast im ersten Quadranten.

Häufige Fehler

$\ln(a+b)$ zerlegen und $\ln 0$

Es gibt kein Gesetz $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$ . Summe innen bleibt Summe innen. Nur Produkte zerlegen.

$\ln 0$ und $\ln$ von negativen Zahlen sind nicht definiert. In der Rechnung $\ln(x-4)$ muss $x > 4$ bleiben; eine spätere Umformung darf das nicht vergessen.

$(\ln x)' = 1/x$ gilt nur für $x > 0$ . Manche Bücher schreiben $(\ln |x|)' = 1/x$ für $x \neq 0$ ; dann ist auch der linke Ast von $1/x$ eine Ableitung.

Richtig ist

$\ln(uv) = \ln u + \ln v$ , nicht für Summen. Definitionsbereich $x > 0$ bei jedem Schritt mitführen.

Zusammenfassung

$\ln x$ ist der Exponent, mit dem man $e$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten. Umkehrfunktion von $e^{x}$ , Definitionsbereich $x > 0$ .
Graph: senkrechte Asymptote $x = 0$ , Nullstelle $x = 1$ , nach rechts unbegrenzt, aber immer flacher.
Gesetze: Produkt zu Summe, Quotient zu Differenz, Exponent nach vorn. Damit löst man $b^{t} = a$ durch $t = \ln a / \ln b$ .
$(\ln x)' = 1/x$ und $(\ln u)' = u'/u$ für $u > 0$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\ln e^{4}$ .

Aufgabe 2Term eingeben

Bestimme $f'(x)$ für $f(x) = \ln(5x)$ mit $x > 0$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Aussage über $y = \ln x$ ist falsch?

Aufgabe 4Term eingeben

Löse $e^{2x} = 7$ nach $x$ auf.

Aufgabe 5Term eingeben

Bestimme $f'(x)$ für $f(x) = \ln(x^{2} + 1)$ .

Aufgabe 6Freitext

Jemand schreibt $\ln(x^{2}) = 2 \ln x$ und setzt $x = -3$ ein. Warum ist das keine gültige Rechnung, obwohl $(-3)^{2} = 9$ und $\ln 9$ existiert?

Gleichung 3x=203^{x} = 203x=20 lösen

Ableitung von ln⁡x\ln xlnx aus der Umkehrregel

Ableiten von ln⁡(3x2+1)\ln(3x^{2} + 1)ln(3x2+1)

ln⁡(a+b)\ln(a+b)ln(a+b) zerlegen und ln⁡0\ln 0ln0

Zusammenfassung

Übungen

Gleichung $3^{x} = 20$ lösen

Ableitung von $\ln x$ aus der Umkehrregel

Ableiten von $\ln(3x^{2} + 1)$

$\ln(a+b)$ zerlegen und $\ln 0$