Lektion 4.5

Selbstinduktion, Induktivität und Induktionsgesetz in differenzieller Form

19 min Lesezeit

Unterbricht man einen Stromkreis mit einer großen Spule, zum Beispiel mit einem Relais oder einer Zündspule, springt am Schalter ein Funke über, obwohl nur wenige Volt anliegen. Schaltet man die Spule ein, steigt der Strom nur langsam an: Eine Glühlampe in Reihe mit einer Spule mit Eisenkern leuchtet nach dem Einschalten verzögert auf.

Die Spule scheint sich gegen jede Änderung des Stroms zu wehren. Warum ist das so, wie beschreibt man es genau, und wie viel Energie steckt in der Spule?

Definition

Induktionsgesetz in differenzieller Form

In der Lektion zur Induktion stand der Differenzenquotient $\Delta\Phi/\Delta t$ , die mittlere Änderungsrate des Flusses. Zu jedem Zeitpunkt $t$ zählt die momentane Änderungsrate: der Grenzwert für $\Delta t \to 0$ , also die Ableitung nach der Zeit, geschrieben $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ oder $\dot{\Phi}$ . Das Induktionsgesetz in differenzieller Form lautet:

U_{\text{ind}}(t) = -N\,\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -N\,\dot{\Phi}(t)

Beispiel

Mittlere und momentane Spannung

Durch eine Spule mit $N = 10$ Windungen verläuft der Fluss $\Phi(t) = a\,t^2$ mit $a = 0{,}020\,\text{Wb/s}^2$ . Wie groß ist die Induktionsspannung (Betrag) zur Zeit $t = 0{,}50\,\text{s}$ , und wie groß ist die mittlere Spannung von 0 bis 0,50 s?

|U(t)| = N\,\dot{\Phi} = 10 \cdot 2a\,t = 0{,}40\,\tfrac{\text{V}}{\text{s}} \cdot t \;\Rightarrow\; |U(0{,}50\,\text{s})| = 0{,}20\,\text{V}

Die Ableitung von $a t^2$ ist $2at$ . Die mittlere Spannung folgt aus dem Differenzenquotienten: $\Delta\Phi = 0{,}020 \cdot 0{,}50^2\,\text{Wb} = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$ , also $10 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb} / 0{,}50\,\text{s} = 0{,}10\,\text{V}$ . Das ist die Hälfte des Augenblickswerts am Ende, denn die Spannung wächst linear von 0 auf 0,20 V.

Definition

Selbstinduktion und Induktivität

Fließt in einer Spule der Strom $I$ , durchsetzt ihr eigenes Feld ihre Windungen mit dem Gesamtfluss $N\Phi$ . Ändert sich $I$ , ändert sich $N\Phi$ , und in der Spule selbst wird eine Spannung induziert: Selbstinduktion. Nach Lenz wirkt sie der Stromänderung entgegen.

Solange das Feld proportional zum Strom ist (ohne Eisen immer, mit Eisen näherungsweise unterhalb der Sättigung), gilt $N\Phi = L\,I$ . Die Konstante $L$ heißt Induktivität der Spule. Ihre Einheit ist $1\,\text{H} = 1\,\text{Vs/A}$ (Henry). Mit $U_{\text{ind}} = -\mathrm{d}(N\Phi)/\mathrm{d}t$ ergibt sich die Selbstinduktionsspannung:

L = \frac{N\,\Phi}{I}, \qquad U_{\text{ind}} = -L\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

Beispiel

Induktivität einer langen Spule

Eine lange Spule hat 1000 Windungen, die Länge 0,40 m und die Querschnittsfläche 10 cm², zunächst ohne Kern. Berechne $L$ . Wie groß ist $L$ mit einem Eisenkern ( $\mu_r = 500$ )? Welche Spannung wird ohne Kern induziert, wenn der Strom mit 250 A/s ansteigt?

L = \mu_0\,\frac{N^2 A}{l} = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot \frac{1000^2 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^2}{0{,}40\,\text{m}} = 3{,}1\,\text{mH}

Herleitung der Formel: Mit $B = \mu_0 N I/l$ und $\Phi = B A$ ist $L = N\Phi/I = \mu_0 N^2 A/l$ . Die Windungszahl geht quadratisch ein: Mehr Windungen erzeugen mehr Fluss, und jede wird von mehr Fluss durchsetzt. Mit Eisenkern wird $L$ um $\mu_r$ größer: $L = 500 \cdot 3{,}14\,\text{mH} = 1{,}6\,\text{H}$ . Die Spannung ohne Kern ist $|U_{\text{ind}}| = L\,\dot{I} = 3{,}14 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot 250\,\text{A/s} = 0{,}79\,\text{V}$ .

