Lektion 3.3

Dreieckskonstruktionen

17 min Lesezeit

Du sollst einer Freundin am Telefon erklären, wie sie ein bestimmtes Dreieck zeichnet. Du darfst ihr nur Zahlen und Anweisungen nennen. „Zeichne ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 6 cm und 7 cm“ reicht. Aber reicht auch „Zeichne ein Dreieck mit den Winkeln $40^\circ$ , $60^\circ$ und $80^\circ$ “? Und gibt es zu jeder Angabe überhaupt ein Dreieck?

In dieser Lektion zeichnest du Dreiecke genau mit Zirkel, Lineal und Geodreieck. Du schreibst auf, wie du vorgehst. Und du prüfst vorher, ob es ein Dreieck gibt und ob es nur eines gibt.

Definition

Planfigur und Konstruktionsbeschreibung

Eine Konstruktion ist eine genaue Zeichnung mit Lineal, Zirkel und Geodreieck. Du gehst immer so vor:

Zeichne zuerst eine Planfigur. Das ist eine kleine Skizze aus freier Hand. Du trägst die gegebenen Seiten und Winkel ein und beschriftest die Ecken. Sie muss nicht genau sein, sie zeigt dir die Reihenfolge der Schritte.
Zeichne dann die genaue Figur.
Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Schritt für Schritt, jeder Schritt in einem Satz. So kann jemand anderes dasselbe Dreieck zeichnen.

Die Seiten sind wie immer bezeichnet: $a = \overline{BC}$ , $b = \overline{CA}$ und $c = \overline{AB}$ . Jede liegt der Ecke mit demselben Buchstaben gegenüber. Einen Winkel antragen heißt: Du legst den Nullpunkt des Geodreiecks auf die Ecke und die lange Kante auf die Strecke. Auf der Skala, die an der Strecke bei 0 beginnt, machst du bei der gewünschten Gradzahl einen Punkt. Dann zeichnest du von der Ecke durch den Punkt einen Strahl.

Beispiel

Drei Seiten (SSS)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a = 4$ cm, $b = 5$ cm und $c = 6$ cm.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $b = 5$ cm. Der Punkt $C$ muss 5 cm von $A$ entfernt sein.
Schritt 3: Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 4$ cm. Der Punkt $C$ muss 4 cm von $B$ entfernt sein.
Schritt 4: Der Schnittpunkt der beiden Bögen ist $C$ . Verbinde $C$ mit $A$ und mit $B$ .

Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten, über und unter $\overline{AB}$ . Die beiden Dreiecke sind Spiegelbilder an $\overline{AB}$ und damit kongruent. Probe: Du misst etwa $\alpha \approx 41^\circ$ , $\beta \approx 56^\circ$ und $\gamma \approx 83^\circ$ . Die Summe ist $180^\circ$ .

Beispiel

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $b = 5$ cm, $c = 6$ cm und $\alpha = 50^\circ$ .

Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$ zwischen den Seiten $b$ und $c$ .

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AB}$ den Winkel $\alpha = 50^\circ$ an und zeichne den freien Schenkel als Strahl.
Schritt 3: Miss auf dem Strahl von $A$ aus $b = 5$ cm ab. Das ist der Punkt $C$ .
Schritt 4: Verbinde $C$ mit $B$ .

Probe: Die Seite $a$ misst etwa 4,7 cm.

Beispiel

Eine Seite und zwei Winkel (WSW)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 6$ cm, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ .

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AB}$ den Winkel $50^\circ$ an und zeichne den Strahl.
Schritt 3: Trage in $B$ an $\overline{AB}$ den Winkel $60^\circ$ an, auf derselben Seite von $\overline{AB}$ , und zeichne den Strahl.
Schritt 4: Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist $C$ .

Der dritte Winkel ist $\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ . Probe: $a \approx 4{,}9$ cm und $b \approx 5{,}5$ cm. Ist eine Seite und sind zwei Winkel gegeben, die nicht beide an ihr anliegen, rechnest du erst den dritten Winkel aus. Dann hast du wieder zwei anliegende Winkel.

Beispiel

Zwei Seiten und ein Winkel gegenüber (SsW)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a = 7$ cm, $b = 5$ cm und $\alpha = 65^\circ$ .

Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber, und $a$ ist die längere der beiden Seiten.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AC}$ mit $b = 5$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AC}$ den Winkel $\alpha = 65^\circ$ an und zeichne den freien Schenkel als Strahl.
Schritt 3: Zeichne um $C$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 7$ cm.
Schritt 4: Der Schnittpunkt des Bogens mit dem Strahl ist $B$ . Verbinde $B$ mit $C$ .

