Lektion 3.2

Kongruenz und Kongruenzsätze

16 min Lesezeit

Du schneidest zwei dreieckige Stücke aus Pappe aus und willst wissen, ob sie genau gleich sind. Legst du eins auf das andere, siehst du es sofort. Aber was, wenn die Stücke weit auseinander liegen, zum Beispiel zwei Dachflächen oder zwei Fliesen im Baumarkt? Dann musst du messen.

Ein Dreieck hat sechs Maße: drei Seiten und drei Winkel. Musst du wirklich alle sechs vergleichen? Oder genügen drei? Und welche drei? Das klärst du in dieser Lektion. Außerdem lernst du, wie du mit gleichen Dreiecken beweist, dass Strecken oder Winkel gleich groß sind.

Definition

Kongruente Figuren

Zwei Figuren heißen kongruent (deckungsgleich), wenn du die eine durch Verschieben, Drehen und Spiegeln genau auf die andere legen kannst. Du schreibst ≅\cong. Bei diesen Abbildungen bleiben alle Längen und Winkel gleich. Kongruente Figuren sind also gleich groß und gleich geformt.

Beim Aufeinanderlegen kommen bestimmte Ecken, Seiten und Winkel zur Deckung. Sie heißen entsprechend. Du schreibst die Ecken in der Reihenfolge, in der sie sich entsprechen. Die Schreibweise unten bedeutet: AA liegt auf PP, BB auf QQ und CC auf RR. Dann entsprechen sich die Seiten AB‾\overline{AB} und PQ‾\overline{PQ} sowie die Winkel bei AA und bei PP.

△ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR
Definition

Eigenschaften kongruenter Vielecke

Sind zwei Vielecke kongruent, dann gilt:

  • Entsprechende Seiten sind gleich lang.
  • Entsprechende Winkel sind gleich groß.
  • Entsprechende Diagonalen sind gleich lang.
  • Umfang und Flächeninhalt sind gleich.

Das gilt für Dreiecke, Vierecke und alle anderen Vielecke. Umgekehrt sind zwei Vielecke kongruent, wenn alle entsprechenden Seiten und Winkel übereinstimmen. Ein Viereck wird aber nicht schon durch seine vier Seiten festgelegt: Ein Quadrat und eine Raute mit Winkeln 60∘60^\circ und 120∘120^\circ können beide die Seitenlänge 4 cm haben und sind nicht kongruent. Bei Dreiecken ist das anders. Dort genügen drei passende Angaben.

Beispiel

Eigenschaften nutzen

Das Viereck ABCDABCD hat die Seiten AB‾=4\overline{AB} = 4 cm, BC‾=6\overline{BC} = 6 cm, CD‾=3\overline{CD} = 3 cm, DA‾=5\overline{DA} = 5 cm und den Winkel α=80∘\alpha = 80^\circ. Es gilt ABCD≅EFGHABCD \cong EFGH in dieser Reihenfolge. Wie lang ist GH‾\overline{GH}, wie groß ist der Winkel bei EE und wie groß ist der Umfang von EFGHEFGH?

Die Ecken entsprechen sich so: AA und EE, BB und FF, CC und GG, DD und HH. Also entspricht GH‾\overline{GH} der Seite CD‾\overline{CD}, und es ist GH‾=3\overline{GH} = 3 cm. Der Winkel bei EE entspricht dem Winkel bei AA und misst 80∘80^\circ. Der Umfang ist so groß wie der von ABCDABCD: 4+6+3+5=184 + 6 + 3 + 5 = 18 cm.

Definition

Kongruenzsätze für Dreiecke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer dieser vier Angaben übereinstimmen. SS steht für Seite und WW für Winkel:

SatzDie Dreiecke stimmen überein in ...
SSSallen drei Seiten
SWSzwei Seiten und dem Winkel, den diese Seiten einschließen
WSWeiner Seite und den beiden Winkeln, die an dieser Seite anliegen
SsWzwei Seiten und dem Winkel, der der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt

Beim SsW steht das große SS für die längere, das kleine ss für die kürzere Seite. Warum es genau diese Sätze gibt, siehst du in der nächsten Lektion: Wenn du ein Dreieck mit solchen Angaben zeichnest, kommt bis auf Verschieben, Drehen und Spiegeln immer dasselbe Dreieck heraus.

Kennst du eine Seite und zwei beliebige Winkel, rechnest du den dritten Winkel mit der Winkelsumme 180∘180^\circ aus. Dann liegt WSW vor. Man nennt das auch WWS.

Beispiel

Den passenden Kongruenzsatz finden

Sind die beiden Dreiecke kongruent? Nenne den Kongruenzsatz.

TeilDreieck 1Dreieck 2
a)Seiten 4 cm, 5 cm, 6 cmSeiten 6 cm, 4 cm, 5 cm
b)Seiten 4 cm und 6 cm, dazwischen 70∘70^\circSeiten 6 cm und 4 cm, dazwischen 70∘70^\circ
c)Seite 6 cm, daran die Winkel 50∘50^\circ und 60∘60^\circSeite 6 cm, daran der Winkel 50∘50^\circ, und der Winkel 70∘70^\circ liegt dieser Seite gegenüber
d)Seiten 5 cm und 7 cm, der Winkel 80∘80^\circ liegt der 7-cm-Seite gegenübergenau dieselben Angaben

a) Alle drei Seiten stimmen überein, nur in anderer Reihenfolge genannt: SSS. b) Die Winkel liegen zwischen den beiden Seiten: SWS. c) Im zweiten Dreieck ist der dritte Winkel 180∘−50∘−70∘=60∘180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ. Er liegt an der 6-cm-Seite. Damit stimmen die Seite und die beiden anliegenden Winkel überein: WSW. d) Der Winkel liegt der längeren Seite gegenüber: SsW. In allen vier Fällen sind die Dreiecke kongruent.

