Lektion 6.1

Geometrische Grundbegriffe und Lagebeziehungen

14 min Lesezeit

Stell dir den Stadtplan deiner Stadt vor. Zwei Straßen laufen nebeneinander her und treffen sich nie. Eine dritte Straße kreuzt beide an einer Ecke. Und wenn du von deinem Haus zur Hauptstraße willst, gehst du nicht schräg über die Wiese, sondern auf dem kürzesten Weg geradeaus.

In der Geometrie gibt es für all das genaue Wörter. Was ist ein Punkt, was eine Strecke und was eine Gerade? Wann sind zwei Geraden parallel und wann stehen sie senkrecht? Wie misst du, wie weit ein Punkt von einer Geraden entfernt ist? Und wie zeichnest du das alles sauber mit Lineal, Geodreieck und Zirkel? Das lernst du in dieser Lektion.

Definition

Punkt, Strecke, Strahl und Gerade

Ein Punkt hat keine Größe. Im Heft machst du ihn als kleines Kreuz. Du benennst ihn mit einem großen Buchstaben, zum Beispiel $A$ oder $B$ .

Verbindest du zwei Punkte mit dem Lineal, bekommst du eine Strecke. Die Strecke von $A$ nach $B$ schreibst du $\overline{AB}$ . Ihre Länge kannst du messen, zum Beispiel $\overline{AB} = 5\,\text{cm}$ .

Zieht man eine Strecke an einem Ende endlos weiter, entsteht ein Strahl. Zieht man sie an beiden Enden endlos weiter, entsteht eine Gerade. Eine Gerade bekommt einen kleinen Buchstaben, zum Beispiel $g$ oder $h$ . Im Heft zeichnest du immer nur ein Stück davon. In Gedanken geht sie weiter.

Name	Anfang	Ende	Länge messbar	Alltagsbeispiel
Strecke	ja	ja	ja	ein gespanntes Seil zwischen zwei Pfosten
Strahl	ja	nein	nein	der Lichtstrahl einer Taschenlampe
Gerade	nein	nein	nein	eine gerade Straße, die nie endet

Definition

Schneiden, parallel und senkrecht

Zwei verschiedene Geraden auf einem Blatt haben entweder genau einen gemeinsamen Punkt oder keinen. Haben sie einen, schneiden sie sich, und der gemeinsame Punkt heißt Schnittpunkt.

Haben sie keinen gemeinsamen Punkt, sind sie parallel. Parallele Geraden sehen aus wie Eisenbahnschienen: Sie laufen überall im gleichen Abstand nebeneinander her. Du schreibst $g \parallel h$ und sprichst: g ist parallel zu h.

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel schneiden. Ein rechter Winkel sieht aus wie die Ecke eines Blatts Papier. In Zeichnungen markierst du ihn mit einem kleinen Quadrat im Winkel. Du schreibst $g \perp h$ und sprichst: g steht senkrecht auf h.

g \parallel h \qquad g \perp h

Definition

Abstand und Lot

Wie weit ist ein Punkt $P$ von einer Geraden $g$ entfernt? Von $P$ führen viele Strecken zu Punkten auf $g$ . Die kürzeste steht senkrecht auf $g$ . Ein Schwimmer, der schnell ans gerade Ufer will, schwimmt auch genau darauf zu.

Die Gerade durch $P$ , die senkrecht auf $g$ steht, heißt Lot von $P$ auf $g$ . Der Punkt, an dem das Lot die Gerade $g$ trifft, ist der Fußpunkt $F$ . Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ ist die Länge der Strecke $\overline{PF}$ .

Bei parallelen Geraden ist der Abstand überall gleich. Du misst ihn immer senkrecht. Jeder Punkt auf $h$ hat von $g$ denselben Abstand, wenn $g \parallel h$ gilt.

