Lektion 3.5

Satz des Thales

16 min Lesezeit

Zeichne auf ein Blatt eine Strecke $\overline{AB}$ von 8 cm Länge. Nimm ein zweites Blatt Papier mit einer rechtwinkligen Ecke. Lege es so auf, dass eine Kante durch $A$ und die andere Kante durch $B$ läuft. Markiere die Stelle, an der die Papierecke liegt, als Punkt $C$ . Schiebe und drehe das Blatt so, dass die Kanten weiter durch $A$ und $B$ laufen, und markiere wieder die Ecke.

Wenn du viele Punkte markiert hast, siehst du eine Form. Die Punkte liegen auf einem Kreis. Warum? Und gilt es auch umgekehrt: Liegt jeder Punkt eines solchen Kreises so, dass bei ihm ein rechter Winkel entsteht? Das klärst du in dieser Lektion. Der Satz ist nach dem griechischen Gelehrten Thales von Milet benannt.

Definition

Thaleskreis, Hypotenuse und Katheten

Der Kreis, dessen Durchmesser die Strecke $\overline{AB}$ ist, heißt Thaleskreis über $\overline{AB}$ . Sein Mittelpunkt $M$ ist die Mitte von $\overline{AB}$ . Sein Radius ist halb so lang wie $\overline{AB}$ .

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Die Hypotenuse ist die längste Seite, denn sie liegt dem größten Winkel gegenüber.

Satz

Satz des Thales

Voraussetzung: $\overline{AB}$ ist ein Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis und ist weder $A$ noch $B$ .
Behauptung: Das Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel.

Satz

Umkehrung des Satzes des Thales

Voraussetzung: Das Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel.
Behauptung: $C$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ . Die Mitte von $\overline{AB}$ ist also von $A$ , $B$ und $C$ gleich weit entfernt.

Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 7$ cm, dem rechten Winkel bei $C$ und $a = 3$ cm.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit 7 cm.
Schritt 2: Konstruiere die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ . Sie trifft $\overline{AB}$ in der Mitte $M$ .
Schritt 3: Zeichne den Thaleskreis um $M$ mit dem Radius 3,5 cm. Er geht durch $A$ und $B$ .
Schritt 4: Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 3$ cm. Er schneidet den Thaleskreis in $C$ .
Schritt 5: Verbinde $C$ mit $A$ und mit $B$ .

Der Winkel bei $C$ ist nach dem Satz des Thales ein rechter Winkel, ohne dass du ihn antragen musstest. Probe mit dem Geodreieck: $90^\circ$ . Die Seite $b$ misst etwa 6,3 cm. Der Bogen schneidet den Thaleskreis oben und unten. Die beiden Dreiecke sind Spiegelbilder.

Beispiel

Winkel berechnen

Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ . Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha = 35^\circ$ . Wie groß ist $\beta$ ?

\gamma = 90^\circ \qquad \beta = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

Nach dem Satz des Thales ist $\gamma = 90^\circ$ . Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen $90^\circ$ . Also ist $\beta = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Beispiel

Mit dem Satz begründen

$\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind zwei verschiedene Durchmesser desselben Kreises. Begründe: Das Viereck $ACBD$ hat vier rechte Winkel.

Winkel	Begründung
bei $C$	$\overline{AB}$ ist Durchmesser und $C$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $D$	$\overline{AB}$ ist Durchmesser und $D$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $A$	$\overline{CD}$ ist Durchmesser und $A$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $B$	$\overline{CD}$ ist Durchmesser und $B$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$

Ein Viereck mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck. Die Diagonalen $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind gleich lang, denn beide sind Durchmesser. Das passt zum Rechteck.

Häufige Fehler

Der rechte Winkel liegt an der falschen Ecke

Jemand sagt: „Im Thaleskreis über $\overline{AB}$ sind die Winkel bei $A$ und bei $B$ rechte Winkel.“

Richtig ist

Der rechte Winkel liegt bei $C$ , dem Punkt auf dem Kreis. $A$ und $B$ sind die Enden des Durchmessers. Dort liegen die beiden anderen Winkel, und sie ergeben zusammen $90^\circ$ .

Häufige Fehler

Die Strecke ist kein Durchmesser

Jemand nimmt zwei Punkte $A$ und $B$ auf einem Kreis, die nicht gegenüberliegen, und sagt: „Bei jedem Punkt $C$ auf dem Kreis ist der Winkel $90^\circ$ .“

Richtig ist

Der Satz gilt nur, wenn $\overline{AB}$ ein Durchmesser ist, also durch den Mittelpunkt geht. Bei anderen Punktepaaren auf dem Kreis ist der Winkel bei $C$ nicht $90^\circ$ .

