Lektion 3.4

Geladene Teilchen im elektrischen Feld

20 min Lesezeit

In einem alten Röhrenfernseher oder einem Oszilloskop trifft ein Elektronenstrahl auf einen Leuchtschirm und erzeugt dort einen hellen Punkt. Elektrische Spannungen lenken den Punkt über den Schirm. Wie schnell sind die Elektronen, und wie lenkt man sie ab? Und wie hat man vor über hundert Jahren die kleinste elektrische Ladung gemessen, obwohl man einzelne Elektronen nicht sehen kann?

Du brauchst dafür $\vec F = q\vec E$ und $E = U/d$ aus den Lektionen davor sowie Energie und Wurfbewegungen aus der Mechanik.

Definition

Kraft auf geladene Teilchen

Ein Teilchen mit der Ladung $q$ und der Masse $m$ erfährt im Feld $\vec E$ die Kraft $\vec F = q\vec E$ . Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt die Beschleunigung. Positive Teilchen werden in Feldrichtung beschleunigt, negative, etwa Elektronen, entgegen der Feldrichtung.

Die Gewichtskraft kann man bei Elektronen und Ionen meist weglassen: Schon bei $E = 10^{4}\,\text{V/m}$ ist die elektrische Kraft auf ein Elektron rund $10^{14}$ -mal so groß wie seine Gewichtskraft.

\vec a = \frac{q\,\vec E}{m}

Beispiel

Beschleunigung eines Elektrons

Ein Elektron ( $m = 9{,}109\cdot10^{-31}\,\text{kg}$ , $q = -e = -1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{C}$ ) befindet sich in einem homogenen Feld mit $E = 5{,}0\cdot10^{4}\,\text{V/m}$ . Wie groß ist die Beschleunigung, und wie verhält sich die elektrische Kraft zur Gewichtskraft?

Der Betrag der Kraft ist $F = eE = 1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot5{,}0\cdot10^{4}\,\text{V/m} \approx 8{,}0\cdot10^{-15}\,\text{N}$ . Die Beschleunigung ist $a = F/m = 8{,}0\cdot10^{-15}/9{,}109\cdot10^{-31}\,\text{m/s}^2 \approx 8{,}8\cdot10^{15}\,\text{m/s}^2$ , entgegen der Feldrichtung. Die Gewichtskraft ist $mg \approx 9{,}109\cdot10^{-31}\cdot9{,}81\,\text{N} \approx 8{,}9\cdot10^{-30}\,\text{N}$ , rund $10^{15}$ -mal kleiner.

Definition

Längsfeld, Energiebetrachtung und Beschleunigungsspannung

Läuft ein Teilchen im homogenen Feld parallel zu den Feldlinien (Längsfeld), ist die Kraft konstant und die Bewegung gleichmäßig beschleunigt. Einfacher gelingt die Rechnung mit der Energie: Beim Durchlaufen der Spannung $U$ verrichtet das Feld die Arbeit $W = qU$ . Sie wird zu kinetischer Energie. Startet das Teilchen aus der Ruhe, gilt $\frac12 mv^2 = qU$ . Hier ist $U$ die Beschleunigungsspannung und $q$ der Betrag der Ladung.

Das Ergebnis hängt nur von $qU$ und $m$ ab, nicht vom Plattenabstand, und gilt auch in nicht homogenen Feldern. Es gilt nicht mehr, wenn die Geschwindigkeit nahe an die Lichtgeschwindigkeit kommt: Bei Elektronen bleibt die Abweichung bis etwa 5 kV unter 1 %.

v = \sqrt{\frac{2\,q\,U}{m}}

Beispiel

Geschwindigkeit nach 300 V

Ein Elektron startet in Ruhe und durchläuft $U = 300\,\text{V}$ . Wie schnell ist es? Wie schnell wäre ein Proton ( $m = 1{,}673\cdot10^{-27}\,\text{kg}$ ) nach derselben Spannung?

Elektron: $qU = 1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{C}\cdot300\,\text{V} = 4{,}81\cdot10^{-17}\,\text{J}$ . Dann ist $v = \sqrt{2\cdot4{,}81\cdot10^{-17}/9{,}109\cdot10^{-31}}\,\text{m/s} \approx 1{,}03\cdot10^{7}\,\text{m/s}$ , etwa 3,4 % der Lichtgeschwindigkeit. Das Proton gewinnt dieselbe Energie, hat aber rund 1836-mal mehr Masse: $v \approx 2{,}4\cdot10^{5}\,\text{m/s}$ , also etwa 43-mal langsamer.