Der Bogen schneidet die Gerade durch den Strahl zweimal. Der zweite Schnittpunkt liegt aber hinter $A$ und nicht auf dem Strahl. Es bleibt ein Dreieck. Probe: $c \approx 7{,}4$ cm.

Definition

Lösbarkeit und Lösungsvielfalt

Nicht zu jeder Angabe gibt es ein Dreieck, und manchmal gibt es mehrere. Dreiecke zählen dabei als „dasselbe“, wenn sie kongruent sind.

Angaben	Wann gibt es ein Dreieck?	Wie viele?
SSS	wenn die beiden kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste (Dreiecksungleichung)	eines
SWS	immer	eines
WSW	wenn die beiden Winkel zusammen kleiner als $180^\circ$ sind	eines
SsW	immer	eines
zwei Seiten, Winkel der kürzeren Seite gegenüber	hängt von den Längen ab	keines, eines oder zwei
WWW	wenn die drei Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben	unendlich viele, verschieden groß

Bei SSS mit 2 cm, 3 cm und 7 cm schneiden sich die Bögen nicht, denn $2 + 3 < 7$ . Bei WSW mit $\alpha = 100^\circ$ und $\beta = 90^\circ$ laufen die Strahlen auseinander.

Ein Beispiel mit zwei Lösungen: Gegeben sind $a = 4$ cm, $b = 5$ cm und $\alpha = 40^\circ$ . Du zeichnest wie oben $\overline{AC}$ mit 5 cm und den Strahl bei $A$ . Der Bogen um $C$ mit Radius 4 cm schneidet den Strahl in zwei Punkten. Das gibt zwei verschiedene Dreiecke, mit $c \approx 6{,}2$ cm und mit $c \approx 1{,}4$ cm. Wäre $a$ nur 2 cm lang, würde der Bogen den Strahl gar nicht erreichen.

Definition

Konstruieren mit Geometriesoftware

Du kannst dieselben Konstruktionen am Computer machen, mit einer dynamischen Geometriesoftware wie GeoGebra. Dort erzeugst du Punkte, Strecken mit fester Länge, Kreise mit gegebenem Radius, Winkel mit gegebener Größe und Schnittpunkte. Die Schritte sind dieselben wie mit Zirkel und Lineal.

Der Vorteil ist der Zugmodus: Du ziehst mit der Maus an einem Punkt, und die Konstruktion passt sich an. Eine richtige Konstruktion bleibt dabei richtig. Beim Beispiel mit zwei Lösungen siehst du, wie die zweite Lösung erscheint oder verschwindet, wenn du den Radius veränderst. Länge und Winkel lassen sich anzeigen, das ist die Probe. Die Software nimmt dir das Verstehen aber nicht ab: Du musst wissen, welche Schritte nötig sind.

Häufige Fehler

Der Winkel liegt an der falschen Ecke

Jemand soll das Dreieck mit $b = 5$ cm, $c = 6$ cm und $\alpha = 50^\circ$ zeichnen. Er zeichnet $\overline{AB}$ und trägt den Winkel $50^\circ$ bei $B$ an.

Richtig ist

Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$ , zwischen den Seiten $b$ und $c$ . Lies in der Aufgabe genau, bei welcher Ecke der Winkel liegt und zwischen welchen Seiten. Mache dazu eine Planfigur.

Häufige Fehler

Nicht prüfen, ob es das Dreieck gibt

Jemand versucht, ein Dreieck mit $a = 2$ cm, $b = 3$ cm und $c = 7$ cm zu zeichnen. Die Kreisbögen treffen sich nicht, und er vermutet, er habe falsch gemessen.

Richtig ist

Es gibt dieses Dreieck nicht. Die beiden kürzeren Seiten sind zusammen nur $2 + 3 = 5$ cm lang, die längste Seite aber 7 cm. Prüfe vor dem Zeichnen die Dreiecksungleichung.

Häufige Fehler

Drei Winkel legen ein Dreieck fest

Jemand sagt: „Mit $40^\circ$ , $60^\circ$ und $80^\circ$ ist das Dreieck eindeutig bestimmt.“

Richtig ist

Es gibt unendlich viele Dreiecke mit diesen Winkeln, kleine und große. Sie haben dieselbe Form, aber verschiedene Seitenlängen. Du brauchst mindestens eine Seite.

