Wellenoptik: Doppelspalt, Gitter und Spektrum
Auf der Rückseite einer CD schillert das Licht in allen Farben, obwohl dort keine Farbe aufgetragen ist. Eine Seifenblase zeigt wandernde Farbstreifen, und ein Regenbogen entsteht aus weißem Sonnenlicht. Fällt das Licht eines roten Lasers auf zwei sehr enge Spalte, erscheinen auf der Wand viele helle und dunkle Streifen, wie bei den Wasserwellen in der Wellenwanne.
Daran zeigt sich, dass Licht interferiert. Du lernst, die Lage der Streifen zu berechnen, damit die Wellenlänge von Licht zu messen und die Farben des weißen Lichts zu erklären.
Interferenz am Doppelspalt
Paralleles, einfarbiges (monochromatisches) Licht fällt senkrecht auf zwei sehr schmale Spalte mit dem Abstand . Nach Huygens wird jeder Spalt zum Ausgangspunkt einer Elementarwelle, und die beiden Wellen sind kohärent, weil sie aus derselben Lichtquelle stammen. Auf einem Schirm im Abstand laufen die Strahlen zu einem Punkt unter dem Winkel praktisch parallel. Dann beträgt der Gangunterschied .
Helle Streifen (Maxima) liegen bei ( ist die Ordnung), dunkle Streifen (Minima) bei . Auf dem Schirm liegt das Maximum der Ordnung im Abstand von der Mitte mit . Für kleine Winkel ist , und die Streifen haben gleiche Abstände .
Wellenlänge am Doppelspalt bestimmen
Wellenlänge am Doppelspalt bestimmen
Ein Doppelspalt mit steht vor dem Schirm. Zwischen dem zentralen Maximum und dem Maximum der 3. Ordnung messen wir . Wie groß ist ?
Die Winkel sind klein: (etwa ). Daher gilt und . Das ist rotes Licht.
Beugungsgitter
Ein Beugungsgitter hat sehr viele () gleich breite, parallele Spalte im festen Abstand , der Gitterkonstanten. Auf einem Gitter mit 600 Strichen pro Millimeter ist . Die Maxima liegen an derselben Stelle wie beim Doppelspalt, denn der Gangunterschied benachbarter Spalte ist wieder , und alle Spalte verstärken sich, wenn dieser beträgt. Mit mehr Spalten werden die Maxima aber viel schmaler und heller, weil schon bei kleinen Abweichungen vom Maximum viele Wellen sich auslöschen. Dadurch kann man den Winkel sehr genau messen.
Beim Gitter sind die Winkel oft groß. Dann nimmt man nicht die Kleinwinkelnäherung, sondern rechnet mit . Es gibt nur Maxima mit , also nur Ordnungen .
Maxima eines Gitters
Maxima eines Gitters
Ein Gitter mit 600 Strichen pro Millimeter wird mit grünem Laserlicht () bestrahlt. Unter welchem Winkel liegt das Maximum 1. Ordnung, und wie viele Ordnungen gibt es auf jeder Seite?
Es ist . Für die 1. Ordnung gilt , also . Es muss sein, also ist die höchste Ordnung . Für sie gilt und . Auf jeder Seite des Mittelmaximums liegen drei Maxima, insgesamt sieben.
Spektrum weißen Lichts und Dispersion
Weißes Licht ist eine Mischung aus allen Wellenlängen des sichtbaren Bereichs. Am Gitter ist das Maximum 0. Ordnung weiß, denn für stimmt der Gangunterschied bei jeder Wellenlänge. In jeder höheren Ordnung entsteht ein Spektrum: Wegen wird langwelliges (rotes) Licht stärker abgelenkt als kurzwelliges (violettes). Das Violett liegt innen, das Rot außen. Am Doppelspalt erscheinen mit weißem Licht nur wenige farbige Säume.
Bei einem Glasprisma beruht die Zerlegung auf der Dispersion: Die Brechzahl des Glases (Verhältnis von im Vakuum zu im Glas) hängt von der Wellenlänge ab, und blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes. Im Stoff ist kleiner, und nach der Lektion zu Wellen ist die Wellenlänge dort . Die Reihenfolge ist beim Prisma deshalb umgekehrt wie am Gitter. Auch der Regenbogen entsteht durch Dispersion in Regentropfen. Misst man am Gitter die Winkel der Linien, kann man damit die Wellenlängen einer Lichtquelle bestimmen (Spektrometer).
