Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt. Dort entstehen vier Winkel. Du nennst sie der Reihe nach, einmal um den Schnittpunkt herum, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.

Zwei Winkel, die nebeneinander liegen und einen Schenkel gemeinsam haben, heißen Nebenwinkel. Das sind $\alpha$ und $\beta$, $\beta$ und $\gamma$, $\gamma$ und $\delta$ sowie $\delta$ und $\alpha$. Zusammen bilden zwei Nebenwinkel eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel. Deshalb gilt: Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$.

Winkel, die sich am Schnittpunkt gegenüber liegen, heißen Scheitelwinkel. Das sind $\alpha$ und $\gamma$ sowie $\beta$ und $\delta$. Scheitelwinkel sind gleich groß.

Begründung: $\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel, also ist $\alpha + \beta = 180^\circ$. Auch $\beta$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel, also ist $\beta + \gamma = 180^\circ$. Beide Summen sind gleich. Nimmst du auf beiden Seiten $\beta$ weg, bleibt $\alpha = \gamma$.

Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ werden von einer dritten Geraden $q$ geschnitten. Stell dir $g$ oben und $h$ darunter vor. $q$ verläuft schräg durch beide. An jedem Schnittpunkt entstehen vier Winkel. Du nennst sie nach ihrer Lage am Schnittpunkt: oben links, oben rechts, unten links, unten rechts.

Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten an derselben Stelle, zum Beispiel beide oben rechts. Sie bilden die Form eines F. Wechselwinkel liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten von $q$, zum Beispiel unten links bei $g$ und oben rechts bei $h$. Sie bilden die Form eines Z.

Sind $g$ und $h$ parallel, sind Stufenwinkel gleich groß und Wechselwinkel gleich groß. Das gilt nur bei Parallelen.

Begründung für Stufenwinkel: Schiebe $g$ an $q$ entlang nach unten, bis sie auf $h$ liegt. Der Winkel wandert mit und liegt genau auf seinem Stufenwinkel. Wechselwinkel sind gleich, weil sie Scheitelwinkel eines Stufenwinkels sind.

Die Winkel im Inneren eines Dreiecks heißen Innenwinkel. Bei den Ecken $A$, $B$ und $C$ heißen sie $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. In jedem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen $180^\circ$.

Begründung: Zeichne durch $C$ die Parallele $p$ zur gegenüberliegenden Seite $\overline{AB}$. Bei $C$ entstehen drei Winkel nebeneinander auf der Geraden $p$: links ein Winkel, in der Mitte $\gamma$ und rechts ein Winkel. Der linke Winkel ist ein Wechselwinkel zu $\alpha$, also ebenfalls $\alpha$. Der rechte ist ein Wechselwinkel zu $\beta$, also gleich $\beta$. Die drei Winkel bilden zusammen eine gerade Linie. Also gilt $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Ein Viereck hat vier Ecken. Eine Diagonale ist eine Strecke zwischen zwei Ecken, die nicht nebeneinander liegen. Sie teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme $180^\circ$. Alle Winkel der beiden Dreiecke zusammen sind genau die vier Innenwinkel des Vierecks. Deshalb gilt: In jedem Viereck ergeben die vier Innenwinkel zusammen $360^\circ$.

Warum reicht Messen nicht? Zum einen misst du nie ganz genau. Mit dem Geodreieck kommt oft $179^\circ$ oder $181^\circ$ heraus, obwohl es $180^\circ$ sein müssen. Zum anderen kannst du nur einzelne Dreiecke messen, aber es gibt unendlich viele.

Ein Beweis ist eine Begründung in kleinen Schritten, die nur Aussagen benutzt, von denen du schon sicher weißt, dass sie stimmen. Dann gilt das Ergebnis für jedes Dreieck. Messen und Ausprobieren geben dir eine Vermutung. Der Beweis macht sie sicher.

Ein Hinweis aus dem Basteln: Schneide ein Papierdreieck aus, reiße die drei Ecken ab und lege sie mit den Spitzen aneinander. Sie bilden eine gerade Linie. Das ist eine gute Idee, aber noch kein Beweis.