Lektion 6.2

Koordinatensystem

13 min Lesezeit

Du spielst Schiffe versenken. Dein Mitspieler ruft: „C 4!“ Du weißt sofort, wo du nachschauen musst: in der Spalte C und der Zeile 4. Ein Buchstabe und eine Zahl reichen, um ein einzelnes Feld zu finden.

Auch auf einer Schatzkarte steht oft nur: „Gehe 6 Schritte nach Osten und 3 Schritte nach Norden.“ Zwei Zahlen genügen, damit jeder dieselbe Stelle findet.

Mathematiker haben dafür ein festes System erfunden: das Koordinatensystem. Mit zwei Zahlen beschreibst du jeden Punkt auf einem Blatt Papier genau. In dieser Lektion lernst du, wie du Punkte und Strecken einträgst und abliest.

Definition

Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinander stehen und sich bei der Null schneiden:

Die waagerechte Achse heißt x-Achse. Ihre Zahlen werden nach rechts größer.
Die senkrechte Achse heißt y-Achse. Ihre Zahlen werden nach oben größer.
Der Schnittpunkt der beiden Achsen heißt Ursprung und wird mit $O$ bezeichnet. Dort steht auf beiden Achsen die Null.

Auf jeder Achse haben die Zahlen gleich große Abstände. Eine Einheit kann ein Kästchen oder 1 cm sein. Wähle sie so, dass deine Punkte auf das Blatt passen.

Das Koordinatensystem teilt die Fläche in vier Viertel, die Quadranten heißen. In dieser Lektion benutzt du nur das Viertel rechts oberhalb vom Ursprung. Das ist der erste Quadrant. Dort sind beide Koordinaten größer als 0. Die Achsen gehören zu keinem Quadranten. In dieser Lektion benutzt du sie trotzdem. Die anderen drei Viertel lernst du später kennen.

Definition

Koordinaten eines Punktes

Jeder Punkt hat zwei Zahlen. Sie heißen Koordinaten:

Die x-Koordinate sagt, wie weit der Punkt vom Ursprung aus nach rechts liegt.
Die y-Koordinate sagt, wie weit er nach oben liegt.

Du schreibst sie in Klammern und trennst sie mit einem senkrechten Strich: $P(3|5)$ . Du sprichst: P mit den Koordinaten drei und fünf. Die Reihenfolge ist wichtig: erst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate. Merke dir: erst zur Tür hinein (nach rechts), dann die Treppe hoch.

Der Punkt $P(3|5)$ liegt also 3 Einheiten rechts und 5 Einheiten oberhalb vom Ursprung. Der Punkt $Q(5|3)$ ist ein ganz anderer Punkt. Der Ursprung hat die Koordinaten $O(0|0)$ .

P(3\,|\,5): \quad x = 3, \quad y = 5

Beispiel

Punkte eintragen

Trage die Punkte $A(2|3)$ , $B(6|3)$ , $C(6|5)$ , $D(0|4)$ und $E(7|0)$ in ein Koordinatensystem ein.

Du startest immer im Ursprung, gehst zuerst nach rechts und dann nach oben. Dort machst du ein kleines Kreuz und schreibst den Buchstaben daneben.

Punkt	Nach rechts	Nach oben	Wo liegt er?
$A(2\|3)$	2	3	im ersten Quadranten
$B(6\|3)$	6	3	im ersten Quadranten
$C(6\|5)$	6	5	im ersten Quadranten
$D(0\|4)$	0	4	auf der y-Achse
$E(7\|0)$	7	0	auf der x-Achse

Beim Punkt $D$ gehst du gar nicht nach rechts. Er liegt deshalb auf der y-Achse. Beim Punkt $E$ gehst du gar nicht nach oben. Er liegt auf der x-Achse. Jeder Punkt der x-Achse hat die y-Koordinate 0. Jeder Punkt der y-Achse hat die x-Koordinate 0.

Beispiel

Koordinaten ablesen

Der Punkt $P$ liegt genau über der 4 auf der x-Achse und genau auf Höhe der 7 auf der y-Achse. Der Punkt $Q$ liegt auf der y-Achse in Höhe 2. Der Punkt $R$ liegt auf der x-Achse bei der Zahl 9. Wie lauten die Koordinaten?

P(4|7) \qquad Q(0|2) \qquad R(9|0)

Gehe vom Punkt senkrecht nach unten bis zur x-Achse und lies die Zahl ab. Das ist die x-Koordinate. Gehe dann vom Punkt waagerecht nach links bis zur y-Achse und lies wieder ab. Das ist die y-Koordinate. Bei $P$ ergibt das 4 und 7. $Q$ liegt auf der y-Achse, also ist seine x-Koordinate 0. $R$ liegt auf der x-Achse, also ist seine y-Koordinate 0.

Beispiel

Strecken im Koordinatensystem

Zeichne die Punkte $A(1|2)$ , $B(6|2)$ und $D(1|6)$ und verbinde $A$ mit $B$ und $A$ mit $D$ . Wie lang sind die Strecken, wenn eine Einheit 1 cm ist?