Definition

Begründen mit Kongruenz

Du willst zeigen, dass zwei Strecken oder zwei Winkel gleich groß sind. Dann gehst du so vor:

  • Suche zwei Dreiecke, in denen diese Teile einander entsprechen.
  • Zeige mit drei übereinstimmenden Stücken und einem Kongruenzsatz, dass die Dreiecke kongruent sind. Gib für jedes Stück eine Begründung an.
  • Daraus folgt: Alle entsprechenden Seiten und Winkel sind gleich groß, auch die, die du zeigen wolltest.
Beispiel

Der Basiswinkelsatz mit Kongruenz

Im Dreieck ABCABC gilt AC‾=BC‾\overline{AC} = \overline{BC}. Der Punkt MM ist die Mitte der Seite AB‾\overline{AB}. Beweise, dass die Winkel α\alpha bei AA und β\beta bei BB gleich groß sind.

Die Strecke MC‾\overline{MC} zerlegt das Dreieck in AMCAMC und BMCBMC. Diese beiden Dreiecke vergleichst du:

StückBegründung
AC‾=BC‾\overline{AC} = \overline{BC}Voraussetzung
AM‾=BM‾\overline{AM} = \overline{BM}MM ist die Mitte von AB‾\overline{AB}
MC‾=MC‾\overline{MC} = \overline{MC}gemeinsame Seite

Alle drei Seiten stimmen überein. Nach SSS gilt △AMC≅△BMC\triangle AMC \cong \triangle BMC. Dabei entspricht AA der Ecke BB. Die Winkel bei AA und bei BB entsprechen sich also und sind gleich groß: α=β\alpha = \beta.

Häufige Fehler

Drei gleiche Winkel genügen

Jemand sagt: „Beide Dreiecke haben die Winkel 30∘30^\circ, 60∘60^\circ und 90∘90^\circ. Also sind sie kongruent.“

Richtig ist

Drei gleiche Winkel legen nur die Form fest, nicht die Größe. Ein Dreieck und seine Kopie in doppelter Größe haben dieselben Winkel, aber nicht dieselben Seiten. Es gibt keinen Kongruenzsatz „WWW“. Du brauchst mindestens eine Seite.

Häufige Fehler

Der Winkel liegt an der falschen Stelle

Jemand sagt: „Beide Dreiecke haben die Seiten 5 cm und 7 cm und einen Winkel von 40∘40^\circ. Das ist SWS, also sind sie kongruent.“

Richtig ist

Bei SWS muss der Winkel zwischen den beiden Seiten liegen. Liegt er irgendwo anders, ist SWS nicht erfüllt. Bei SsW muss er der längeren Seite gegenüberliegen. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Prüfe immer, wo der Winkel liegt.

Häufige Fehler

Gleicher Flächeninhalt heißt kongruent

Jemand sagt: „Ein Rechteck mit 6 cm mal 2 cm und eines mit 4 cm mal 3 cm haben beide 12 cm². Also sind sie kongruent.“

Richtig ist

Kongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt, aber nicht umgekehrt. Die Rechtecke haben verschieden lange Seiten und verschiedene Umfänge (1616 cm und 1414 cm). Sie lassen sich nicht aufeinanderlegen.

Zusammenfassung

  • Kongruent heißt deckungsgleich: Die Figuren lassen sich durch Verschieben, Drehen und Spiegeln aufeinanderlegen. Du schreibst ≅\cong.

  • Entsprechende Seiten, Winkel und Diagonalen kongruenter Vielecke sind gleich. Auch Umfang und Flächeninhalt sind gleich.

  • Dreiecke sind kongruent bei SSS, SWS, WSW oder SsW. Bei SWS liegt der Winkel zwischen den Seiten, bei SsW der längeren Seite gegenüber.

  • Drei gleiche Winkel (WWW) reichen nicht. Auch gleicher Flächeninhalt oder gleicher Umfang reichen nicht.

  • Mit Kongruenz begründest du, dass Strecken oder Winkel gleich groß sind: Zeige zwei kongruente Dreiecke, dann sind alle entsprechenden Teile gleich.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

In welcher Angabe müssen zwei Dreiecke übereinstimmen, damit sie sicher kongruent sind?

Aufgabe 2Numerisch

Es gilt △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR. Im Dreieck ABCABC sind α=48∘\alpha = 48^\circ und β=67∘\beta = 67^\circ. Wie groß ist der Winkel bei RR in Grad?

Aufgabe 3Numerisch

Es gilt ABCD≅EFGHABCD \cong EFGH in dieser Reihenfolge. Die Seiten von ABCDABCD sind AB‾=5\overline{AB} = 5 cm, BC‾=7\overline{BC} = 7 cm, CD‾=4\overline{CD} = 4 cm und DA‾=6\overline{DA} = 6 cm. Wie lang ist HE‾\overline{HE} in Zentimetern?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welches Paar von Figuren ist auf jeden Fall kongruent?

Aufgabe 5Numerisch

Zwei Sechsecke sind kongruent. Im ersten ergeben fünf Winkel zusammen 600∘600^\circ. Wie groß ist der Winkel im zweiten Sechseck, der dem sechsten Winkel des ersten entspricht, in Grad?

Aufgabe 6Freitext

Im Drachenviereck ABCDABCD gilt AB‾=AD‾\overline{AB} = \overline{AD} und CB‾=CD‾\overline{CB} = \overline{CD}. Begründe mit Kongruenz, dass die Winkel bei BB und bei DD gleich groß sind.