Lektion 9.6

Zufallserscheinungen und relative Häufigkeit

14 min Lesezeit

Vor dem Fußballspiel wirft der Schiedsrichter eine Münze. Bei Kopf darf die Heimmannschaft den Anstoß wählen, bei Zahl die Gäste. Niemand kann vorher wissen, was kommt. Trotzdem finden alle das fair. Warum?

Du kannst nicht vorhersagen, was bei einem einzelnen Wurf passiert. Aber du kannst etwas darüber sagen, wie oft Kopf bei vielen Würfen kommt. Und du kannst Chancen vergleichen: Ziehst du lieber aus Beutel A oder aus Beutel B, wenn du eine rote Kugel willst? In dieser Lektion lernst du, wie man mit dem Zufall umgeht.

Definition

Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang du vorher nicht sicher weißt. Du kannst ihn unter gleichen Bedingungen immer wieder durchführen. Beispiele sind ein Münzwurf, ein Würfelwurf, das Drehen eines Glücksrads oder das Ziehen einer Kugel aus einem Beutel. Besteht das Experiment nur aus einem Schritt, zum Beispiel einem Wurf, heißt es einstufig.

Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Beim Würfel sind das die Augenzahlen 1 bis 6. Ein Ereignis ist eine Aussage über das Ergebnis, die zutreffen kann, zum Beispiel „Die Augenzahl ist gerade“. Sie trifft bei den Ergebnissen 2, 4 und 6 zu.

Definition

Sicher, unmöglich und möglich

Ein Ereignis ist sicher, wenn es immer eintritt, zum Beispiel „Die Augenzahl ist kleiner als 7“. Es ist unmöglich, wenn es nie eintritt, zum Beispiel „Die Augenzahl ist 7“. Alles dazwischen ist möglich. Es kann eintreten, muss aber nicht.

Auch bei möglichen Ereignissen gibt es Unterschiede. Wir nehmen einen fairen Würfel, bei dem jede Zahl gleich gut kommen kann. „Die Augenzahl ist gerade“ trifft bei 3 von 6 Ergebnissen zu. „Die Augenzahl ist 6“ trifft nur bei 1 von 6 zu. Das erste Ereignis ist wahrscheinlicher. Je mehr Ergebnisse günstig sind, desto größer ist die Chance.

Definition

Gewinnchancen vergleichen

Bei einem Beutel mit gleich großen Kugeln oder einem Glücksrad mit gleich großen Feldern vergleichst du Chancen mit einem Bruch. Du fragst: Wie viele Kugeln oder Felder bringen mir den Gewinn, und wie viele gibt es insgesamt? Je größer dieser Anteil ist, desto größer ist die Gewinnchance. Mehrere Anteile vergleichst du wie Brüche, zum Beispiel mit dem Hauptnenner.

Definition

Relative Häufigkeit als Schätzwert

Oft kannst du die Chance nicht ausrechnen. Eine Reißzwecke zum Beispiel fällt mit der Spitze nach oben oder liegt schräg auf der Kante. Wie oft was passiert, siehst du ihr nicht an. Dann führst du das Experiment durch und zählst. Die relative Häufigkeit ist die Anzahl der Treffer geteilt durch die Anzahl der Versuche. Sie ist ein Schätzwert für die Chance.

Je öfter du das Experiment wiederholst, desto verlässlicher ist die Schätzung. Bei wenigen Versuchen schwanken die Werte stark. Bei einer Münze könnte eine Klasse diese Ergebnisse für Kopf bekommen:

Anzahl der Würfe1050100500
Kopf72854247
Relative Häufigkeit0,70,560,540,494

Die Werte nähern sich 0,5, also der Hälfte. Das passt zu einer Münze, bei der Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind. Auch bei vielen Würfen ist die relative Häufigkeit aber nur ein Schätzwert und trifft die Hälfte nicht genau.

Beispiel

Ereignisse beim Würfel einordnen

Ordne die Ereignisse bei einem fairen Würfel ein: sicher, unmöglich oder möglich. Bei den möglichen sagst du, bei wie vielen der 6 Ergebnisse sie eintreten.

Du prüfst bei jedem Ereignis, bei welchen Augenzahlen es zutrifft.

EreignisEinordnungTrifft zu bei
Die Augenzahl ist kleiner als 7sicherallen 6 Ergebnissen
Die Augenzahl ist 7unmöglichkeinem Ergebnis
Die Augenzahl ist gerademöglich2, 4 und 6, also 3 von 6
Die Augenzahl ist 6möglichnur 6, also 1 von 6

„Gerade“ hat die größere Chance als „6“, weil mehr Ergebnisse günstig sind.