Definition

Elektronenvolt

Ein Elektronenvolt (eV) ist die Energie, die ein Teilchen mit der Ladung $e$ beim Durchlaufen von $1\,\text{V}$ gewinnt. In der Atom- und Teilchenphysik ist das Joule unhandlich groß. Ein Teilchen der Ladung $q = n\,e$ gewinnt bei der Spannung $U$ die Energie $n\cdot U$ in eV: Ein Elektron durch $300\,\text{V}$ hat $300\,\text{eV}$ , ein Heliumkern (Ladung $2e$ ) durch dieselbe Spannung $600\,\text{eV}$ . Umrechnung: $300\,\text{eV} = 300\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J} \approx 4{,}8\cdot10^{-17}\,\text{J}$ .

1\,\text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}

Definition

Millikan-Versuch

Millikan zerstäubte Öl, sodass Tröpfchen durch Reibung geladen in einen Plattenkondensator fielen, und beobachtete sie mit dem Mikroskop. Die Masse eines Tröpfchens ergibt sich aus der Sinkgeschwindigkeit ohne Feld (Luftreibung). Dann stellt man die Spannung so ein, dass das Tröpfchen schwebt: $qE = mg$ (der Auftrieb in Luft ist so klein, dass man ihn weglässt). Mit $E = U/d$ folgt die Ladung.

Ergebnis: Alle gemessenen Ladungen waren ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladung, der Elementarladung $e = 1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{C}$ . Ladung ist damit quantisiert.

q = \frac{m\,g\,d}{U}

Beispiel

Ein schwebendes Öltröpfchen

Ein Tröpfchen der Masse $2{,}94\cdot10^{-15}\,\text{kg}$ (angenommen) schwebt im Plattenkondensator bei $U = 600\,\text{V}$ und $d = 1{,}00\,\text{cm}$ . Welche Ladung trägt es, und wie viele Elementarladungen sind das?

$q = mgd/U = 2{,}94\cdot10^{-15}\,\text{kg}\cdot9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot0{,}0100\,\text{m}/600\,\text{V} \approx 4{,}81\cdot10^{-19}\,\text{C}$ . Geteilt durch $e$ ergibt das $4{,}81\cdot10^{-19}/1{,}602\cdot10^{-19} = 3{,}00$ . Das Tröpfchen trägt also drei Elementarladungen. Da die Kraft nach oben zeigen muss, ist es negativ geladen, wenn die obere Platte positiv ist.

Definition

Querfeld und Elektronenstrahlröhre

Tritt ein Teilchen mit der Geschwindigkeit $v_0$ senkrecht zu den Feldlinien in einen Plattenkondensator ein (Querfeld), gleicht die Bewegung dem waagerechten Wurf. Parallel zu den Platten wirkt keine Kraft, $v_x = v_0$ bleibt konstant. Senkrecht dazu wirkt die konstante Kraft $qE$ , also die Beschleunigung $a = qE/m$ . Die Bahn im Feld ist eine Parabel, nach dem Verlassen des Feldes fliegt das Teilchen geradlinig weiter. Die Ablenkung ist größer bei stärkerem Feld, langsameren Teilchen und längeren Platten.

In der Elektronenstrahlröhre (Braunschen Röhre) gibt eine Glühkathode Elektronen ab. Die Beschleunigungsspannung $U_B$ beschleunigt sie im Längsfeld, danach laufen sie zwischen zwei Ablenkplatten (Querfeld mit der Spannung $U_A$ ) und treffen einen Leuchtschirm. Das Rohr ist luftleer, damit die Elektronen nicht stoßen. Elektronenstrahlröhren arbeiten mit Hochspannung: Nur die Lehrkraft führt Versuche vor.

Nur im Leistungskurs (erhöhtes Niveau): quantitative Bahnform. Mit $x = v_0 t$ und $y = \frac12 a t^2$ folgt $y(x) = \frac{qE}{2mv_0^2}x^2$ . Wurde das Teilchen zuvor mit $U_B$ beschleunigt, ist $v_0^2 = 2qU_B/m$ , und mit $E = U_A/d$ ergibt sich $y(x) = \frac{U_A}{4\,d\,U_B}\,x^2$ . Ladung und Masse kürzen sich: Teilchen gleichen Vorzeichens mit derselben Beschleunigungsspannung laufen auf derselben Bahn. Am Plattenende ( $x = l$ ) ist $y_1 = \frac{U_A\,l^2}{4\,d\,U_B}$ und die Steigung $\tan\alpha = \frac{U_A\,l}{2\,d\,U_B}$ . Die Verlängerung der Austrittsgeraden trifft die Mittelachse in der Plattenmitte. Im Abstand $L$ hinter dem Plattenende ist die Ablenkung daher $y_S = \tan\alpha\,\left(\frac{l}{2} + L\right)$ .