Häufige Fehler

Radius und Durchmesser beim Thaleskreis

Jemand konstruiert für $c = 7$ cm den Thaleskreis und stellt den Zirkel auf 7 cm ein.

Richtig ist

Der Zirkel misst den Radius. Der Thaleskreis hat die Strecke $\overline{AB}$ als Durchmesser, also ist sein Radius $7 : 2 = 3{,}5$ cm. Der Kreis um die Mitte mit 7 cm Radius ginge nicht durch $A$ und $B$ .

Zusammenfassung

Der Thaleskreis über $\overline{AB}$ ist der Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ . Sein Radius ist die halbe Länge von $\overline{AB}$ .
Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ , hat das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel.
Umkehrung: Hat ein Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel, liegt $C$ auf dem Thaleskreis über der gegenüberliegenden Seite $\overline{AB}$ .
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Mitte der Hypotenuse der Umkreismittelpunkt. Die Seitenhalbierende zur Hypotenuse ist halb so lang wie diese.
Zum Konstruieren eines rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenuse zeichnest du den Thaleskreis. Der rechte Winkel entsteht von selbst.
Mit dem Satz begründest du rechte Winkel: Du suchst einen Durchmesser und einen Punkt auf dem Kreis.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Die Strecke $\overline{AB}$ ist 10 cm lang. Wie groß ist der Radius des Thaleskreises über $\overline{AB}$ in Zentimetern?

Aufgabe 2Numerisch

Der Punkt $C$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ . Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha = 28^\circ$ . Wie groß ist $\beta$ in Grad?

Aufgabe 3Multiple Choice

Die Punkte $A$ , $B$ und $C$ liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ . Der Punkt $M$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$ . Welcher Winkel im Dreieck $ABC$ ist ein rechter Winkel?

Aufgabe 4Numerisch

Im Dreieck $ABC$ ist der Winkel bei $C$ ein rechter Winkel. Die Hypotenuse $\overline{AB}$ ist 13 cm lang. Wie lang ist die Strecke von $C$ zur Mitte der Hypotenuse in Zentimetern? Gib die Zahl mit Komma an.

Aufgabe 5Multiple Choice

Wo liegt der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks mit einem rechten Winkel bei $C$ ?

Aufgabe 6Freitext

Beschreibe, wie du das Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 8$ cm, dem rechten Winkel bei $C$ und $a = 5$ cm konstruierst.

Lektion 3.5 · Dreiecke, Kongruenz und Kreissätze

Satz des Thales

Definition

Thaleskreis, Hypotenuse und Katheten

Satz

Satz des Thales

Voraussetzung: $\overline{AB}$ ist ein Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis und ist weder $A$ noch $B$ .
Behauptung: Das Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel.

Beweis

Sei $M$ der Mittelpunkt des Kreises. Dann sind $\overline{MA}$ , $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ Radien und gleich lang.

Das Dreieck $AMC$ ist gleichschenklig, denn $\overline{MA} = \overline{MC}$ . Nach dem Basiswinkelsatz sind seine Winkel bei $A$ und bei $C$ gleich groß. Nenne sie $\alpha$ . Das Dreieck $BMC$ ist gleichschenklig, denn $\overline{MB} = \overline{MC}$ . Seine Winkel bei $B$ und bei $C$ sind gleich groß. Nenne sie $\beta$ .

Im Dreieck $ABC$ ist der Winkel bei $A$ gleich $\alpha$ und der Winkel bei $B$ gleich $\beta$ . Der Winkel bei $C$ besteht aus den beiden Teilen $\alpha$ und $\beta$ , er ist also $\alpha + \beta$ . Die Winkelsumme im Dreieck $ABC$ ergibt $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$ . Also ist $2 \cdot (\alpha + \beta) = 180^\circ$ und $\alpha + \beta = 90^\circ$ . Der Winkel bei $C$ ist ein rechter Winkel.

q.e.d.

Satz

Umkehrung des Satzes des Thales

Voraussetzung: Das Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel.
Behauptung: $C$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ . Die Mitte von $\overline{AB}$ ist also von $A$ , $B$ und $C$ gleich weit entfernt.

Beweis

Bei $C$ ist der Winkel $90^\circ$ . Mit der Winkelsumme folgt $\alpha + \beta = 90^\circ$ . Beide Winkel sind also kleiner als $90^\circ$ .

