Statistische Erhebungen und Häufigkeiten
Die Klassensprecherin der 6a möchte wissen, wie die Kinder der Schule zur Schule kommen. Vielleicht braucht die Schule mehr Fahrradständer. Vielleicht ist eine Bushaltestelle näher am Eingang nötig. Sie kann nicht raten, sie muss die Kinder fragen.
Dabei tauchen Fragen auf. Wen fragt sie, alle 600 Kinder oder nur einige? Wie schreibt sie die Antworten auf, damit nichts durcheinandergerät? Und woran sieht sie am Ende, was die meisten Kinder tun?
Wenn man Daten sammelt und auswertet, nennt man das Statistik. In dieser Lektion machst du die ersten Schritte.
Erhebung, Merkmal und Stichprobe
Eine statistische Erhebung sammelt Daten, um eine Frage zu beantworten. Die Daten bekommst du durch eine Befragung, durch Zählen oder durch Messen. Vorher planst du drei Dinge:
- Die Frage und das Merkmal. Das Merkmal ist das, was du wissen willst, zum Beispiel das Verkehrsmittel auf dem Schulweg. Die möglichen Antworten heißen Ausprägungen: zu Fuß, Rad, Bus, Auto. Lege sie vorher fest und nimm auch „anderes“ dazu.
- Die Gruppe, über die du etwas wissen willst. Alle 600 Kinder zu fragen kostet viel Zeit. Deshalb fragst du oft nur einen Teil. Dieser Teil heißt Stichprobe.
- Wen du in die Stichprobe nimmst. Eine gute Stichprobe ist nicht zu klein. Sie enthält Kinder aus allen Klassenstufen und nicht nur deine Freunde. Du wählst die Kinder zufällig aus, zum Beispiel jedes zehnte Kind auf der Schülerliste.
Urliste, Strichliste und Rangliste
Die Antworten schreibst du zuerst auf, so wie sie kommen. Diese Liste heißt Urliste. Sie ist oft lang und unübersichtlich. Zwei Hilfen ordnen sie:
- Strichliste: Für jede Antwort machst du einen Strich in der Zeile der passenden Ausprägung. Jeder fünfte Strich geht quer durch die vier davor. So zählst du in Fünferbündeln und verzählst dich seltener.
- Rangliste: Bei Zahlen ordnest du alle Werte der Größe nach, vom kleinsten zum größten. Gleiche Werte stehen dann nebeneinander und lassen sich leicht zählen.
Absolute und relative Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit sagt, wie oft ein Wert in den Daten vorkommt. Sie ist eine Anzahl. Die relative Häufigkeit sagt, welchen Anteil der Wert an allen Daten hat. Du bekommst sie, wenn du die absolute Häufigkeit durch die Anzahl aller Daten teilst. Du kannst sie als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent angeben.
Eine Häufigkeitstabelle zeigt beides für jede Ausprägung. Zwei Proben helfen beim Prüfen: Alle absoluten Häufigkeiten zusammen ergeben die Anzahl aller Daten. Alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben 1, also 100 Prozent.
Von der Urliste zur Häufigkeitstabelle
Von der Urliste zur Häufigkeitstabelle
Die Klassensprecherin fragt 20 Kinder nach ihrem Verkehrsmittel. Die Urliste lautet: Bus, Rad, Fuß, Bus, Auto, Bus, Fuß, Rad, Bus, Fuß, Bus, Rad, Auto, Fuß, Bus, Rad, Bus, Fuß, Auto, Bus. Erstelle die Häufigkeitstabelle.
Du gehst die Urliste von vorn nach hinten durch und machst für jede Antwort einen Strich. Beim Bus sind es am Ende 8 Striche: ein Fünferbündel und drei Striche. Die Zahl der Striche ist die absolute Häufigkeit. Danach teilst du durch 20 und erweiterst auf Hundertstel. Beim Bus gilt .
| Verkehrsmittel | Absolute Häufigkeit | Relative Häufigkeit |
|---|---|---|
| Bus | 8 | |
| Zu Fuß | 5 | |
| Rad | 4 | |
| Auto | 3 | |
| Zusammen | 20 |
Probe: und . Beides stimmt. Die meisten Kinder, nämlich 40 Prozent, kommen mit dem Bus.
Zahlen als Rangliste
Zahlen als Rangliste
20 Kinder sagen, wie viele Geschwister sie haben. Die Urliste lautet: 1, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1. Ordne die Werte und erstelle die Häufigkeitstabelle.