Beispiel

Ablenkung am Schirm (Leistungskurs)

In einer Elektronenstrahlröhre ist $U_B = 1000\,\text{V}$ und $U_A = 100\,\text{V}$ . Die Ablenkplatten sind $l = 6{,}0\,\text{cm}$ lang und $d = 2{,}0\,\text{cm}$ voneinander entfernt. Der Schirm steht $L = 16\,\text{cm}$ hinter dem Plattenende. Wie groß ist die Ablenkung am Plattenende und am Schirm?

Am Plattenende: $y_1 = \frac{100\cdot0{,}060^2}{4\cdot0{,}020\cdot1000}\,\text{m} = \frac{0{,}36}{80}\,\text{m} = 4{,}5\,\text{mm}$ . Das ist weniger als der halbe Plattenabstand (10 mm), das Elektron trifft die Platte nicht. Die Steigung ist $\tan\alpha = \frac{100\cdot0{,}060}{2\cdot0{,}020\cdot1000} = 0{,}15$ , also $\alpha \approx 8{,}5^\circ$ . Am Schirm: $y_S = 0{,}15\cdot(0{,}030\,\text{m} + 0{,}16\,\text{m}) = 0{,}0285\,\text{m} = 2{,}85\,\text{cm}$ .

Elektronenstrahl im Ablenkkondensator

Beschleunigungsspannung

U_B

1,00 kV

Ablenkspannung

U_A

60,0 V

Elektronenstrahl: Geschwindigkeit 18,8 Mm/s, Ablenkung am Schirm 1,71 cm.

Im Werkzeug öffnen

Stelle den Regler "Beschleunigungsspannung" auf 1000 V und den Regler "Ablenkspannung" auf 100 V: Die Ablenkung am Schirm beträgt 2,85 cm wie im Beispiel. Vergrößere dann die Beschleunigungsspannung. Die Geschwindigkeit steigt, die Ablenkung sinkt. Vergrößere die Ablenkspannung: Die Ablenkung wächst.

Häufige Fehler

Die Geschwindigkeit hängt vom Plattenabstand ab

„Bei gleicher Beschleunigungsspannung wird ein Teilchen schneller, wenn die Platten näher beieinander stehen, weil das Feld dann stärker ist.“

Richtig ist

Das Feld ist stärker, aber der Weg kürzer. Die Arbeit $W = qU$ hängt nur von der Spannung ab, nicht vom Abstand. Deshalb ist die Endgeschwindigkeit $v = \sqrt{2qU/m}$ in beiden Fällen gleich.

Zusammenfassung

Auf ein Teilchen mit Ladung $q$ wirkt $\vec F = q\vec E$ , die Beschleunigung ist $a = qE/m$ . Die Gewichtskraft ist meist vernachlässigbar.
Im Längsfeld gilt der Energiesatz $\frac12 mv^2 = qU$ , also $v = \sqrt{2qU/m}$ mit der Beschleunigungsspannung $U$ .
Ein Elektronenvolt ist $1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}$ , die Energie, die ein Teilchen mit Ladung $e$ bei $1\,\text{V}$ gewinnt.
Im Millikan-Versuch schwebt ein Öltröpfchen bei $qE = mg$ . Die Ladungen sind ganzzahlige Vielfache von $e$ .
Im Querfeld bewegt sich das Teilchen wie beim waagerechten Wurf auf einer Parabel. Danach fliegt es geradlinig weiter.
Leistungskurs: $y = \frac{U_A}{4dU_B}x^2$ , unabhängig von Ladung und Masse. In der Elektronenstrahlröhre lenkt $U_A$ den Strahl ab.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Elektron startet in Ruhe und durchläuft 100 V. Wie schnell ist es danach, in Millionen m/s? Rechne mit e = 1,602·10^-19 C und m = 9,109·10^-31 kg.

Aufgabe 2Numerisch

Ein Heliumkern (Ladung 2e) startet in Ruhe und durchläuft 5,0 kV. Welche kinetische Energie hat er danach, in keV?

Aufgabe 3Multiple Choice

Die Beschleunigungsspannung für Elektronen wird vervierfacht. Wie ändert sich die Endgeschwindigkeit?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Öltröpfchen mit der Masse 1,63·10^-15 kg schwebt im Plattenkondensator bei 1000 V und 2,0 cm Plattenabstand. Wie viele Elementarladungen (e = 1,602·10^-19 C) trägt es? Rechne mit g = 9,81 m/s².

Aufgabe 5Freitext

Ein Elektron und ein Proton durchlaufen dieselbe Beschleunigungsspannung aus der Ruhe. Vergleiche ihre Energien und ihre Geschwindigkeiten nach dem Durchlaufen und begründe.

Aufgabe 6Numerisch

Leistungskurs: In einer Elektronenstrahlröhre ist U_B = 500 V und U_A = 100 V. Die Platten sind 6,0 cm lang und 2,0 cm voneinander entfernt. Wie groß ist die Ablenkung am Plattenende, in Millimetern?