Beispiel

Gewinnchancen vergleichen

a) Beutel A enthält 4 rote und 1 blaue Kugel. Beutel B enthält 3 rote und 3 blaue Kugeln. Aus welchem Beutel ziehst du lieber, wenn du Rot willst?

b) Beutel C enthält 3 rote von 8 Kugeln, Beutel D 2 rote von 5 Kugeln. Welcher Beutel gibt die bessere Chance auf Rot?

a) 45 gegen 36=12b) 38=1540 gegen 25=1640\text{a) } \frac{4}{5} \text{ gegen } \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \qquad \text{b) } \frac{3}{8} = \frac{15}{40} \text{ gegen } \frac{2}{5} = \frac{16}{40}

Bei a) sind in Beutel A 4 von 5 Kugeln rot, in Beutel B 3 von 6, also genau die Hälfte. Vier Fünftel sind mehr als die Hälfte, also ziehst du lieber aus Beutel A. Bei b) haben die Beutel verschiedene Nenner. Du erweiterst auf den Hauptnenner 40. Dann ist 38=1540\frac{3}{8} = \frac{15}{40} und 25=1640\frac{2}{5} = \frac{16}{40}. Weil 16 größer als 15 ist, hat Beutel D die etwas bessere Chance.

Beispiel

Eine Reißzwecke schätzen

Mia wirft eine Reißzwecke 200-mal. 118-mal landet sie mit der Spitze nach oben. Schätze die Chance für „Spitze oben“. Wie oft passiert das ungefähr bei 1000 Würfen?

118200=59100=0,591000⋅0,59=590\frac{118}{200} = \frac{59}{100} = 0{,}59 \qquad 1000 \cdot 0{,}59 = 590

Die relative Häufigkeit ist 118 von 200. Du kürzt mit 2 auf 59100\frac{59}{100}, das sind 0,59 oder 59 Prozent. Das ist deine Schätzung für die Chance. Bei 1000 Würfen erwartest du etwa 1000⋅0,59=5901000 \cdot 0{,}59 = 590 Mal Spitze oben. Es können aber auch 580 oder 600 Mal sein. Die Rechnung sagt dir nur, was ungefähr zu erwarten ist.

Häufige Fehler

Der Zufall gleicht aus

Lena hat viermal hintereinander Zahl geworfen. Sie sagt: „Jetzt muss Kopf kommen, damit es sich ausgleicht.“

Richtig ist

Eine Münze hat kein Gedächtnis. Beim nächsten Wurf sind Kopf und Zahl wieder gleich wahrscheinlich, egal was vorher kam. Bei sehr vielen Würfen nähert sich die relative Häufigkeit der Hälfte. Das liegt aber nicht daran, dass die Münze ausgleicht. Ein paar Würfe mit Zahl fallen in einer großen Zahl von Würfen kaum noch auf.

Häufige Fehler

Zwei Ausgänge heißt halbe Chance

Jemand sagt: „Morgen regnet es oder es regnet nicht. Also ist die Chance auf Regen genau die Hälfte.“

Richtig ist

Zwei mögliche Ergebnisse sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Bei der Münze stimmt es, beim Regen und bei der Reißzwecke nicht. Dann schätzt du die Chance, zum Beispiel mit der relativen Häufigkeit aus vielen Versuchen.

Zusammenfassung

  • Ein Zufallsexperiment hat einen Ausgang, den du vorher nicht sicher weißt. Einstufig heißt, es besteht aus einem Schritt, zum Beispiel einem Wurf.

  • Ein Ereignis ist sicher, wenn es immer eintritt, und unmöglich, wenn es nie eintritt. Dazwischen ist es möglich.

  • Bei gleich großen Feldern oder Kugeln vergleichst du Gewinnchancen mit dem Anteil der günstigen Ergebnisse. Je größer der Anteil, desto größer die Chance.

  • Die relative Häufigkeit (Treffer geteilt durch Versuche) ist ein Schätzwert für die Chance.

  • Je mehr Versuche, desto verlässlicher ist die Schätzung. Genau trifft sie auch bei vielen Versuchen nicht.

  • Der Zufall hat kein Gedächtnis, und zwei Ausgänge sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Du wirfst einen normalen Würfel. Welches Ereignis ist unmöglich?

Aufgabe 2Numerisch

Eine Münze wird 200-mal geworfen. 108-mal fällt Zahl. Wie groß ist die relative Häufigkeit von Zahl in Prozent?

Aufgabe 3Multiple Choice

Beutel A hat 5 rote von 12 Kugeln. Beutel B hat 3 rote von 8 Kugeln. Aus welchem Beutel ziehst du lieber, wenn du Rot willst?

Aufgabe 4Numerisch

Eine Reißzwecke wird 250-mal geworfen. 90-mal landet sie mit der Spitze nach oben. Wie groß ist die relative Häufigkeit dafür in Prozent?

Aufgabe 5Numerisch

Du nimmst die 36 Prozent aus der letzten Aufgabe als Schätzung. Wie oft landet die Reißzwecke bei 1000 Würfen ungefähr mit der Spitze nach oben?

Aufgabe 6Freitext

Eine Freundin hat fünfmal hintereinander Zahl geworfen und sagt: „Der nächste Wurf ist bestimmt Kopf.“ Was antwortest du? Begründe.