Zählen und systematisches Aufzählen
In der Schulkantine gibt es heute drei Hauptgerichte: Nudeln, Pizza und Suppe. Dazu wählst du Wasser oder Saft. Wie viele verschiedene Menüs kannst du dir zusammenstellen?
Du kannst alles aufschreiben: Nudeln mit Wasser, Nudeln mit Saft, Pizza mit Wasser und so weiter. Bei kleinen Aufgaben geht das gut. Bei größeren Aufgaben vergisst du schnell eine Möglichkeit oder zählst eine doppelt. In dieser Lektion lernst du, wie du alle Möglichkeiten ordentlich erfasst und schnell zählst.
Systematisches Aufzählen
Beim systematischen Aufzählen schreibst du alle Möglichkeiten in einer festen Ordnung auf. Du hältst zuerst die erste Wahl fest und gehst alle Möglichkeiten der zweiten Wahl durch. Danach änderst du die erste Wahl und gehst die zweite Wahl wieder durch. So vergisst du keine Möglichkeit, und keine kommt doppelt vor.
Baumdiagramm
Ein Baumdiagramm zeigt die Möglichkeiten Schritt für Schritt. Es beginnt am Start. Von dort gehen so viele Äste ab, wie es Möglichkeiten für die erste Wahl gibt. An jedem Ast hängen neue Äste für die zweite Wahl, und so geht es weiter. Ein Weg vom Start bis zum Ende eines Astes ist eine einzelne Möglichkeit. Du zählst die Enden und weißt, wie viele Möglichkeiten es gibt. Weil wir hier nicht zeichnen, beschreiben wir den Baum mit Worten und schreiben die Wege als Tabelle auf.
Zählprinzip
Das Zählprinzip spart dir das Aufschreiben. Gibt es für die erste Wahl Möglichkeiten und für die zweite Wahl jeweils Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt Möglichkeiten. Das liegt am Baum: An jedem der Äste hängen neue Äste. Bei drei Wahlen rechnest du und so weiter. Wichtig ist: Die Zahl der Möglichkeiten für die zweite Wahl muss bei jeder ersten Wahl gleich groß sein.
Anordnungen und Paare zählen
Zwei Abzählverfahren kommen oft vor:
- Anordnungen: Drei Kinder stellen sich in eine Reihe. Für den ersten Platz gibt es 3 Kinder, für den zweiten noch 2, für den dritten noch 1. Das sind Möglichkeiten. Bei vier Kindern sind es .
- Jeder mit jedem: Vier Kinder geben sich alle die Hand. Das erste Kind gibt 3 Händedrücke. Das zweite hat das erste schon begrüßt und gibt noch 2. Das dritte gibt noch 1. Das sind Händedrücke. Ein Händedruck von A zu B ist derselbe wie von B zu A. Du zählst ihn nur einmal.
Menüs in der Kantine
Menüs in der Kantine
Es gibt drei Hauptgerichte (Nudeln, Pizza, Suppe) und zwei Getränke (Wasser, Saft). Wie viele Menüs gibt es? Wie viele sind es, wenn du noch eine von zwei Nachspeisen (Obst oder Pudding) wählst?
Im Baumdiagramm gehen vom Start drei Äste ab: Nudeln, Pizza und Suppe. An jedem Ast hängen zwei Äste: Wasser und Saft. Es gibt sechs Enden. Systematisch aufgezählt sind das diese Wege:
| Hauptgericht | Getränk |
|---|---|
| Nudeln | Wasser |
| Nudeln | Saft |
| Pizza | Wasser |
| Pizza | Saft |
| Suppe | Wasser |
| Suppe | Saft |
Du hast die erste Wahl festgehalten und die zweite durchlaufen. Mit der Nachspeise hängen an jedem der sechs Wege noch zwei Äste. Es sind Menüs.
Dreistellige Zahlen bilden
Dreistellige Zahlen bilden
Du bildest dreistellige Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3. Wie viele Zahlen gibt es, wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf? Wie viele sind es, wenn Ziffern sich wiederholen dürfen?
