Lektion 3.1

Basiswinkelsatz, Winkelsumme im Vieleck und Beweisen

18 min Lesezeit

Du hast gelernt: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Aber gilt das auch für ein Dreieck, das du nie gezeichnet hast? Und stimmt es andersherum: Sind zwei Winkel gleich groß, sind dann auch zwei Seiten gleich lang?

Noch eine Frage: Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen $180^\circ$ , die vier Winkel eines Vierecks $360^\circ$ . Wie viel Grad sind es bei einem Fünfeck oder bei einem Vieleck mit 20 Ecken?

Du lernst auch, wie man in der Mathematik eine Aussage beweist und wie man zeigt, dass sie nicht stimmt.

Definition

Definition, Satz, Voraussetzung und Behauptung

Eine Aussage ist ein Satz, der wahr oder falsch sein kann. Eine Definition legt fest, was ein Wort bedeutet. Zum Beispiel: Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei seiner Seiten gleich lang sind. Eine Definition wird nicht bewiesen, man vereinbart sie.

Ein Satz sagt, was aus einer Voraussetzung folgt. Er hat meist die Form „Wenn ..., dann ...“. Der Wenn-Teil heißt Voraussetzung, der Dann-Teil heißt Behauptung. Beispiel: „Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel gleich groß.“

Ein Satz gilt erst als sicher, wenn er bewiesen ist. Beim direkten Beweis gehst du in Schritten von der Voraussetzung zur Behauptung. Jeder Schritt braucht eine Begründung: eine Definition oder einen Satz, den du schon kennst. Messen zählt nicht.

Definition

Außenwinkel

Zeichne ein Dreieck $ABC$ mit den Innenwinkeln $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ . Verlängere die Seite $\overline{AC}$ über $C$ hinaus. Zwischen der Verlängerung und der Seite $\overline{BC}$ liegt ein Winkel außerhalb des Dreiecks. Er heißt Außenwinkel bei $C$ und bekommt den griechischen Buchstaben $\varepsilon$ (sprich: epsilon).

Der Außenwinkel $\varepsilon$ und der Innenwinkel $\gamma$ liegen nebeneinander und bilden zusammen eine gerade Linie. Es sind also Nebenwinkel.

\varepsilon + \gamma = 180^\circ

Satz

Außenwinkelsatz

Voraussetzung: $ABC$ ist ein Dreieck, $\varepsilon$ ist sein Außenwinkel bei $C$ .
Behauptung: Der Außenwinkel ist so groß wie die beiden Innenwinkel zusammen, die nicht bei $C$ liegen.

\varepsilon = \alpha + \beta

Beispiel

Den Außenwinkelsatz beweisen

Beweise $\varepsilon = \alpha + \beta$ in kleinen Schritten, jeder mit einer Begründung.

Schritt	Aussage	Begründung
1	$\varepsilon + \gamma = 180^\circ$	$\varepsilon$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel
2	$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$	Winkelsumme im Dreieck
3	$\varepsilon + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$	beide Summen sind $180^\circ$
4	$\varepsilon = \alpha + \beta$	auf beiden Seiten $\gamma$ abziehen

Der Beweis gilt für jedes Dreieck. Zahlenbeispiel: Bei $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ ist $\varepsilon = 110^\circ$ . Probe: $\gamma = 70^\circ$ und $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .

Satz

Basiswinkelsatz

Voraussetzung: Im Dreieck $ABC$ sind die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ gleich lang. Die Basis ist $\overline{AB}$ , die Spitze ist $C$ .
Behauptung: Die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ sind gleich groß.

\alpha = \beta

Definition

Umkehrung (Kehrsatz)

Vertauschst du Voraussetzung und Behauptung eines Satzes, bekommst du seine Umkehrung, auch Kehrsatz genannt. Aus „Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind die Basiswinkel gleich groß“ wird: „Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.“

Die Umkehrung eines wahren Satzes muss nicht wahr sein. „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ stimmt. Die Umkehrung „Wenn die Straße nass ist, regnet es“ stimmt nicht, denn auch ein Wasserschlauch macht die Straße nass. Du musst jede Umkehrung einzeln prüfen.