Zusammenfassung

Vor jeder Konstruktion zeichnest du eine Planfigur. Danach schreibst du die Konstruktionsbeschreibung in Schritten.
Die Kongruenzsätze sind Konstruktionsrezepte: SSS mit zwei Kreisbögen, SWS und WSW mit angetragenen Winkeln, SsW mit Winkel und Kreisbogen.
Bei SSS muss die Dreiecksungleichung gelten. Bei WSW müssen die zwei Winkel zusammen kleiner als $180^\circ$ sein.
Liegt der Winkel bei zwei Seiten der kürzeren Seite gegenüber, kann es kein, ein oder zwei Dreiecke geben.
Drei Winkel allein legen nur die Form fest. Es gibt unendlich viele verschieden große Dreiecke.
Mit Geometriesoftware konstruierst du dieselben Schritte. Im Zugmodus prüfst du, ob die Konstruktion bei jeder Lage stimmt.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Für welche Seitenlängen gibt es kein Dreieck?

Aufgabe 2Multiple Choice

Bei welchen Angaben sind alle Dreiecke, die dazu passen, kongruent?

Aufgabe 3Numerisch

Du willst ein Dreieck mit $c = 6$ cm und $\alpha = 100^\circ$ zeichnen. Der Winkel $\beta$ soll eine ganze Zahl in Grad sein. Wie groß darf $\beta$ höchstens sein?

Aufgabe 4Numerisch

Zwei Seiten eines Dreiecks sind 5 cm und 9 cm lang. Die dritte Seite soll eine ganze Zahl in Zentimetern sein. Wie viele verschiedene Längen sind möglich?

Aufgabe 5Multiple Choice

Gegeben sind $a = 4$ cm, $b = 5$ cm und $\alpha = 30^\circ$ . Der Winkel liegt der kürzeren Seite $a$ gegenüber. Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es?

Aufgabe 6Freitext

Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung für das Dreieck $ABC$ mit $a = 5$ cm, $b = 6$ cm und $\gamma = 40^\circ$ .

Lektion 3.3 · Dreiecke, Kongruenz und Kreissätze

Dreieckskonstruktionen

In dieser Lektion zeichnest du Dreiecke genau mit Zirkel, Lineal und Geodreieck. Du schreibst auf, wie du vorgehst. Und du prüfst vorher, ob es ein Dreieck gibt und ob es nur eines gibt.

Definition

Planfigur und Konstruktionsbeschreibung

Eine Konstruktion ist eine genaue Zeichnung mit Lineal, Zirkel und Geodreieck. Du gehst immer so vor:

Zeichne zuerst eine Planfigur. Das ist eine kleine Skizze aus freier Hand. Du trägst die gegebenen Seiten und Winkel ein und beschriftest die Ecken. Sie muss nicht genau sein, sie zeigt dir die Reihenfolge der Schritte.
Zeichne dann die genaue Figur.
Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Schritt für Schritt, jeder Schritt in einem Satz. So kann jemand anderes dasselbe Dreieck zeichnen.

Beispiel

Drei Seiten (SSS)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a = 4$ cm, $b = 5$ cm und $c = 6$ cm.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $b = 5$ cm. Der Punkt $C$ muss 5 cm von $A$ entfernt sein.
Schritt 3: Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 4$ cm. Der Punkt $C$ muss 4 cm von $B$ entfernt sein.
Schritt 4: Der Schnittpunkt der beiden Bögen ist $C$ . Verbinde $C$ mit $A$ und mit $B$ .

Beispiel

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $b = 5$ cm, $c = 6$ cm und $\alpha = 50^\circ$ .

Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$ zwischen den Seiten $b$ und $c$ .

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AB}$ den Winkel $\alpha = 50^\circ$ an und zeichne den freien Schenkel als Strahl.
Schritt 3: Miss auf dem Strahl von $A$ aus $b = 5$ cm ab. Das ist der Punkt $C$ .
Schritt 4: Verbinde $C$ mit $B$ .

Probe: Die Seite $a$ misst etwa 4,7 cm.

Beispiel

Eine Seite und zwei Winkel (WSW)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $c = 6$ cm, $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ .

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $c = 6$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AB}$ den Winkel $50^\circ$ an und zeichne den Strahl.
Schritt 3: Trage in $B$ an $\overline{AB}$ den Winkel $60^\circ$ an, auf derselben Seite von $\overline{AB}$ , und zeichne den Strahl.
Schritt 4: Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist $C$ .

