Lektion 7.1

Wellenoptik: Doppelspalt, Gitter und Spektrum

17 min Lesezeit

Auf der Rückseite einer CD schillert das Licht in allen Farben, obwohl dort keine Farbe aufgetragen ist. Eine Seifenblase zeigt wandernde Farbstreifen, und ein Regenbogen entsteht aus weißem Sonnenlicht. Fällt das Licht eines roten Lasers auf zwei sehr enge Spalte, erscheinen auf der Wand viele helle und dunkle Streifen, wie bei den Wasserwellen in der Wellenwanne.

Daran zeigt sich, dass Licht interferiert. Du lernst, die Lage der Streifen zu berechnen, damit die Wellenlänge von Licht zu messen und die Farben des weißen Lichts zu erklären.

Definition

Interferenz am Doppelspalt

Paralleles, einfarbiges (monochromatisches) Licht fällt senkrecht auf zwei sehr schmale Spalte mit dem Abstand dd. Nach Huygens wird jeder Spalt zum Ausgangspunkt einer Elementarwelle, und die beiden Wellen sind kohärent, weil sie aus derselben Lichtquelle stammen. Auf einem Schirm im Abstand a≫da \gg d laufen die Strahlen zu einem Punkt unter dem Winkel α\alpha praktisch parallel. Dann beträgt der Gangunterschied Δs=d⋅sin⁡α\Delta s = d \cdot \sin\alpha.

Helle Streifen (Maxima) liegen bei Δs=k λ\Delta s = k\,\lambda (k=0,±1,±2,…k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots ist die Ordnung), dunkle Streifen (Minima) bei Δs=(k+12) λ\Delta s = (k + \tfrac{1}{2})\,\lambda. Auf dem Schirm liegt das Maximum der Ordnung kk im Abstand yky_k von der Mitte mit tan⁡αk=yk/a\tan\alpha_k = y_k / a. Für kleine Winkel ist sin⁡α≈tan⁡α\sin\alpha \approx \tan\alpha, und die Streifen haben gleiche Abstände Δy=λa/d\Delta y = \lambda a / d.

d⋅sin⁡αk=k λ,yk≈k λ add \cdot \sin\alpha_k = k\,\lambda, \qquad y_k \approx k\,\frac{\lambda\,a}{d}
Beispiel

Wellenlänge am Doppelspalt bestimmen

Ein Doppelspalt mit d=0,20 mmd = 0{,}20\,\text{mm} steht a=2,50 ma = 2{,}50\,\text{m} vor dem Schirm. Zwischen dem zentralen Maximum und dem Maximum der 3. Ordnung messen wir 24,0 mm24{,}0\,\text{mm}. Wie groß ist λ\lambda?

Die Winkel sind klein: tan⁡α3=24,0:2500=0,0096\tan\alpha_3 = 24{,}0 : 2500 = 0{,}0096 (etwa 0,55∘0{,}55^\circ). Daher gilt y3=3 λa/dy_3 = 3\,\lambda a / d und λ=d y3/(3a)=0,20⋅10−3 m⋅24,0⋅10−3 m:(3⋅2,50 m)=6,4⋅10−7 m=640 nm\lambda = d\,y_3 / (3a) = 0{,}20 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot 24{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : (3 \cdot 2{,}50\,\text{m}) = 6{,}4 \cdot 10^{-7}\,\text{m} = 640\,\text{nm}. Das ist rotes Licht.

Definition

Beugungsgitter

Ein Beugungsgitter hat sehr viele (NN) gleich breite, parallele Spalte im festen Abstand dd, der Gitterkonstanten. Auf einem Gitter mit 600 Strichen pro Millimeter ist d=1 mm/600≈1,67 μmd = 1\,\text{mm} / 600 \approx 1{,}67\,\mu\text{m}. Die Maxima liegen an derselben Stelle wie beim Doppelspalt, denn der Gangunterschied benachbarter Spalte ist wieder d⋅sin⁡αd \cdot \sin\alpha, und alle Spalte verstärken sich, wenn dieser k λk\,\lambda beträgt. Mit mehr Spalten werden die Maxima aber viel schmaler und heller, weil schon bei kleinen Abweichungen vom Maximum viele Wellen sich auslöschen. Dadurch kann man den Winkel sehr genau messen.

