Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade, die durch die Mitte $M$ der Strecke geht und senkrecht auf ihr steht. So konstruierst du sie:

• Stelle den Zirkel auf einen Radius, der größer ist als die halbe Strecke.
• Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreisbogen mit diesem Radius. Sie schneiden sich in zwei Punkten $P$ und $Q$.
• Die Gerade durch $P$ und $Q$ ist die Mittelsenkrechte. Sie trifft $\overline{AB}$ in der Mitte $M$.

Warum klappt das? Alle vier Strecken $\overline{AP}$, $\overline{BP}$, $\overline{AQ}$ und $\overline{BQ}$ sind Radien desselben Zirkels, also gleich lang. Das Viereck $APBQ$ ist damit eine Raute. Die Diagonalen einer Raute halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.

Auch das Lot von einem Punkt $T$ auf eine Gerade $g$ geht so: Ein Kreisbogen um $T$ schneidet $g$ in $X$ und $Y$. Die Mittelsenkrechte von $\overline{XY}$ geht durch $T$ und steht senkrecht auf $g$.

Die Winkelhalbierende eines Winkels ist der Strahl vom Scheitel $S$ aus, der den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. So konstruierst du sie:

• Zeichne um $S$ einen Kreisbogen. Er schneidet die beiden Schenkel in $P$ und $Q$.
• Zeichne um $P$ und um $Q$ je einen Kreisbogen mit demselben Radius, der groß genug ist, damit sie sich schneiden. Der Schnittpunkt im Inneren des Winkels heißt $R$.
• Der Strahl von $S$ durch $R$ ist die Winkelhalbierende.

Warum klappt das? Den Winkel mit dem Scheitel $S$ zwischen den Strahlen durch $P$ und $R$ schreibst du $\angle PSR$. Es gilt $\overline{SP} = \overline{SQ}$ und $\overline{PR} = \overline{QR}$, und $\overline{SR}$ ist gemeinsame Seite. Nach SSS sind die Dreiecke $SPR$ und $SQR$ kongruent. Also ist $\angle PSR = \angle QSR$.

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Du kennst schon eine: Der Kreis um $M$ mit dem Radius $r$ ist die Ortslinie aller Punkte, die von $M$ den Abstand $r$ haben. Drei weitere:

• Alle Punkte mit dem Abstand $d$ von einer Geraden $g$ liegen auf zwei Parallelen zu $g$, eine auf jeder Seite.
• Alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.
• Alle Punkte im Inneren eines Winkels, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind, liegen auf der Winkelhalbierenden.

Warum? Die Mittelsenkrechte ist die Spiegelachse, die $A$ auf $B$ abbildet. Ein Punkt $X$ auf der Achse bleibt liegen, und die Spiegelung ändert keine Längen. Also ist $\overline{XA} = \overline{XB}$. Umgekehrt ist jeder Punkt mit $\overline{XA} = \overline{XB}$ ein Schnittpunkt der Kreise um $A$ und $B$ mit demselben Radius, und diese liegen bei der Konstruktion auf der Mittelsenkrechten. Bei der Winkelhalbierenden vertauscht die Spiegelung die Schenkel.

Im Dreieck $ABC$ heißen die Mittelsenkrechten der Seiten $a$, $b$ und $c$ $m_a$, $m_b$ und $m_c$. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt $U$.

Begründung: $U$ liege auf $m_a$ und $m_b$. Wegen $m_a$ ist $\overline{UB} = \overline{UC}$, wegen $m_b$ ist $\overline{UC} = \overline{UA}$. Also ist $\overline{UA} = \overline{UB}$, und $U$ liegt auch auf $m_c$. Zwei Mittelsenkrechte schneiden sich, weil die Seiten nicht parallel sind.

Der Punkt $U$ hat von allen drei Ecken denselben Abstand. Der Kreis um $U$ durch $A$ geht daher auch durch $B$ und $C$. Er heißt Umkreis, und $U$ ist der Umkreismittelpunkt. Im spitzwinkligen Dreieck liegt $U$ innen. Im rechtwinkligen Dreieck liegt $U$ in der Mitte der längsten Seite (warum, siehst du in der nächsten Lektion). Im stumpfwinkligen Dreieck liegt $U$ außerhalb.

Die Winkelhalbierenden der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ heißen $w_\alpha$, $w_\beta$ und $w_\gamma$. Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt $I$. Die Begründung läuft wie beim Umkreis: $I$ liegt auf $w_\alpha$ und auf $w_\beta$. Also hat $I$ von den Seiten $b$ und $c$ den gleichen Abstand und von $c$ und $a$ den gleichen Abstand, damit von allen drei Seiten.

Den Abstand eines Punktes von einer Seite misst du auf dem Lot. Der Kreis um $I$ mit diesem Abstand als Radius berührt jede Seite von innen in genau einem Punkt. Er heißt Inkreis, und $I$ ist der Inkreismittelpunkt. Der Punkt $I$ liegt in jedem Dreieck innen.

Eine Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Zur Seite $a$ gehört die Höhe $h_a$ von $A$ aus. Ist das Dreieck stumpfwinklig, trifft das Lot manchmal erst die Verlängerung der Seite. Eine Seitenhalbierende ist die Strecke von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Zur Seite $a$ gehört $s_a$ von $A$ zur Mitte von $a$.

Ohne Beweis gilt: Die drei Höhen schneiden sich in einem Punkt $H$, dem Höhenschnittpunkt. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt $S$, dem Schwerpunkt. Er teilt jede Seitenhalbierende so, dass das Stück bis zur Ecke doppelt so lang ist wie das Stück bis zur Seitenmitte. Ein Dreieck aus gleichmäßig dicker Pappe lässt sich auf einer Bleistiftspitze in $S$ balancieren.