Beispiel

Zwei Seiten und ein Winkel gegenüber (SsW)

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit $a = 7$ cm, $b = 5$ cm und $\alpha = 65^\circ$ .

Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber, und $a$ ist die längere der beiden Seiten.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AC}$ mit $b = 5$ cm.
Schritt 2: Trage in $A$ an $\overline{AC}$ den Winkel $\alpha = 65^\circ$ an und zeichne den freien Schenkel als Strahl.
Schritt 3: Zeichne um $C$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 7$ cm.
Schritt 4: Der Schnittpunkt des Bogens mit dem Strahl ist $B$ . Verbinde $B$ mit $C$ .

Der Bogen schneidet die Gerade durch den Strahl zweimal. Der zweite Schnittpunkt liegt aber hinter $A$ und nicht auf dem Strahl. Es bleibt ein Dreieck. Probe: $c \approx 7{,}4$ cm.

Definition

Lösbarkeit und Lösungsvielfalt

Nicht zu jeder Angabe gibt es ein Dreieck, und manchmal gibt es mehrere. Dreiecke zählen dabei als „dasselbe“, wenn sie kongruent sind.

Angaben	Wann gibt es ein Dreieck?	Wie viele?
SSS	wenn die beiden kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste (Dreiecksungleichung)	eines
SWS	immer	eines
WSW	wenn die beiden Winkel zusammen kleiner als $180^\circ$ sind	eines
SsW	immer	eines
zwei Seiten, Winkel der kürzeren Seite gegenüber	hängt von den Längen ab	keines, eines oder zwei
WWW	wenn die drei Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben	unendlich viele, verschieden groß

Bei SSS mit 2 cm, 3 cm und 7 cm schneiden sich die Bögen nicht, denn $2 + 3 < 7$ . Bei WSW mit $\alpha = 100^\circ$ und $\beta = 90^\circ$ laufen die Strahlen auseinander.

Definition

Konstruieren mit Geometriesoftware

Häufige Fehler

Der Winkel liegt an der falschen Ecke

Jemand soll das Dreieck mit $b = 5$ cm, $c = 6$ cm und $\alpha = 50^\circ$ zeichnen. Er zeichnet $\overline{AB}$ und trägt den Winkel $50^\circ$ bei $B$ an.

Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$ , zwischen den Seiten $b$ und $c$ . Lies in der Aufgabe genau, bei welcher Ecke der Winkel liegt und zwischen welchen Seiten. Mache dazu eine Planfigur.

Häufige Fehler

Nicht prüfen, ob es das Dreieck gibt

Jemand versucht, ein Dreieck mit $a = 2$ cm, $b = 3$ cm und $c = 7$ cm zu zeichnen. Die Kreisbögen treffen sich nicht, und er vermutet, er habe falsch gemessen.

Es gibt dieses Dreieck nicht. Die beiden kürzeren Seiten sind zusammen nur $2 + 3 = 5$ cm lang, die längste Seite aber 7 cm. Prüfe vor dem Zeichnen die Dreiecksungleichung.

Häufige Fehler

Drei Winkel legen ein Dreieck fest

Jemand sagt: „Mit $40^\circ$ , $60^\circ$ und $80^\circ$ ist das Dreieck eindeutig bestimmt.“

Es gibt unendlich viele Dreiecke mit diesen Winkeln, kleine und große. Sie haben dieselbe Form, aber verschiedene Seitenlängen. Du brauchst mindestens eine Seite.

Zusammenfassung

Vor jeder Konstruktion zeichnest du eine Planfigur. Danach schreibst du die Konstruktionsbeschreibung in Schritten.
Die Kongruenzsätze sind Konstruktionsrezepte: SSS mit zwei Kreisbögen, SWS und WSW mit angetragenen Winkeln, SsW mit Winkel und Kreisbogen.
Bei SSS muss die Dreiecksungleichung gelten. Bei WSW müssen die zwei Winkel zusammen kleiner als $180^\circ$ sein.
Liegt der Winkel bei zwei Seiten der kürzeren Seite gegenüber, kann es kein, ein oder zwei Dreiecke geben.
Drei Winkel allein legen nur die Form fest. Es gibt unendlich viele verschieden große Dreiecke.
Mit Geometriesoftware konstruierst du dieselben Schritte. Im Zugmodus prüfst du, ob die Konstruktion bei jeder Lage stimmt.