Satz

Kehrsatz zum Basiswinkelsatz

Voraussetzung: Im Dreieck $ABC$ sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß.
Behauptung: Die gegenüberliegenden Seiten $a$ und $b$ sind gleich lang. Das Dreieck ist gleichschenklig.

Beispiel

Die Sätze anwenden

Ein Dreieck $ABC$ hat die Winkel $\alpha = 40^\circ$ und $\beta = 100^\circ$ . Ist es gleichschenklig? Welche Seiten sind gleich lang?

\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ = \alpha

Du rechnest zuerst den dritten Winkel aus. Es ist $\gamma = 40^\circ$ , also sind $\alpha$ und $\gamma$ gleich groß. Nach dem Kehrsatz sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang: $a = c$ . Das Dreieck ist gleichschenklig, die Spitze liegt bei $B$ .

Definition

Gegenbeispiel

Willst du zeigen, dass eine Aussage nicht immer stimmt, genügt ein einziger Fall, in dem sie nicht gilt. Das ist ein Gegenbeispiel.

Die Aussage „Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann ist es gleichseitig“ ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 5 cm und 8 cm. Es ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. Umgekehrt beweist kein Beispiel eine Aussage für alle Fälle.

Definition

Vielecke in Dreiecke zerlegen

Ein Vieleck wird von geraden Strecken begrenzt. Hat es $n$ Ecken, heißt es $n$ -Eck: Dreieck ( $n = 3$ ), Viereck ( $n = 4$ ), Fünfeck ( $n = 5$ ) und so weiter. Wir betrachten Vielecke, bei denen jede Ecke nach außen zeigt.

Zeichne ein Fünfeck $ABCDE$ und ziehe von $A$ aus alle Diagonalen: $\overline{AC}$ und $\overline{AD}$ . Sie zerlegen das Fünfeck in drei Dreiecke $ABC$ , $ACD$ und $ADE$ . Deren Winkel ergeben zusammen genau die Winkel des Fünfecks. Die Winkelsumme ist also $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$ . So füllst du die Tabelle:

Vieleck	Ecken $n$	Dreiecke	Winkelsumme
Dreieck	3	1	$180^\circ$
Viereck	4	2	$360^\circ$
Fünfeck	5	3	$540^\circ$
Sechseck	6	4	$720^\circ$
$n$ -Eck	$n$	$n - 2$	$(n-2) \cdot 180^\circ$

Von einer Ecke aus laufen $n - 3$ Diagonalen. Sie zerlegen das Vieleck in $n - 2$ Dreiecke. Auch bei Vielecken, bei denen eine Ecke nach innen zeigt, gilt die Formel. Die Zerlegung ist dort nur aufwendiger.

Satz

Innenwinkelsumme im Vieleck

Die Innenwinkel eines $n$ -Ecks ergeben zusammen $(n-2) \cdot 180^\circ$ .

\text{Winkelsumme} = (n-2) \cdot 180^\circ

Beispiel

Winkel im Vieleck

a) Ein Fünfeck hat die Winkel $100^\circ$ , $110^\circ$ , $120^\circ$ und $95^\circ$ . Wie groß ist der fünfte Winkel?
b) Ein Vieleck hat die Winkelsumme $1080^\circ$ . Wie viele Ecken hat es?
c) Ein Sechseck ist regelmäßig: Alle Seiten sind gleich lang und alle Winkel gleich groß. Wie groß ist ein Winkel?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 540^\circ - (100^\circ + 110^\circ + 120^\circ + 95^\circ) = 540^\circ - 425^\circ = 115^\circ \\ \text{b)}\; & 1080 : 180 = 6 = n - 2, \text{ also } n = 8 \\ \text{c)}\; & 720^\circ : 6 = 120^\circ \end{aligned}

In a) ziehst du die vier bekannten Winkel von $540^\circ$ ab. In b) bekommst du mit $1080 : 180$ die Zahl der Dreiecke, und das sind $n - 2$ . In c) teilst du die Winkelsumme $720^\circ$ auf sechs gleiche Winkel.