Definition

Lineal, Geodreieck und Zirkel

Mit drei Werkzeugen zeichnest du genau:

Das Lineal zeichnet Strecken und Geraden und misst Längen. Lege die Null genau an den Anfang. 10 mm sind 1 cm.
Das Geodreieck hat eine lange Kante mit Zentimeterskala. In der Mitte hat es die Mittellinie, die senkrecht zur langen Kante verläuft. Damit zeichnest du Senkrechte.
Der Zirkel hat eine Spitze und eine Mine. Du stichst die Spitze ein und drehst. Die Mine zeichnet einen Kreisbogen. Alle Punkte auf dem Bogen sind gleich weit von der Spitze entfernt.

Beispiel

Das Lot fällen und den Abstand messen

Gegeben sind eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ neben ihr. Zeichne das Lot von $P$ auf $g$ und miss den Abstand.

Gehe so vor:

Lege das Geodreieck so auf das Blatt, dass die Mittellinie genau auf $g$ liegt.
Schiebe das Geodreieck an $g$ entlang, bis seine lange Kante an $P$ stößt. Die lange Kante steht jetzt senkrecht auf $g$ .
Zeichne an der langen Kante entlang eine Linie von $P$ bis zu $g$ . Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt $F$ .
Miss die Strecke $\overline{PF}$ mit dem Lineal. Liest du 3,4 cm ab, ist der Abstand 3,4 cm.

Beispiel

Eine Parallele zeichnen

Zeichne durch den Punkt $P$ eine Gerade $h$ , die parallel zu $g$ ist.

Du brauchst zwei Senkrechte hintereinander:

Zeichne wie im Beispiel davor das Lot $s$ von $P$ auf $g$ .
Lege die Mittellinie des Geodreiecks jetzt auf $s$ .
Schiebe das Geodreieck an $s$ entlang, bis die lange Kante durch $P$ geht.
Zeichne an der langen Kante entlang die Gerade $h$ durch $P$ .

Die Geraden $g$ und $h$ stehen beide senkrecht auf $s$ . Zwei Geraden, die auf derselben Geraden senkrecht stehen, sind parallel. Also gilt $g \parallel h$ .

Beispiel

Mit dem Zirkel einen Punkt finden

Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ von 5 cm Länge. Finde einen Punkt $C$ , der von $A$ genau 3 cm und von $B$ genau 4 cm entfernt ist.

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal die Strecke $\overline{AB}$ mit 5 cm Länge.
Stelle den Zirkel auf 3 cm ein: Spitze auf die Null, Mine auf die 3 am Lineal.
Steche in $A$ ein und zeichne oberhalb der Strecke einen Kreisbogen. Alle Punkte auf diesem Bogen sind 3 cm von $A$ entfernt.
Stelle den Zirkel auf 4 cm ein, steche in $B$ ein und zeichne einen zweiten Bogen. Er schneidet den ersten.
Der Schnittpunkt der beiden Bögen ist $C$ . Er ist 3 cm von $A$ und 4 cm von $B$ entfernt.

Ein zweiter Punkt mit diesen Abständen liegt unterhalb der Strecke. Verbinde $C$ mit $A$ und $B$ und prüfe mit dem Geodreieck: Die Strecken $\overline{CA}$ und $\overline{CB}$ stehen senkrecht aufeinander.

Häufige Fehler

Strecke und Gerade verwechseln

Jemand schreibt: „Die Gerade g ist 8 cm lang.“

Richtig ist

Eine Gerade hat weder Anfang noch Ende, also hat sie keine Länge. Nur eine Strecke hat zwei Endpunkte und eine Länge. Du kannst sagen: „Die Strecke $\overline{AB}$ ist 8 cm lang.“

Häufige Fehler

Den Abstand schräg messen

Jemand misst den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ schräg bis zu irgendeinem Punkt auf $g$ und liest 5 cm ab.

Richtig ist

Der Abstand ist die Länge des Lots, also die kürzeste Verbindung. Sie steht senkrecht auf $g$ . Jede schräge Strecke ist länger. Zeichne zuerst das Lot und miss dann nur die Strecke bis zum Fußpunkt.