Definition

Ein- und Ausschaltvorgänge

Eine Spule mit der Induktivität $L$ und dem Widerstand $R$ (der Wicklung oder in Reihe) wird an die Gleichspannung $U_0$ geschaltet. Die Spannungen an $R$ und an $L$ ergeben zusammen $U_0$ : $U_0 = R\,I + L\,\dot{I}$ . Mit der Zeitkonstante $\tau = L/R$ löst das der Strom $I(t) = \frac{U_0}{R}(1 - e^{-t/\tau})$ . Probe: Es ist $L\dot{I} = U_0\,e^{-t/\tau}$ und $R I = U_0 - U_0\,e^{-t/\tau}$ , die Summe ist $U_0$ . Der Strom steigt, wie die Spannung beim Laden eines Kondensators, exponentiell auf den Endwert $U_0/R$ . Nach $\tau$ hat er etwa 63 % davon erreicht, nach $5\tau$ etwa 99 %.

Beim Ausschalten über einen Widerstand sinkt der Strom nach $I(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$ . Der Strom kann nie springen, denn dann wäre $\dot{I}$ und damit $U_{\text{ind}}$ unendlich groß. Öffnet man dagegen einen Schalter in einem Stromkreis ohne Nebenweg, fällt $I$ in sehr kurzer Zeit auf null. $L|\dot{I}|$ wird sehr groß, und am Schalter springt ein Funke über: Abschaltinduktion.

I_{\text{ein}}(t) = \frac{U_0}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad I_{\text{aus}}(t) = I_0\,e^{-t/\tau}

Beispiel

Einschalten einer Spule

Eine Spule mit $L = 0{,}20\,\text{H}$ und $R = 10\,\Omega$ wird an $U_0 = 12\,\text{V}$ geschaltet. Berechne Endstrom, Zeitkonstante, den Strom nach einer Zeitkonstante und die Zeit, bis 90 % des Endstroms erreicht sind.

I_\infty = \frac{U_0}{R} = 1{,}2\,\text{A}, \quad \tau = \frac{L}{R} = 20\,\text{ms}, \quad I(\tau) = 0{,}63 \cdot 1{,}2\,\text{A} = 0{,}76\,\text{A}

Für 90 % gilt $1 - e^{-t/\tau} = 0{,}9$ , also $e^{-t/\tau} = 0{,}1$ und $t = \tau \ln 10 = 0{,}020\,\text{s} \cdot 2{,}30 = 46\,\text{ms}$ .

Definition

Energie des Magnetfeldes der Spule

Beim Einschalten arbeitet die Quelle gegen die Selbstinduktionsspannung. Die Leistung dafür ist $P = |U_{\text{ind}}|\,I = L\,I\,\dot{I}$ . Bis der Strom den Wert $I$ erreicht hat, summiert sich die Arbeit zu $W = \int_0^I L\,i\,\mathrm{d}i$ . Sie bleibt im Magnetfeld der Spule gespeichert und wird beim Abschalten wieder frei:

W = \tfrac{1}{2}\,L\,I^2

Beispiel

Energie und Abschaltspannung

Die Spule aus dem Einschaltbeispiel ( $L = 0{,}20\,\text{H}$ ) führt $I_0 = 1{,}2\,\text{A}$ . Der Schalter öffnet, und der Strom fällt (angenommen gleichmäßig) in 0,10 ms auf null. Wie groß sind die gespeicherte Energie und die induzierte Spannung?

W = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}20\,\text{H} \cdot (1{,}2\,\text{A})^2 = 0{,}14\,\text{J}, \qquad |U_{\text{ind}}| = L\,\frac{\Delta I}{\Delta t} = 0{,}20\,\text{H} \cdot \frac{1{,}2\,\text{A}}{1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{s}} = 2400\,\text{V}

Die Quelle liefert nur 12 V, die Selbstinduktion aber kurz 2400 V. Das reicht für einen Funken, in dem die 0,14 J als Wärme und Licht frei werden. Bei der langen Spule steckt die Energie im Feld mit der Energiedichte $w = B^2/(2\mu_0)$ : Das ergibt $W = w \cdot A\,l$ . Bei $B = 1{,}5\,\text{T}$ sind das etwa $0{,}9\,\text{MJ}$ je Kubikmeter.