Beim Gitter sind die Winkel oft groß. Dann nimmt man nicht die Kleinwinkelnäherung, sondern rechnet mit sin⁡αk=k λ/d\sin\alpha_k = k\,\lambda / d. Es gibt nur Maxima mit sin⁡αk<1\sin\alpha_k < 1, also nur Ordnungen k<d/λk < d / \lambda.

sin⁡αk=k λd,k<dλ\sin\alpha_k = \frac{k\,\lambda}{d}, \qquad k < \frac{d}{\lambda}
Beispiel

Maxima eines Gitters

Ein Gitter mit 600 Strichen pro Millimeter wird mit grünem Laserlicht (λ=532 nm\lambda = 532\,\text{nm}) bestrahlt. Unter welchem Winkel liegt das Maximum 1. Ordnung, und wie viele Ordnungen gibt es auf jeder Seite?

Es ist d=1,667 μmd = 1{,}667\,\mu\text{m}. Für die 1. Ordnung gilt sin⁡α1=0,532/1,667=0,319\sin\alpha_1 = 0{,}532 / 1{,}667 = 0{,}319, also α1≈18,6∘\alpha_1 \approx 18{,}6^\circ. Es muss k<d/λ=1,667/0,532=3,13k < d / \lambda = 1{,}667 / 0{,}532 = 3{,}13 sein, also ist die höchste Ordnung kmax⁡=3k_{\max} = 3. Für sie gilt sin⁡α3=3⋅0,319=0,958\sin\alpha_3 = 3 \cdot 0{,}319 = 0{,}958 und α3≈73,3∘\alpha_3 \approx 73{,}3^\circ. Auf jeder Seite des Mittelmaximums liegen drei Maxima, insgesamt sieben.

Doppelspalt und Gitter mit Licht

Stelle "Anzahl der Spalte" auf 2, "Wellenlänge" auf 600 nm und "Spaltabstand" auf 100 µm: Unter der Szene steht der Abstand der hellen Streifen auf dem Schirm (bei 2 m Schirmabstand 12 mm). Ändere die Wellenlänge: Rotes Licht gibt größere Streifenabstände als blaues. Erhöhe dann "Anzahl der Spalte" (zum Beispiel auf 10): Die Maxima bleiben an ihrem Platz, werden aber schmaler.

Definition

Spektrum weißen Lichts und Dispersion

Weißes Licht ist eine Mischung aus allen Wellenlängen des sichtbaren Bereichs. Am Gitter ist das Maximum 0. Ordnung weiß, denn für α=0\alpha = 0 stimmt der Gangunterschied bei jeder Wellenlänge. In jeder höheren Ordnung entsteht ein Spektrum: Wegen sin⁡αk=k λ/d\sin\alpha_k = k\,\lambda / d wird langwelliges (rotes) Licht stärker abgelenkt als kurzwelliges (violettes). Das Violett liegt innen, das Rot außen. Am Doppelspalt erscheinen mit weißem Licht nur wenige farbige Säume.

Bei einem Glasprisma beruht die Zerlegung auf der Dispersion: Die Brechzahl nn des Glases (Verhältnis von cc im Vakuum zu cc im Glas) hängt von der Wellenlänge ab, und blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes. Im Stoff ist cc kleiner, und nach der Lektion zu Wellen ist die Wellenlänge dort λ/n\lambda / n. Die Reihenfolge ist beim Prisma deshalb umgekehrt wie am Gitter. Auch der Regenbogen entsteht durch Dispersion in Regentropfen. Misst man am Gitter die Winkel der Linien, kann man damit die Wellenlängen einer Lichtquelle bestimmen (Spektrometer).

Definition

Polarisation von Licht

Ein Polarisationsfilter lässt nur Licht durch, dessen elektrisches Feld in einer bestimmten Richtung schwingt. Fällt unpolarisiertes Licht darauf, ist das Licht dahinter linear polarisiert und halb so hell. Ein zweiter Filter (der Analysator) lässt dieses Licht durch, wenn seine Richtung gleich ist, und sperrt es, wenn die Richtung um 90∘90^\circ gedreht ist. Himmelslicht und von Wasser reflektiertes Licht sind teilweise polarisiert. Darum filtert eine Polarisationsbrille Spiegelungen auf Wasser weg.