\overline{AB} = 6 - 1 = 5 \qquad \overline{AD} = 6 - 2 = 4

Die Punkte $A$ und $B$ haben dieselbe y-Koordinate 2. Beide liegen gleich hoch, deshalb verläuft die Strecke $\overline{AB}$ waagerecht. Ihre Länge ist der Unterschied der x-Koordinaten: größere Zahl minus kleinere Zahl, also $6 - 1 = 5$ . Sie ist 5 cm lang.

Die Punkte $A$ und $D$ haben dieselbe x-Koordinate 1. Die Strecke $\overline{AD}$ verläuft senkrecht. Ihre Länge ist der Unterschied der y-Koordinaten: $6 - 2 = 4$ . Sie ist 4 cm lang. Weil eine Strecke waagerecht und die andere senkrecht ist, stehen sie im rechten Winkel zueinander.

Beispiel

Eine Ecke ergänzen

Von einem Rechteck $ABCD$ kennst du $A(1|1)$ , $B(7|1)$ und $C(7|4)$ . Welche Koordinaten hat $D$ ?

D(1|4)

Die Punkte $A$ und $B$ haben dieselbe y-Koordinate. Die Seite $\overline{AB}$ ist also waagerecht und 6 Einheiten lang. Die Punkte $B$ und $C$ haben dieselbe x-Koordinate. Die Seite $\overline{BC}$ ist senkrecht und 3 Einheiten lang.

Im Rechteck ist $\overline{AD}$ auch senkrecht. Also hat $D$ dieselbe x-Koordinate wie $A$ , nämlich 1. Und $\overline{CD}$ ist waagerecht. Also hat $D$ dieselbe y-Koordinate wie $C$ , nämlich 4. Du erhältst $D(1|4)$ .

Häufige Fehler

x und y vertauschen

Jemand soll $P(2|5)$ eintragen, geht aber 5 Einheiten nach rechts und 2 nach oben.

Richtig ist

Die erste Zahl gehört immer zur x-Achse, also nach rechts. Die zweite Zahl gehört zur y-Achse, also nach oben. Richtig ist: 2 nach rechts, 5 nach oben. Der Punkt $(5|2)$ liegt woanders.

Häufige Fehler

Punkte statt Schritte zählen

Jemand sagt: „Die Strecke von $(1|2)$ nach $(6|2)$ ist 6 lang, denn ich zähle 1, 2, 3, 4, 5, 6.“

Richtig ist

Du hast die Punkte gezählt, nicht die Schritte. Von der 1 bis zur 6 sind es 5 Schritte. Rechne größere minus kleinere Zahl: $6 - 1 = 5$ .

Häufige Fehler

Punkte auf den Achsen verwechseln

Jemand sagt: „Der Punkt $(0|3)$ liegt auf der x-Achse.“

Richtig ist

Die x-Koordinate ist 0. Du gehst also nicht nach rechts, sondern nur 3 Einheiten nach oben. Der Punkt liegt auf der y-Achse. Auf der x-Achse liegt zum Beispiel $(3|0)$ .

Zusammenfassung

Ein Koordinatensystem hat eine waagerechte x-Achse und eine senkrechte y-Achse. Sie schneiden sich im Ursprung $O(0|0)$ .
Der Punkt $P(x|y)$ liegt $x$ Einheiten nach rechts und $y$ Einheiten nach oben. Erst kommt die x-Koordinate, dann die y-Koordinate.
Zum Eintragen gehst du vom Ursprung zuerst nach rechts, dann nach oben. Zum Ablesen gehst du vom Punkt senkrecht zur x-Achse und waagerecht zur y-Achse.
Punkte der x-Achse haben die y-Koordinate 0. Punkte der y-Achse haben die x-Koordinate 0.
Haben zwei Punkte dieselbe y-Koordinate, liegt die Strecke waagerecht. Haben sie dieselbe x-Koordinate, liegt sie senkrecht. Die Länge ist größere Koordinate minus kleinere.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welcher Punkt liegt 3 Einheiten rechts vom Ursprung und 5 Einheiten darüber?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welcher dieser Punkte liegt auf der y-Achse?

Aufgabe 3Numerisch

Die Punkte $A(2|1)$ und $B(9|1)$ sind durch eine Strecke verbunden. Wie lang ist die Strecke $\overline{AB}$ , wenn eine Einheit 1 cm ist? Gib die Zahl in Zentimetern an.

Aufgabe 4Numerisch

Mia startet im Ursprung. Sie geht 6 Einheiten nach rechts, dann 2 Einheiten nach oben und dann noch 3 Einheiten nach rechts. Welche x-Koordinate hat ihr Zielpunkt?

Aufgabe 5Freitext

Von einem Rechteck $ABCD$ kennst du $A(2|1)$ , $B(8|1)$ und $C(8|4)$ . Gib die Koordinaten von $D$ an und erkläre, wie du darauf kommst.