Die Formel zeigt die Rangliste: vier Nullen, neun Einsen, fünf Zweien und zwei Dreien. Das sind Werte, so viele wie Kinder. Die relative Häufigkeit rechnest du wieder über Hundertstel: , , und .
| Geschwister | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Absolute Häufigkeit | 4 | 9 | 5 | 2 |
| Relative Häufigkeit | 20 % | 45 % | 25 % | 10 % |
Probe: .
Gruppen vergleichen
Gruppen vergleichen
In der 6a fahren 8 von 20 Kindern mit dem Bus. In der 6b sind es 9 von 30 Kindern. In welcher Klasse fährt ein größerer Anteil mit dem Bus?
In der 6b fahren mehr Kinder mit dem Bus, nämlich 9 gegenüber 8. Aber die Klassen sind verschieden groß. Deshalb sagt die absolute Häufigkeit hier wenig. Die relative Häufigkeit vergleicht fair, denn sie bezieht sich auf die Größe der Gruppe. In der 6a fahren 40 Prozent mit dem Bus, in der 6b nur 30 Prozent. In der 6a ist der Anteil größer.
Daten aus Sekundärquellen
Du musst nicht immer selbst fragen. Oft hat schon jemand anderes Daten gesammelt, zum Beispiel das Statistische Bundesamt, eine Zeitung oder eine Internetseite. Solche Daten stammen aus Sekundärquellen. Sie sparen dir Arbeit, aber du prüfst sie vorher. Wer hat die Daten erhoben, und wann? Wie viele Personen wurden gefragt? Welche Frage wurde gestellt? Ohne diese Angaben weißt du nicht, wie viel du den Zahlen trauen kannst.
Eine schiefe Stichprobe
Eine schiefe Stichprobe
Jonas will wissen, ob die Schule mehr Zeit zum Mittagessen geben soll. Er fragt nur die Kinder, die gerade in der Mensa sitzen. Dann sagt er: „Alle Kinder der Schule wollen mehr Zeit zum Essen.“
In der Mensa sitzen nur Kinder, die dort essen. Die Kinder mit Pausenbrot fehlen. Das Ergebnis gilt deshalb nicht für die ganze Schule. Besser wählst du aus jeder Klasse zufällig einige Kinder aus. Die Stichprobe muss auch groß genug sein, sonst entscheidet der Zufall.
Durch die falsche Zahl teilen
Durch die falsche Zahl teilen
Von 20 Kindern haben 5 ein Haustier. Jemand rechnet für die relative Häufigkeit , also durch die Kinder ohne Haustier.
Du teilst immer durch die Anzahl aller Daten, hier durch 20. Richtig ist . Die Probe zeigt, dass es stimmt: Die Kinder ohne Haustier haben , und .
Zusammenfassung
Eine Erhebung beginnt mit einer klaren Frage. Das Merkmal ist das, was du wissen willst, die möglichen Antworten sind die Ausprägungen.
Eine Stichprobe ist ein Teil der Gruppe. Sie ist gut, wenn sie zufällig ausgewählt, nicht zu klein und gemischt ist.
Die Urliste enthält die Antworten in der Reihenfolge, wie sie kommen. Strichliste und Rangliste ordnen sie.
Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl. Die relative Häufigkeit ist der Anteil: absolute Häufigkeit geteilt durch die Anzahl aller Daten.
Die Probe: Alle absoluten Häufigkeiten ergeben die Anzahl aller Daten, alle relativen ergeben 100 Prozent. Verschieden große Gruppen vergleichst du mit der relativen Häufigkeit.
Daten aus Sekundärquellen sind fremde Daten. Du prüfst, wer sie wann und mit welcher Frage erhoben hat.
Übungen
In einer Klasse mit 25 Kindern sagen 10 Kinder, dass der Hund ihr Lieblingstier ist. Wie viel Prozent der Kinder sind das?
Du willst wissen, ob die Kinder deiner Schule (Klasse 5 bis 10) ein neues Angebot in der Pause möchten. Welche Stichprobe ist am besten?
Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Augenzahlen 1 bis 5 kommen 2-mal, 4-mal, 3-mal, 5-mal und 2-mal vor. Wie oft kam die 6?
Bei den 20 Würfen aus der letzten Aufgabe kam die 4 genau 5-mal vor. Wie groß ist die relative Häufigkeit der 4 in Prozent?
Welche dieser Daten stammen aus einer Sekundärquelle?
Du möchtest wissen, welches Fach die Kinder deiner Klasse am liebsten mögen. Plane die Befragung: Wie lautet die Frage, welche Antworten gibst du vor, und wen fragst du?