Zeichne von $C$ aus eine Strecke zu einem Punkt $D$ auf $\overline{AB}$ , sodass der Winkel zwischen $\overline{CA}$ und $\overline{CD}$ gleich $\alpha$ ist. Das geht, denn $\alpha < 90^\circ$ , und $D$ liegt zwischen $A$ und $B$ . Im Dreieck $ADC$ sind die Winkel bei $A$ und bei $C$ beide $\alpha$ . Nach dem Kehrsatz zum Basiswinkelsatz ist $\overline{DA} = \overline{DC}$ .

Der Winkel zwischen $\overline{CD}$ und $\overline{CB}$ ist $90^\circ - \alpha = \beta$ . Im Dreieck $DBC$ sind also die Winkel bei $C$ und bei $B$ beide $\beta$ . Wieder nach dem Kehrsatz ist $\overline{DB} = \overline{DC}$ .

Damit gilt $\overline{DA} = \overline{DB} = \overline{DC}$ . Der Punkt $D$ ist die Mitte von $\overline{AB}$ , und $C$ hat von $D$ den Abstand des Radius. Also liegt $C$ auf dem Thaleskreis.

q.e.d.

Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren

Konstruiere das Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c = 7$ cm, dem rechten Winkel bei $C$ und $a = 3$ cm.

Schritt 1: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit 7 cm.
Schritt 2: Konstruiere die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ . Sie trifft $\overline{AB}$ in der Mitte $M$ .
Schritt 3: Zeichne den Thaleskreis um $M$ mit dem Radius 3,5 cm. Er geht durch $A$ und $B$ .
Schritt 4: Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit dem Radius $a = 3$ cm. Er schneidet den Thaleskreis in $C$ .
Schritt 5: Verbinde $C$ mit $A$ und mit $B$ .

Beispiel

Winkel berechnen

Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ . Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha = 35^\circ$ . Wie groß ist $\beta$ ?

\gamma = 90^\circ \qquad \beta = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

Nach dem Satz des Thales ist $\gamma = 90^\circ$ . Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen $90^\circ$ . Also ist $\beta = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Beispiel

Mit dem Satz begründen

$\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind zwei verschiedene Durchmesser desselben Kreises. Begründe: Das Viereck $ACBD$ hat vier rechte Winkel.

Winkel	Begründung
bei $C$	$\overline{AB}$ ist Durchmesser und $C$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $D$	$\overline{AB}$ ist Durchmesser und $D$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $A$	$\overline{CD}$ ist Durchmesser und $A$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$
bei $B$	$\overline{CD}$ ist Durchmesser und $B$ liegt auf dem Kreis, also $90^\circ$

Ein Viereck mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck. Die Diagonalen $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind gleich lang, denn beide sind Durchmesser. Das passt zum Rechteck.

Häufige Fehler

Der rechte Winkel liegt an der falschen Ecke

Jemand sagt: „Im Thaleskreis über $\overline{AB}$ sind die Winkel bei $A$ und bei $B$ rechte Winkel.“

Der rechte Winkel liegt bei $C$ , dem Punkt auf dem Kreis. $A$ und $B$ sind die Enden des Durchmessers. Dort liegen die beiden anderen Winkel, und sie ergeben zusammen $90^\circ$ .

Häufige Fehler

Die Strecke ist kein Durchmesser

Jemand nimmt zwei Punkte $A$ und $B$ auf einem Kreis, die nicht gegenüberliegen, und sagt: „Bei jedem Punkt $C$ auf dem Kreis ist der Winkel $90^\circ$ .“

Der Satz gilt nur, wenn $\overline{AB}$ ein Durchmesser ist, also durch den Mittelpunkt geht. Bei anderen Punktepaaren auf dem Kreis ist der Winkel bei $C$ nicht $90^\circ$ .

Häufige Fehler

Radius und Durchmesser beim Thaleskreis

Jemand konstruiert für $c = 7$ cm den Thaleskreis und stellt den Zirkel auf 7 cm ein.

Zusammenfassung

Der Thaleskreis über $\overline{AB}$ ist der Kreis mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ . Sein Radius ist die halbe Länge von $\overline{AB}$ .
Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$ , hat das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel.
Umkehrung: Hat ein Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel, liegt $C$ auf dem Thaleskreis über der gegenüberliegenden Seite $\overline{AB}$ .
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Mitte der Hypotenuse der Umkreismittelpunkt. Die Seitenhalbierende zur Hypotenuse ist halb so lang wie diese.
Zum Konstruieren eines rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenuse zeichnest du den Thaleskreis. Der rechte Winkel entsteht von selbst.
Mit dem Satz begründest du rechte Winkel: Du suchst einen Durchmesser und einen Punkt auf dem Kreis.