Lektion 6.3

Winkel messen, zeichnen und klassifizieren

15 min Lesezeit

Um 3 Uhr bilden die Zeiger einer Uhr eine Ecke wie das Blatt Papier vor dir. Um 6 Uhr zeigen sie in genau entgegengesetzte Richtungen. Um 1 Uhr stehen sie dicht beieinander.

Wie kannst du genau sagen, wie weit die Zeiger auseinander stehen? Oder wie weit eine Tür offen ist, wie weit du eine Schere geöffnet hast oder wie spitz ein Pizzastück ist? Dafür gibt es das Wort Winkel und eine Maßzahl, die Grad heißt. In dieser Lektion lernst du, Winkel zu benennen, zu schätzen, zu messen und zu zeichnen.

Definition

Winkel, Schenkel und Scheitelpunkt

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen im selben Anfangspunkt beginnen. Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt. Die beiden Strahlen heißen Schenkel. Bei einer Schere sind die beiden Klingen die Schenkel, die Schraube in der Mitte ist der Scheitelpunkt.

Der Winkel zeigt, wie weit die Schenkel auseinander stehen. Du kannst dir vorstellen, dass du einen Schenkel um den Scheitelpunkt drehst, bis er auf dem anderen liegt. Die Größe dieser Drehung ist der Winkel. Winkel bekommen kleine griechische Buchstaben als Namen: $\alpha$ (sprich: alpha), $\beta$ (beta) und $\gamma$ (gamma).

Definition

Winkelmaß in Grad

Winkel misst du in Grad. Das Zeichen ist ein kleiner Kreis oben: $^\circ$ . Eine ganze Drehung einmal herum hat 360 Grad. Ein Grad ist der 360. Teil davon.

Daraus folgt: Eine halbe Drehung hat $180^\circ$ , eine Viertel-Drehung hat $90^\circ$ . Die Schreibweise $\alpha = 50^\circ$ liest du: Der Winkel alpha misst 50 Grad.

\alpha = 50^\circ

Definition

Winkelarten

Nach ihrer Größe haben Winkel feste Namen:

Name	Größe	Merkhilfe
spitzer Winkel	größer als $0^\circ$ , kleiner als $90^\circ$	die Spitze eines Pizzastücks
rechter Winkel	genau $90^\circ$	die Ecke eines Blatts Papier
stumpfer Winkel	größer als $90^\circ$ , kleiner als $180^\circ$	eine weit offene Tür
gestreckter Winkel	genau $180^\circ$	die Schenkel bilden eine gerade Linie
überstumpfer Winkel	größer als $180^\circ$ , kleiner als $360^\circ$	ein Kuchen, aus dem ein Stück fehlt: der Rest
Vollwinkel	genau $360^\circ$	eine ganze Drehung

Zwei Schenkel teilen die Fläche in zwei Winkel, meist einen kleineren und einen größeren. Beim gestreckten Winkel sind beide $180^\circ$ . Zusammen ergeben sie $360^\circ$ . Meist ist der kleinere gemeint. Soll der größere gemeint sein, zeichnest du den Bogen dort.

Beispiel

Winkelarten bestimmen

Welche Art von Winkel sind $35^\circ$ , $90^\circ$ , $120^\circ$ , $180^\circ$ und $250^\circ$ ?

Vergleiche jede Zahl mit 90, 180 und 360:

$35^\circ$ ist kleiner als $90^\circ$ : ein spitzer Winkel.
$90^\circ$ : ein rechter Winkel.
$120^\circ$ ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ : ein stumpfer Winkel.
$180^\circ$ : ein gestreckter Winkel.
$250^\circ$ ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$ : ein überstumpfer Winkel.

Beispiel

Winkel schätzen mit der Uhr

Wie groß ist der Winkel zwischen den Zeigern um 4 Uhr? Und wie groß ist er um 8 Uhr?

\begin{aligned} 360^\circ : 12 &= 30^\circ \\ \text{4 Uhr: } 4 \cdot 30^\circ &= 120^\circ \\ \text{8 Uhr: } 8 \cdot 30^\circ &= 240^\circ, \quad 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \end{aligned}

Das Zifferblatt hat 12 Zahlen und eine ganze Runde hat $360^\circ$ . Von einer Zahl zur nächsten sind es also $360^\circ : 12 = 30^\circ$ . Um 4 Uhr zeigt der große Zeiger auf die 12 und der kleine auf die 4. Das sind 4 Schritte mit je $30^\circ$ , also $120^\circ$ : ein stumpfer Winkel. Um 8 Uhr sind es auf der einen Seite $8 \cdot 30^\circ = 240^\circ$ (überstumpf). Auf der anderen Seite sind es $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$ . Der kleinere Winkel beträgt auch um 8 Uhr $120^\circ$ .