Lektion 6.2 · Geometrische Grundbegriffe und ebene Figuren

Koordinatensystem

Auch auf einer Schatzkarte steht oft nur: „Gehe 6 Schritte nach Osten und 3 Schritte nach Norden.“ Zwei Zahlen genügen, damit jeder dieselbe Stelle findet.

Definition

Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinander stehen und sich bei der Null schneiden:

Die waagerechte Achse heißt x-Achse. Ihre Zahlen werden nach rechts größer.
Die senkrechte Achse heißt y-Achse. Ihre Zahlen werden nach oben größer.
Der Schnittpunkt der beiden Achsen heißt Ursprung und wird mit $O$ bezeichnet. Dort steht auf beiden Achsen die Null.

Auf jeder Achse haben die Zahlen gleich große Abstände. Eine Einheit kann ein Kästchen oder 1 cm sein. Wähle sie so, dass deine Punkte auf das Blatt passen.

Definition

Koordinaten eines Punktes

Jeder Punkt hat zwei Zahlen. Sie heißen Koordinaten:

Die x-Koordinate sagt, wie weit der Punkt vom Ursprung aus nach rechts liegt.
Die y-Koordinate sagt, wie weit er nach oben liegt.

Der Punkt $P(3|5)$ liegt also 3 Einheiten rechts und 5 Einheiten oberhalb vom Ursprung. Der Punkt $Q(5|3)$ ist ein ganz anderer Punkt. Der Ursprung hat die Koordinaten $O(0|0)$ .

P(3\,|\,5): \quad x = 3, \quad y = 5

Beispiel

Punkte eintragen

Trage die Punkte $A(2|3)$ , $B(6|3)$ , $C(6|5)$ , $D(0|4)$ und $E(7|0)$ in ein Koordinatensystem ein.

Du startest immer im Ursprung, gehst zuerst nach rechts und dann nach oben. Dort machst du ein kleines Kreuz und schreibst den Buchstaben daneben.

Punkt	Nach rechts	Nach oben	Wo liegt er?
$A(2\|3)$	2	3	im ersten Quadranten
$B(6\|3)$	6	3	im ersten Quadranten
$C(6\|5)$	6	5	im ersten Quadranten
$D(0\|4)$	0	4	auf der y-Achse
$E(7\|0)$	7	0	auf der x-Achse

Beispiel

Koordinaten ablesen

P(4|7) \qquad Q(0|2) \qquad R(9|0)

Beispiel

Strecken im Koordinatensystem

Zeichne die Punkte $A(1|2)$ , $B(6|2)$ und $D(1|6)$ und verbinde $A$ mit $B$ und $A$ mit $D$ . Wie lang sind die Strecken, wenn eine Einheit 1 cm ist?

\overline{AB} = 6 - 1 = 5 \qquad \overline{AD} = 6 - 2 = 4

Beispiel

Eine Ecke ergänzen

Von einem Rechteck $ABCD$ kennst du $A(1|1)$ , $B(7|1)$ und $C(7|4)$ . Welche Koordinaten hat $D$ ?

D(1|4)

Häufige Fehler

x und y vertauschen

Jemand soll $P(2|5)$ eintragen, geht aber 5 Einheiten nach rechts und 2 nach oben.

Die erste Zahl gehört immer zur x-Achse, also nach rechts. Die zweite Zahl gehört zur y-Achse, also nach oben. Richtig ist: 2 nach rechts, 5 nach oben. Der Punkt $(5|2)$ liegt woanders.

Häufige Fehler

Punkte statt Schritte zählen

Jemand sagt: „Die Strecke von $(1|2)$ nach $(6|2)$ ist 6 lang, denn ich zähle 1, 2, 3, 4, 5, 6.“

Du hast die Punkte gezählt, nicht die Schritte. Von der 1 bis zur 6 sind es 5 Schritte. Rechne größere minus kleinere Zahl: $6 - 1 = 5$ .

Häufige Fehler

Punkte auf den Achsen verwechseln

Jemand sagt: „Der Punkt $(0|3)$ liegt auf der x-Achse.“

Die x-Koordinate ist 0. Du gehst also nicht nach rechts, sondern nur 3 Einheiten nach oben. Der Punkt liegt auf der y-Achse. Auf der x-Achse liegt zum Beispiel $(3|0)$ .

Zusammenfassung

Ein Koordinatensystem hat eine waagerechte x-Achse und eine senkrechte y-Achse. Sie schneiden sich im Ursprung $O(0|0)$ .
Der Punkt $P(x|y)$ liegt $x$ Einheiten nach rechts und $y$ Einheiten nach oben. Erst kommt die x-Koordinate, dann die y-Koordinate.
Zum Eintragen gehst du vom Ursprung zuerst nach rechts, dann nach oben. Zum Ablesen gehst du vom Punkt senkrecht zur x-Achse und waagerecht zur y-Achse.
Punkte der x-Achse haben die y-Koordinate 0. Punkte der y-Achse haben die x-Koordinate 0.
Haben zwei Punkte dieselbe y-Koordinate, liegt die Strecke waagerecht. Haben sie dieselbe x-Koordinate, liegt sie senkrecht. Die Länge ist größere Koordinate minus kleinere.