Häufige Fehler

Senkrecht heißt nicht „nach oben“

Jemand sagt: „Die Gerade g liegt schräg, also kann nichts senkrecht auf ihr stehen.“

Richtig ist

Senkrecht bedeutet nur: im rechten Winkel zueinander. Es kommt nicht darauf an, wie das Blatt liegt. Zu jeder Geraden gibt es senkrechte Geraden, auch wenn sie schräg liegt.

Zusammenfassung

Ein Punkt hat keine Größe. Eine Strecke hat zwei Endpunkte und eine Länge. Ein Strahl hat einen Anfang, eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.
Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel ( $g \parallel h$ ). Schneiden sie sich im rechten Winkel, stehen sie senkrecht aufeinander ( $g \perp h$ ).
Das Lot von $P$ auf $g$ steht senkrecht auf $g$ . Die Länge des Lots bis zum Fußpunkt ist der Abstand von $P$ zu $g$ .
Parallele Geraden haben überall denselben Abstand.
Senkrechte zeichnest du mit der Mittellinie des Geodreiecks, Längen mit dem Lineal und Punkte mit gegebenem Abstand mit dem Zirkel.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Eine Linie hat einen Anfangspunkt, geht aber auf einer Seite ohne Ende weiter. Wie heißt sie?

Aufgabe 2Numerisch

Die Strecke $\overline{AB}$ ist 8,5 cm lang. Der Punkt $C$ liegt auf der Strecke zwischen $A$ und $B$ , und $\overline{AC}$ ist 3 cm lang. Wie lang ist $\overline{CB}$ in Zentimetern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Auf einem Blatt gilt $g \perp h$ und $k \perp h$ . Die Geraden $g$ und $k$ sind verschieden. Was gilt für $g$ und $k$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel und haben den Abstand 4 cm. Die Punkte $P$ und $Q$ liegen beide auf $h$ , und $P$ ist von $Q$ 7 cm entfernt. Welchen Abstand hat $Q$ von $g$ ? Gib die Zahl in Zentimetern an.

Aufgabe 5Freitext

Ein Punkt $P$ liegt neben der Geraden $g$ . Beschreibe Schritt für Schritt, wie du mit dem Geodreieck die Senkrechte zu $g$ durch $P$ zeichnest.

Lektion 6.1 · Geometrische Grundbegriffe und ebene Figuren

Geometrische Grundbegriffe und Lagebeziehungen

Definition

Punkt, Strecke, Strahl und Gerade

Ein Punkt hat keine Größe. Im Heft machst du ihn als kleines Kreuz. Du benennst ihn mit einem großen Buchstaben, zum Beispiel $A$ oder $B$ .

Name	Anfang	Ende	Länge messbar	Alltagsbeispiel
Strecke	ja	ja	ja	ein gespanntes Seil zwischen zwei Pfosten
Strahl	ja	nein	nein	der Lichtstrahl einer Taschenlampe
Gerade	nein	nein	nein	eine gerade Straße, die nie endet

Definition

Schneiden, parallel und senkrecht

Zwei verschiedene Geraden auf einem Blatt haben entweder genau einen gemeinsamen Punkt oder keinen. Haben sie einen, schneiden sie sich, und der gemeinsame Punkt heißt Schnittpunkt.

g \parallel h \qquad g \perp h

Definition

Abstand und Lot

Bei parallelen Geraden ist der Abstand überall gleich. Du misst ihn immer senkrecht. Jeder Punkt auf $h$ hat von $g$ denselben Abstand, wenn $g \parallel h$ gilt.

Definition

Lineal, Geodreieck und Zirkel

Mit drei Werkzeugen zeichnest du genau:

Das Lineal zeichnet Strecken und Geraden und misst Längen. Lege die Null genau an den Anfang. 10 mm sind 1 cm.
Das Geodreieck hat eine lange Kante mit Zentimeterskala. In der Mitte hat es die Mittellinie, die senkrecht zur langen Kante verläuft. Damit zeichnest du Senkrechte.
Der Zirkel hat eine Spitze und eine Mine. Du stichst die Spitze ein und drehst. Die Mine zeichnet einen Kreisbogen. Alle Punkte auf dem Bogen sind gleich weit von der Spitze entfernt.