Polarisation von Licht
Ein Polarisationsfilter lässt nur Licht durch, dessen elektrisches Feld in einer bestimmten Richtung schwingt. Fällt unpolarisiertes Licht darauf, ist das Licht dahinter linear polarisiert und halb so hell. Ein zweiter Filter (der Analysator) lässt dieses Licht durch, wenn seine Richtung gleich ist, und sperrt es, wenn die Richtung um gedreht ist. Himmelslicht und von Wasser reflektiertes Licht sind teilweise polarisiert. Darum filtert eine Polarisationsbrille Spiegelungen auf Wasser weg.
Farben an dünnen Schichten
Auf einer Seifenhaut oder einem Ölfilm wird Licht an der Vorderseite und an der Rückseite reflektiert. Die beiden Teilwellen interferieren. Die Schicht hat die Dicke und die Brechzahl . Bei senkrechtem Einfall legt die zweite Welle den Weg mehr zurück. Auf diesem Weg passen Wellenlängen, der Gangunterschied beträgt also . Hinzu kommt ein Phasensprung von an der Vorderseite, weil das Licht dort auf ein Medium mit größerer Brechzahl trifft (wie beim festen Seilende). An der Rückseite gibt es keinen. Das reflektierte Licht wird bei verstärkt und bei ausgelöscht. Bei weißem Licht bleiben deshalb nur bestimmte Farben übrig, und wechselnde Dicke ergibt wechselnde Farben.
Mehr Spalte verschieben die Maxima
Mehr Spalte verschieben die Maxima
„Mit mehr Spalten liegen die Maxima weiter außen oder enger beieinander.“
Die Lage der Maxima hängt nur von , und der Ordnung ab, nicht von der Spaltzahl . Mit größerem werden die Maxima schmaler und heller.
Prisma und Gitter lenken Rot gleich ab
Prisma und Gitter lenken Rot gleich ab
„Rotes Licht wird am Prisma und am Gitter jeweils am stärksten abgelenkt.“
Am Prisma wird Violett am stärksten abgelenkt, denn die Brechzahl ist für kurze Wellenlängen größer. Am Gitter wird Rot am stärksten abgelenkt, denn wächst mit der Wellenlänge.
Zusammenfassung
Am Doppelspalt gilt für die Maxima und für die Minima . Für kleine Winkel ist .
Aus dem Streifenabstand folgt die Wellenlänge: .
Ein Gitter mit vielen Spalten hat Maxima an denselben Stellen, aber schmaler und heller. Es gibt nur Ordnungen mit .
Weißes Licht gibt am Gitter in jeder Ordnung ein Spektrum, Violett innen, Rot außen. Am Prisma beruht die Zerlegung auf der Dispersion, Violett wird dort am stärksten abgelenkt.
Ein Polarisationsfilter macht unpolarisiertes Licht linear polarisiert und halbiert die Helligkeit.
An dünnen Schichten interferieren die an Vorder- und Rückseite reflektierten Wellen. Dabei bleiben nur bestimmte Farben übrig.
Übungen
Ein Doppelspalt mit d = 0,10 mm steht 3,0 m vor dem Schirm. Der Abstand benachbarter heller Streifen beträgt 18 mm. Wie groß ist die Wellenlänge in nm?
Ein Gitter hat 500 Striche pro Millimeter. Rotes Licht mit 650 nm fällt senkrecht darauf. Unter welchem Winkel liegt das Maximum 1. Ordnung (in Grad, auf Zehntel gerundet)?
Weißes Licht fällt auf ein Gitter. Was sieht man im Maximum 1. Ordnung?
Ein Gitter hat die Gitterkonstante 2,0 µm. Licht mit 600 nm fällt senkrecht auf das Gitter. Wie viele Maxima gibt es insgesamt, das mittlere eingeschlossen?
Eine Seifenhaut (Brechzahl 1,33) ist 300 nm dick. Bei welcher Wellenlänge im sichtbaren Bereich wird das reflektierte Licht verstärkt, in nm? Rechne mit 2·n·d = (k + 1/2)·λ.
Erkläre, warum man mit einem Gitter die Wellenlänge genauer messen kann als mit einem Doppelspalt.