Ohne Wiederholung hast du für die Hunderterstelle 3 Ziffern. Für die Zehnerstelle bleiben 2, für die Einerstelle 1. Das sind 6 Zahlen. Systematisch aufgezählt: Mit der 1 vorn sind es 123 und 132. Mit der 2 vorn sind es 213 und 231. Mit der 3 vorn sind es 312 und 321. Das sind wirklich sechs. Dürfen sich die Ziffern wiederholen, hast du an jeder Stelle 3 Ziffern zur Auswahl. Dann sind es Zahlen.
Jeder gegen jeden
Jeder gegen jeden
Fünf Mannschaften A, B, C, D und E spielen in einer Runde. Jede Mannschaft spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
Du gehst die Mannschaften der Reihe nach durch. A spielt gegen B, C, D und E: 4 Spiele. B hat gegen A schon gespielt. Es kommen noch C, D und E dazu: 3 Spiele. C spielt noch gegen D und E: 2 Spiele. D spielt noch gegen E: 1 Spiel. E hat danach keinen neuen Gegner mehr. Insgesamt sind es 10 Spiele. Wenn du rechnest, zählst du jedes Spiel doppelt, denn A gegen B ist dasselbe Spiel wie B gegen A. Die Hälfte von 20 ist 10 und passt.
Addieren statt Multiplizieren
Addieren statt Multiplizieren
Jemand rechnet bei 3 Hauptgerichten und 2 Getränken: Menüs.
Jedes Hauptgericht lässt sich mit jedem Getränk kombinieren. Jedes der 3 Hauptgerichte kommt 2-mal vor, also . Die Tabelle aus dem Beispiel zeigt es: Sie hat sechs Zeilen, nicht fünf.
Eine Null am Anfang
Eine Null am Anfang
Jemand bildet aus den Ziffern 0, 1 und 2 dreistellige Zahlen ohne Wiederholung und rechnet .
Eine dreistellige Zahl darf nicht mit 0 beginnen, denn 012 ist nur die Zahl 12. Für die erste Stelle gibt es nur 2 Ziffern, nämlich 1 oder 2. Für die zweite Stelle bleiben 2 Ziffern, für die dritte 1. Richtig ist . Die Zahlen sind 102, 120, 201 und 210.
Zusammenfassung
Beim systematischen Aufzählen schreibst du alle Möglichkeiten in fester Ordnung auf. So fehlt keine, und keine kommt doppelt vor.
Ein Baumdiagramm hat für jede Wahl eine Stufe. Jeder Weg vom Start bis zum Ende ist eine Möglichkeit.
Zählprinzip: Gibt es Möglichkeiten für die erste und für die zweite Wahl, sind es Möglichkeiten. Du multiplizierst, du addierst nicht.
Bei einer Reihenfolge von Kindern oder Dingen sinkt die Zahl der Möglichkeiten mit jedem Platz um 1, zum Beispiel .
Bei „jeder mit jedem“ zählst du jedes Paar nur einmal: bei fünf Mannschaften.
Übungen
Du hast 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Wie viele verschiedene Outfits aus einem T-Shirt, einer Hose und einem Paar Schuhe gibt es?
Ein Zahlenschloss hat drei Ringe. Auf jedem Ring stehen die Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Zahlenkombinationen gibt es? Schreibe die Zahl ohne Punkt.
Vier Kinder setzen sich auf vier Stühle in einer Reihe. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es?
Sechs Kinder begrüßen sich, indem jedes Kind jedem anderen einmal die Hand gibt. Wie viele Händedrücke sind das?
Du bildest dreistellige Zahlen aus den Ziffern 0, 5 und 7. Jede Ziffer darf nur einmal vorkommen. Wie viele Zahlen gibt es?
Eine Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Jeder Wurf zeigt Kopf (K) oder Zahl (Z). Beschreibe das Baumdiagramm in Worten, schreibe alle Möglichkeiten auf und sage, wie viele es sind.