Beispiel

Das Lot fällen und den Abstand messen

Gegeben sind eine Gerade $g$ und ein Punkt $P$ neben ihr. Zeichne das Lot von $P$ auf $g$ und miss den Abstand.

Gehe so vor:

Lege das Geodreieck so auf das Blatt, dass die Mittellinie genau auf $g$ liegt.
Schiebe das Geodreieck an $g$ entlang, bis seine lange Kante an $P$ stößt. Die lange Kante steht jetzt senkrecht auf $g$ .
Zeichne an der langen Kante entlang eine Linie von $P$ bis zu $g$ . Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt $F$ .
Miss die Strecke $\overline{PF}$ mit dem Lineal. Liest du 3,4 cm ab, ist der Abstand 3,4 cm.

Beispiel

Eine Parallele zeichnen

Zeichne durch den Punkt $P$ eine Gerade $h$ , die parallel zu $g$ ist.

Du brauchst zwei Senkrechte hintereinander:

Zeichne wie im Beispiel davor das Lot $s$ von $P$ auf $g$ .
Lege die Mittellinie des Geodreiecks jetzt auf $s$ .
Schiebe das Geodreieck an $s$ entlang, bis die lange Kante durch $P$ geht.
Zeichne an der langen Kante entlang die Gerade $h$ durch $P$ .

Die Geraden $g$ und $h$ stehen beide senkrecht auf $s$ . Zwei Geraden, die auf derselben Geraden senkrecht stehen, sind parallel. Also gilt $g \parallel h$ .

Beispiel

Mit dem Zirkel einen Punkt finden

Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ von 5 cm Länge. Finde einen Punkt $C$ , der von $A$ genau 3 cm und von $B$ genau 4 cm entfernt ist.

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal die Strecke $\overline{AB}$ mit 5 cm Länge.
Stelle den Zirkel auf 3 cm ein: Spitze auf die Null, Mine auf die 3 am Lineal.
Steche in $A$ ein und zeichne oberhalb der Strecke einen Kreisbogen. Alle Punkte auf diesem Bogen sind 3 cm von $A$ entfernt.
Stelle den Zirkel auf 4 cm ein, steche in $B$ ein und zeichne einen zweiten Bogen. Er schneidet den ersten.
Der Schnittpunkt der beiden Bögen ist $C$ . Er ist 3 cm von $A$ und 4 cm von $B$ entfernt.

Häufige Fehler

Strecke und Gerade verwechseln

Jemand schreibt: „Die Gerade g ist 8 cm lang.“

Eine Gerade hat weder Anfang noch Ende, also hat sie keine Länge. Nur eine Strecke hat zwei Endpunkte und eine Länge. Du kannst sagen: „Die Strecke $\overline{AB}$ ist 8 cm lang.“

Häufige Fehler

Den Abstand schräg messen

Jemand misst den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ schräg bis zu irgendeinem Punkt auf $g$ und liest 5 cm ab.

Häufige Fehler

Senkrecht heißt nicht „nach oben“

Jemand sagt: „Die Gerade g liegt schräg, also kann nichts senkrecht auf ihr stehen.“

Senkrecht bedeutet nur: im rechten Winkel zueinander. Es kommt nicht darauf an, wie das Blatt liegt. Zu jeder Geraden gibt es senkrechte Geraden, auch wenn sie schräg liegt.

Zusammenfassung

Ein Punkt hat keine Größe. Eine Strecke hat zwei Endpunkte und eine Länge. Ein Strahl hat einen Anfang, eine Gerade hat weder Anfang noch Ende.
Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel ( $g \parallel h$ ). Schneiden sie sich im rechten Winkel, stehen sie senkrecht aufeinander ( $g \perp h$ ).
Das Lot von $P$ auf $g$ steht senkrecht auf $g$ . Die Länge des Lots bis zum Fußpunkt ist der Abstand von $P$ zu $g$ .
Parallele Geraden haben überall denselben Abstand.
Senkrechte zeichnest du mit der Mittellinie des Geodreiecks, Längen mit dem Lineal und Punkte mit gegebenem Abstand mit dem Zirkel.