Definition

Farben an dünnen Schichten

Auf einer Seifenhaut oder einem Ölfilm wird Licht an der Vorderseite und an der Rückseite reflektiert. Die beiden Teilwellen interferieren. Die Schicht hat die Dicke dd und die Brechzahl nn. Bei senkrechtem Einfall legt die zweite Welle den Weg 2d2d mehr zurück. Auf diesem Weg passen 2d/(λ/n)=2nd/λ2d / (\lambda / n) = 2nd / \lambda Wellenlängen, der Gangunterschied beträgt also 2nd2nd. Hinzu kommt ein Phasensprung von 180∘180^\circ an der Vorderseite, weil das Licht dort auf ein Medium mit größerer Brechzahl trifft (wie beim festen Seilende). An der Rückseite gibt es keinen. Das reflektierte Licht wird bei 2nd=(k+12) λ2nd = (k + \tfrac{1}{2})\,\lambda verstärkt und bei 2nd=k λ2nd = k\,\lambda ausgelöscht. Bei weißem Licht bleiben deshalb nur bestimmte Farben übrig, und wechselnde Dicke ergibt wechselnde Farben.

2 n d=(k+12)λ    (Versta¨rkung)2\,n\,d = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \;\;\text{(Verstärkung)}
Häufige Fehler

Mehr Spalte verschieben die Maxima

„Mit mehr Spalten liegen die Maxima weiter außen oder enger beieinander.“

Richtig ist

Die Lage der Maxima hängt nur von dd, λ\lambda und der Ordnung ab, nicht von der Spaltzahl NN. Mit größerem NN werden die Maxima schmaler und heller.

Häufige Fehler

Prisma und Gitter lenken Rot gleich ab

„Rotes Licht wird am Prisma und am Gitter jeweils am stärksten abgelenkt.“

Richtig ist

Am Prisma wird Violett am stärksten abgelenkt, denn die Brechzahl ist für kurze Wellenlängen größer. Am Gitter wird Rot am stärksten abgelenkt, denn sin⁡αk=k λ/d\sin\alpha_k = k\,\lambda / d wächst mit der Wellenlänge.

Zusammenfassung

  • Am Doppelspalt gilt für die Maxima d⋅sin⁡αk=k λd \cdot \sin\alpha_k = k\,\lambda und für die Minima d⋅sin⁡α=(k+12) λd \cdot \sin\alpha = (k + \tfrac{1}{2})\,\lambda. Für kleine Winkel ist yk≈k λ a/dy_k \approx k\,\lambda\,a / d.

  • Aus dem Streifenabstand folgt die Wellenlänge: λ=d⋅yk/(k a)\lambda = d \cdot y_k / (k\,a).

  • Ein Gitter mit vielen Spalten hat Maxima an denselben Stellen, aber schmaler und heller. Es gibt nur Ordnungen mit k<d/λk < d / \lambda.

  • Weißes Licht gibt am Gitter in jeder Ordnung ein Spektrum, Violett innen, Rot außen. Am Prisma beruht die Zerlegung auf der Dispersion, Violett wird dort am stärksten abgelenkt.

  • Ein Polarisationsfilter macht unpolarisiertes Licht linear polarisiert und halbiert die Helligkeit.

  • An dünnen Schichten interferieren die an Vorder- und Rückseite reflektierten Wellen. Dabei bleiben nur bestimmte Farben übrig.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Doppelspalt mit d = 0,10 mm steht 3,0 m vor dem Schirm. Der Abstand benachbarter heller Streifen beträgt 18 mm. Wie groß ist die Wellenlänge in nm?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Gitter hat 500 Striche pro Millimeter. Rotes Licht mit 650 nm fällt senkrecht darauf. Unter welchem Winkel liegt das Maximum 1. Ordnung (in Grad, auf Zehntel gerundet)?

Aufgabe 3Multiple Choice

Weißes Licht fällt auf ein Gitter. Was sieht man im Maximum 1. Ordnung?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Gitter hat die Gitterkonstante 2,0 µm. Licht mit 600 nm fällt senkrecht auf das Gitter. Wie viele Maxima gibt es insgesamt, das mittlere eingeschlossen?

Aufgabe 5Numerisch

Eine Seifenhaut (Brechzahl 1,33) ist 300 nm dick. Bei welcher Wellenlänge im sichtbaren Bereich wird das reflektierte Licht verstärkt, in nm? Rechne mit 2·n·d = (k + 1/2)·λ.

Aufgabe 6Freitext

Erkläre, warum man mit einem Gitter die Wellenlänge genauer messen kann als mit einem Doppelspalt.