Beispiel

Einen Winkel mit dem Geodreieck messen

Ein Schenkel eines Winkels $\alpha$ zeigt vom Scheitelpunkt $S$ aus nach rechts. Der andere Schenkel zeigt schräg nach oben. Miss $\alpha$ .

Gehe so vor:

Lege den Nullpunkt des Geodreiecks, die Mitte der langen Kante, genau auf $S$ .
Drehe das Geodreieck so, dass die lange Kante genau auf dem Schenkel nach rechts liegt. Ist ein Schenkel zu kurz, verlängere ihn mit dem Lineal.
Das Geodreieck hat zwei Winkelskalen. Nimm die Skala, die an dem Schenkel nach rechts bei 0 beginnt.
Lies an dem anderen Schenkel die Zahl ab. Hier gehen auf den beiden Skalen die Zahlen 40 und 140 durch den Schenkel. Auf der richtigen Skala steht 40.
Prüfe mit Schätzen: Der Winkel ist spitz, also muss die Zahl kleiner als 90 sein. Es ist $\alpha = 40^\circ$ .

Beispiel

Einen Winkel mit dem Geodreieck zeichnen

Zeichne einen Winkel $\alpha = 50^\circ$ .

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal einen Strahl nach rechts. Sein Anfangspunkt $S$ ist der Scheitelpunkt.
Lege den Nullpunkt des Geodreiecks auf $S$ und die lange Kante auf den Strahl.
Suche auf der Skala, die am Strahl bei 0 beginnt, die Zahl 50 und mache dort einen kleinen Punkt $P$ .
Nimm das Geodreieck weg und zeichne mit dem Lineal einen Strahl von $S$ durch $P$ . Zeichne einen Bogen zwischen den Schenkeln und schreibe $\alpha = 50^\circ$ .

Beispiel

Überstumpfe Winkel

Zeichne einen überstumpfen Winkel $\beta = 250^\circ$ . Wie misst du einen überstumpfen Winkel?

360^\circ - 250^\circ = 110^\circ

Das Geodreieck reicht nur bis $180^\circ$ . Du nutzt den Rest bis $360^\circ$ : Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von $360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$ . Die andere Seite der Schenkel ist dann der gesuchte Winkel von $250^\circ$ . Beim Messen gehst du genauso vor: Miss den kleineren Winkel auf der anderen Seite, zum Beispiel $110^\circ$ , und ziehe ihn von $360^\circ$ ab.

Häufige Fehler

Die falsche Skala ablesen

Jemand misst einen deutlich spitzen Winkel und liest $140^\circ$ ab.

Richtig ist

Das Geodreieck hat zwei Skalen, die bei 0 und bei 180 beginnen. Du musst die Skala nehmen, die an deinem ersten Schenkel bei 0 beginnt. Schätze zuerst: Ein spitzer Winkel hat weniger als $90^\circ$ . Auf der anderen Skala steht hier $40^\circ$ .

Häufige Fehler

Lange Schenkel, großer Winkel

Jemand sagt: „Der Winkel mit den langen Schenkeln ist größer als der mit den kurzen.“

Richtig ist

Der Winkel gibt nur an, wie weit die Schenkel auseinander stehen. Wie lang du sie zeichnest, ändert daran nichts. Zwei Winkel mit $50^\circ$ sind gleich groß, auch wenn die Schenkel unterschiedlich lang sind.

Häufige Fehler

Nullpunkt nicht auf dem Scheitelpunkt

Jemand legt das Geodreieck beim Messen so, dass die Null neben dem Scheitelpunkt liegt.

Richtig ist

Die Null der Skala muss genau auf dem Scheitelpunkt liegen, und die lange Kante muss genau auf einem Schenkel liegen. Sonst misst du zu groß oder zu klein.

