Kenngrößen von Daten
Sieben Kinder aus der 6a haben ihre Schulwegzeit gemessen: 8, 12, 5, 20, 8, 15 und 9 Minuten. Die Lehrerin fragt: „Wie lange brauchen die Kinder ungefähr?“ Alle sieben Zahlen aufzusagen hilft nicht viel. Du möchtest eine einzige Zahl nennen, die die ganze Liste gut beschreibt.
Dafür gibt es nicht nur eine Zahl, sondern mehrere. Jede beantwortet eine andere Frage. Man nennt sie Kenngrößen. In dieser Lektion lernst du sechs davon kennen und erfährst, wann welche am besten passt.
Minimum, Maximum und Spannweite
Das Minimum ist der kleinste Wert einer Liste von Werten, das Maximum ist der größte. Die Spannweite sagt, wie weit die Werte auseinanderliegen. Du bekommst sie, wenn du das Minimum vom Maximum abziehst.
Modalwert
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Er hat die größte absolute Häufigkeit. Kommen zwei Werte gleich oft am häufigsten vor, gibt es zwei Modalwerte. Den Modalwert gibt es auch bei Wörtern: Wenn die meisten Kinder mit dem Bus fahren, ist „Bus“ der Modalwert.
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel nennst du im Alltag Durchschnitt. Du addierst alle Werte und teilst die Summe durch die Anzahl der Werte.
Stell dir drei Kinder mit 2, 4 und 9 Euro vor. Sie legen alles zusammen und bekommen 15 Euro. Sie teilen gerecht auf, jedes bekommt 5 Euro. Die 5 ist das arithmetische Mittel. Es zeigt, wie viel jeder hätte, wenn alle gleich viel hätten.
Median
Der Median ist der Wert in der Mitte, wenn du alle Werte der Größe nach ordnest. Etwa die Hälfte der Werte liegt darunter, die andere Hälfte darüber. Du ordnest also zuerst, danach suchst du die Mitte:
- Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median der mittlere Wert.
- Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei mittlere Werte. Der Median liegt genau in der Mitte zwischen ihnen. Du rechnest das arithmetische Mittel dieser zwei Werte.
Alle Kenngrößen der Schulwegzeiten
Alle Kenngrößen der Schulwegzeiten
Die Schulwegzeiten in Minuten sind 8, 12, 5, 20, 8, 15 und 9. Bestimme Minimum, Maximum, Spannweite, Modalwert, Mittelwert und Median.
Zuerst ordnest du die Werte. In der Rangliste steht ganz links das Minimum 5 und ganz rechts das Maximum 20. Die Spannweite ist Minuten. Die 8 kommt zweimal vor, alle anderen Werte nur einmal. Der Modalwert ist also 8.
Es sind sieben Werte. Der mittlere ist der vierte, also die 9. Der Median ist 9 Minuten. Die Summe aller Werte ist 77. Geteilt durch 7 ergibt das 11. Das arithmetische Mittel ist 11 Minuten. Es liegt über dem Median, weil das Kind mit 20 Minuten den Durchschnitt nach oben zieht.
Median bei gerader Anzahl
Median bei gerader Anzahl
Acht Kinder haben in einem Test diese Noten: 2, 3, 1, 4, 2, 5, 2, 3. Bestimme Median, Mittelwert und Modalwert.
Bei acht Werten gibt es zwei mittlere Werte: den vierten und den fünften. Das sind 2 und 3. Der Median liegt genau dazwischen, bei 2,5. Er muss also kein Wert sein, der in den Daten vorkommt. Die Summe aller Noten ist . Geteilt durch 8 ergibt das 2,75. Der Modalwert ist 2, denn die 2 kommt dreimal vor.
Ein Ausreißer: Mittelwert oder Median?
Ein Ausreißer: Mittelwert oder Median?
Fünf Kinder erzählen, wie viel Taschengeld sie im Monat bekommen: 10, 10, 12, 8 und 60 Euro. Berechne Mittelwert und Median. Welche Zahl beschreibt die Kinder besser?
Der Median ist 10 Euro, der Mittelwert 20 Euro. Vier Kinder bekommen etwa 10 Euro, nur eines bekommt 60 Euro. Der Mittelwert von 20 Euro passt zu keinem der Kinder. Ein Wert, der weit weg von den anderen liegt, heißt Ausreißer. Er zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt fast gleich. Bei einem Ausreißer beschreibt der Median das typische Kind besser.
Den Median ohne Ordnen suchen
Den Median ohne Ordnen suchen
Jemand sucht den Median der Urliste 8, 12, 5, 20, 8, 15, 9 und nimmt den mittleren Wert der Liste. Das ist die 20.
Der Median gehört zur geordneten Liste. Du ordnest zuerst: 5, 8, 8, 9, 12, 15, 20. Der mittlere Wert ist dann die 9. Die 20 ist sogar der größte Wert der Liste.
Durch die falsche Anzahl teilen
Durch die falsche Anzahl teilen
Jemand berechnet das arithmetische Mittel von 8, 8, 8 und 20 so: . Er sagt, es kommen ja nur zwei verschiedene Zahlen vor.
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt. Die Summe ist , und es sind 4 Werte. Richtig ist .
Zusammenfassung
Minimum und Maximum sind der kleinste und der größte Wert. Die Spannweite ist Maximum minus Minimum.
Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Er passt auch zu Wörtern.
Das arithmetische Mittel bekommst du, wenn du alle Werte addierst und durch die Anzahl der Werte teilst.
Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Liste. Bei gerader Anzahl nimmst du das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
Ein Ausreißer zieht den Mittelwert stark mit sich. Der Median bleibt fast gleich und beschreibt dann das typische Kind besser.
Übungen
Die Körpergrößen von fünf Kindern in Zentimetern sind 148, 152, 139, 160 und 145. Wie groß ist die Spannweite in Zentimetern?
Mia hat in fünf Tests diese Punkte erreicht: 6, 8, 10, 4 und 7. Wie groß ist das arithmetische Mittel?
Bestimme den Median der Werte 7, 3, 9, 1, 5 und 11.
Die Schuhgrößen von sieben Kindern sind 37, 38, 38, 39, 37, 38 und 40. Welcher Wert ist der Modalwert?
Tim schreibt vier Tests. In den ersten drei hat er 70, 85 und 90 Punkte. Wie viele Punkte braucht er im vierten Test, damit der Mittelwert genau 80 Punkte beträgt?
In einer Klasse mit 10 Kindern bekommen 9 Kinder 5 Euro Taschengeld in der Woche, ein Kind bekommt 50 Euro. Berechne Mittelwert und Median. Welche Zahl beschreibt die Klasse besser? Begründe.