Definition

Wirbelströme

In einem massiven Metallstück, dessen Fluss sich ändert oder das sich im Magnetfeld bewegt, werden Spannungen induziert, die in sich geschlossene Ströme antreiben: Wirbelströme. Nach Lenz bremsen sie die Bewegung, die sie erzeugt, und ihre Energie wird in Wärme umgesetzt. Man nutzt sie in Wirbelstrombremsen und im Induktionskochfeld, das den Topfboden erhitzt. Sie schaden als Wärmeverluste in Transformatorkernen und Motoren. Dort besteht das Eisen aus dünnen, gegeneinander isolierten Blechen, oder das Metall wird geschlitzt, damit die Wirbel klein bleiben.

Waltenhofensches Pendel

Aufbau

Flussdichte

B

500 mT

Am Pendel: Auslenkung 40,1°, in Wärme umgesetzt 0 J.

Im Werkzeug öffnen

Wähle bei "Versuch" nacheinander "ohne Magnet", "massive Platte" und "geschlitzt". Jedes Mal startet das Pendel neu. Vergleiche, wie schnell die Auslenkung abnimmt und wie viel Energie unter der Zeichnung als Wärme angegeben wird. Erhöhe bei der massiven Platte die "Flussdichte": Die Bremswirkung wächst.

Häufige Fehler

Die Spule hält den Strom bei null

„Die Selbstinduktion verhindert, dass beim Einschalten Strom durch die Spule fließt.“

Richtig ist

Sie verzögert nur die Änderung. Der Strom steigt nach $I = (U_0/R)(1 - e^{-t/\tau})$ auf den Endwert $U_0/R$ . Im stationären Zustand ist $\dot{I} = 0$ , also $U_{\text{ind}} = 0$ , und nur der ohmsche Widerstand begrenzt den Strom.

Häufige Fehler

Die Spulenenergie verschwindet beim Abschalten

„Beim Ausschalten ist der Strom weg, und die Energie $\tfrac{1}{2} L I^2$ ist es auch.“

Richtig ist

Die Energie wird frei, etwa im Funken am Schalter, als Wärme in einem Widerstand oder in einer Glimmlampe. Dabei kann die Spannung ein Vielfaches der Betriebsspannung erreichen.

Zusammenfassung

Das Induktionsgesetz in differenzieller Form lautet $U_{\text{ind}} = -N\,\dot{\Phi}$ , mit der momentanen Änderungsrate des Flusses.
Ändert sich der Strom in einer Spule, induziert sie sich selbst: $U_{\text{ind}} = -L\,\dot{I}$ mit der Induktivität $L = N\Phi/I$ in Henry.
Die lange Spule hat $L = \mu_r\,\mu_0\,N^2 A/l$ .
Beim Einschalten steigt der Strom exponentiell auf $U_0/R$ , mit der Zeitkonstante $\tau = L/R$ . Beim Abschalten fällt er mit $e^{-t/\tau}$ .
Das Magnetfeld der Spule speichert die Energie $W = \tfrac{1}{2} L I^2$ . Sie wird beim Abschalten frei und kann einen Funken erzeugen.
Wirbelströme in massiven Leitern bremsen und erwärmen. Lamellen oder Schlitze halten sie klein.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine lange Spule ohne Kern hat 800 Windungen, die Länge 0,20 m und die Querschnittsfläche 5,0 cm². Wie groß ist ihre Induktivität in mH?

Aufgabe 2Numerisch

Durch eine Spule mit L = 0,50 H steigt der Strom gleichmäßig in 0,040 s von 0 auf 2,0 A. Wie groß ist die Selbstinduktionsspannung in V (Betrag)?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Spule mit L = 0,40 H führt 3,0 A. Wie viel Energie in J ist in ihrem Magnetfeld gespeichert?

Aufgabe 4Numerisch

Der Fluss durch eine Spule mit 200 Windungen ist Φ(t) = 1,0 mWb · sin(2π · 50 Hz · t). Wie groß ist der Scheitelwert der Induktionsspannung in V?

Aufgabe 5Multiple Choice

Warum besteht der Eisenkern eines Transformators aus dünnen, gegeneinander isolierten Blechen?

Aufgabe 6Freitext

Eine Spule liegt mit einem Schalter an einer Batterie von 12 V. Erkläre, warum beim Öffnen des Schalters am Schalter ein Funke überspringen kann.