Zusammenfassung

Ein Winkel entsteht aus zwei Schenkeln mit gemeinsamem Scheitelpunkt. Er zeigt, wie weit die Schenkel auseinander stehen.
Winkel misst du in Grad. Eine ganze Drehung hat $360^\circ$ , eine halbe $180^\circ$ , eine Viertel-Drehung $90^\circ$ .
Winkelarten: spitz (unter $90^\circ$ ), rechter ( $90^\circ$ ), stumpf (zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ ), gestreckt ( $180^\circ$ ), überstumpf (zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$ ), Vollwinkel ( $360^\circ$ ).
Zum Schätzen helfen der rechte Winkel eines Blatts und das Zifferblatt: Von Zahl zu Zahl sind es $30^\circ$ .
Beim Messen liegt die Null auf dem Scheitelpunkt und die lange Kante auf einem Schenkel. Lies auf der Skala ab, die dort bei 0 beginnt, und prüfe mit deiner Schätzung.
Einen überstumpfen Winkel erhältst du als $360^\circ$ minus dem kleineren Winkel auf der anderen Seite.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche Art von Winkel ist $135^\circ$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Wie groß ist der kleinere Winkel zwischen den Zeigern einer Uhr um 5 Uhr? Gib die Zahl in Grad an.

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Aussage über Winkel stimmt?

Aufgabe 4Numerisch

Du misst mit dem Geodreieck einen Winkel von $70^\circ$ . Auf der anderen Seite der Schenkel liegt ein überstumpfer Winkel. Wie groß ist er in Grad?

Aufgabe 5Numerisch

Der große Zeiger einer Uhr steht auf der 12. Der kleine Zeiger dreht sich von der 12 bis zur 7, und zwar im Uhrzeigersinn. Um wie viel Grad hat er sich gedreht?

Aufgabe 6Freitext

Beschreibe Schritt für Schritt, wie du mit dem Geodreieck einen Winkel von $65^\circ$ zeichnest.

Lektion 6.3 · Geometrische Grundbegriffe und ebene Figuren

Winkel messen, zeichnen und klassifizieren

Um 3 Uhr bilden die Zeiger einer Uhr eine Ecke wie das Blatt Papier vor dir. Um 6 Uhr zeigen sie in genau entgegengesetzte Richtungen. Um 1 Uhr stehen sie dicht beieinander.

Definition

Winkel, Schenkel und Scheitelpunkt

Definition

Winkelmaß in Grad

Winkel misst du in Grad. Das Zeichen ist ein kleiner Kreis oben: $^\circ$ . Eine ganze Drehung einmal herum hat 360 Grad. Ein Grad ist der 360. Teil davon.

Daraus folgt: Eine halbe Drehung hat $180^\circ$ , eine Viertel-Drehung hat $90^\circ$ . Die Schreibweise $\alpha = 50^\circ$ liest du: Der Winkel alpha misst 50 Grad.

\alpha = 50^\circ

Definition

Winkelarten

Nach ihrer Größe haben Winkel feste Namen:

Name	Größe	Merkhilfe
spitzer Winkel	größer als $0^\circ$ , kleiner als $90^\circ$	die Spitze eines Pizzastücks
rechter Winkel	genau $90^\circ$	die Ecke eines Blatts Papier
stumpfer Winkel	größer als $90^\circ$ , kleiner als $180^\circ$	eine weit offene Tür
gestreckter Winkel	genau $180^\circ$	die Schenkel bilden eine gerade Linie
überstumpfer Winkel	größer als $180^\circ$ , kleiner als $360^\circ$	ein Kuchen, aus dem ein Stück fehlt: der Rest
Vollwinkel	genau $360^\circ$	eine ganze Drehung

Beispiel

Winkelarten bestimmen

Welche Art von Winkel sind $35^\circ$ , $90^\circ$ , $120^\circ$ , $180^\circ$ und $250^\circ$ ?

Vergleiche jede Zahl mit 90, 180 und 360:

$35^\circ$ ist kleiner als $90^\circ$ : ein spitzer Winkel.
$90^\circ$ : ein rechter Winkel.
$120^\circ$ ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ : ein stumpfer Winkel.
$180^\circ$ : ein gestreckter Winkel.
$250^\circ$ ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$ : ein überstumpfer Winkel.

Beispiel

Winkel schätzen mit der Uhr

Wie groß ist der Winkel zwischen den Zeigern um 4 Uhr? Und wie groß ist er um 8 Uhr?

\begin{aligned} 360^\circ : 12 &= 30^\circ \\ \text{4 Uhr: } 4 \cdot 30^\circ &= 120^\circ \\ \text{8 Uhr: } 8 \cdot 30^\circ &= 240^\circ, \quad 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ \end{aligned}

Beispiel

Einen Winkel mit dem Geodreieck messen

Ein Schenkel eines Winkels $\alpha$ zeigt vom Scheitelpunkt $S$ aus nach rechts. Der andere Schenkel zeigt schräg nach oben. Miss $\alpha$ .

Gehe so vor:

Lege den Nullpunkt des Geodreiecks, die Mitte der langen Kante, genau auf $S$ .
Drehe das Geodreieck so, dass die lange Kante genau auf dem Schenkel nach rechts liegt. Ist ein Schenkel zu kurz, verlängere ihn mit dem Lineal.
Das Geodreieck hat zwei Winkelskalen. Nimm die Skala, die an dem Schenkel nach rechts bei 0 beginnt.
Lies an dem anderen Schenkel die Zahl ab. Hier gehen auf den beiden Skalen die Zahlen 40 und 140 durch den Schenkel. Auf der richtigen Skala steht 40.
Prüfe mit Schätzen: Der Winkel ist spitz, also muss die Zahl kleiner als 90 sein. Es ist $\alpha = 40^\circ$ .

Beispiel

Einen Winkel mit dem Geodreieck zeichnen

Zeichne einen Winkel $\alpha = 50^\circ$ .

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal einen Strahl nach rechts. Sein Anfangspunkt $S$ ist der Scheitelpunkt.
Lege den Nullpunkt des Geodreiecks auf $S$ und die lange Kante auf den Strahl.
Suche auf der Skala, die am Strahl bei 0 beginnt, die Zahl 50 und mache dort einen kleinen Punkt $P$ .
Nimm das Geodreieck weg und zeichne mit dem Lineal einen Strahl von $S$ durch $P$ . Zeichne einen Bogen zwischen den Schenkeln und schreibe $\alpha = 50^\circ$ .

Beispiel

Überstumpfe Winkel

Zeichne einen überstumpfen Winkel $\beta = 250^\circ$ . Wie misst du einen überstumpfen Winkel?

360^\circ - 250^\circ = 110^\circ

Häufige Fehler

Die falsche Skala ablesen

Jemand misst einen deutlich spitzen Winkel und liest $140^\circ$ ab.

Häufige Fehler

Lange Schenkel, großer Winkel

Jemand sagt: „Der Winkel mit den langen Schenkeln ist größer als der mit den kurzen.“

Häufige Fehler

Nullpunkt nicht auf dem Scheitelpunkt

Jemand legt das Geodreieck beim Messen so, dass die Null neben dem Scheitelpunkt liegt.

Die Null der Skala muss genau auf dem Scheitelpunkt liegen, und die lange Kante muss genau auf einem Schenkel liegen. Sonst misst du zu groß oder zu klein.

Zusammenfassung

Ein Winkel entsteht aus zwei Schenkeln mit gemeinsamem Scheitelpunkt. Er zeigt, wie weit die Schenkel auseinander stehen.
Winkel misst du in Grad. Eine ganze Drehung hat $360^\circ$ , eine halbe $180^\circ$ , eine Viertel-Drehung $90^\circ$ .
Winkelarten: spitz (unter $90^\circ$ ), rechter ( $90^\circ$ ), stumpf (zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ ), gestreckt ( $180^\circ$ ), überstumpf (zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$ ), Vollwinkel ( $360^\circ$ ).
Zum Schätzen helfen der rechte Winkel eines Blatts und das Zifferblatt: Von Zahl zu Zahl sind es $30^\circ$ .
Beim Messen liegt die Null auf dem Scheitelpunkt und die lange Kante auf einem Schenkel. Lies auf der Skala ab, die dort bei 0 beginnt, und prüfe mit deiner Schätzung.
Einen überstumpfen Winkel erhältst du als $360^\circ$ minus dem kleineren Winkel auf der anderen Seite.