Häufige Fehler

Die Zahl der Dreiecke falsch zählen

Jemand rechnet für ein Siebeneck $7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .

Richtig ist

Ein $n$ -Eck wird in $n - 2$ Dreiecke zerlegt, nicht in $n$ . Für das Siebeneck sind es 5 Dreiecke: $5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$ .

Häufige Fehler

Die Umkehrung ist automatisch wahr

Jemand sagt: „Scheitelwinkel sind gleich groß. Also sind gleich große Winkel immer Scheitelwinkel.“

Richtig ist

Die Umkehrung muss nicht stimmen. Ein Gegenbeispiel: Die drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind alle $60^\circ$ groß. Sie sind gleich groß, aber keine Scheitelwinkel.

Zusammenfassung

Eine Definition legt ein Wort fest. Ein Satz hat die Form „Wenn Voraussetzung, dann Behauptung“ und muss bewiesen werden.
Ein direkter Beweis geht in begründeten Schritten von der Voraussetzung zur Behauptung. Messen ist kein Beweis.
Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen, $\varepsilon = \alpha + \beta$ .
Basiswinkelsatz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Kehrsatz: Sind zwei Winkel gleich groß, sind die Seiten gegenüber gleich lang.
Die Umkehrung eines Satzes muss nicht stimmen. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt eine Aussage.
Die Innenwinkel eines $n$ -Ecks ergeben zusammen $(n-2) \cdot 180^\circ$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

In einem Dreieck sind $\alpha = 48^\circ$ und $\beta = 57^\circ$ . Wie groß ist der Außenwinkel bei $C$ in Grad?

Aufgabe 2Multiple Choice

Der Satz lautet: „Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann ist sie durch 5 teilbar.“ Welche Aussage ist seine Umkehrung?

Aufgabe 3Numerisch

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Achteck in Grad? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 4Numerisch

In einem gleichschenkligen Dreieck liegt ein Außenwinkel an einer Ecke der Basis. Er misst $130^\circ$ . Wie groß ist der Winkel an der Spitze in Grad?

Aufgabe 5Multiple Choice

Die Aussage lautet: „Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann hat es vier rechte Winkel.“ Welche Figur ist ein Gegenbeispiel?

Aufgabe 6Freitext

Schreibe die Umkehrung des Satzes „Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann ergeben sie zusammen $180^\circ$ .“ Stimmt sie? Gib bei „nein“ ein Gegenbeispiel an.

Lektion 3.1 · Dreiecke, Kongruenz und Kreissätze

Basiswinkelsatz, Winkelsumme im Vieleck und Beweisen

Du lernst auch, wie man in der Mathematik eine Aussage beweist und wie man zeigt, dass sie nicht stimmt.

Definition

Definition, Satz, Voraussetzung und Behauptung

Definition

Außenwinkel

Der Außenwinkel $\varepsilon$ und der Innenwinkel $\gamma$ liegen nebeneinander und bilden zusammen eine gerade Linie. Es sind also Nebenwinkel.

\varepsilon + \gamma = 180^\circ

Satz

Außenwinkelsatz

Voraussetzung: $ABC$ ist ein Dreieck, $\varepsilon$ ist sein Außenwinkel bei $C$ .
Behauptung: Der Außenwinkel ist so groß wie die beiden Innenwinkel zusammen, die nicht bei $C$ liegen.

\varepsilon = \alpha + \beta

Beispiel

Den Außenwinkelsatz beweisen

Beweise $\varepsilon = \alpha + \beta$ in kleinen Schritten, jeder mit einer Begründung.

Schritt	Aussage	Begründung
1	$\varepsilon + \gamma = 180^\circ$	$\varepsilon$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel
2	$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$	Winkelsumme im Dreieck
3	$\varepsilon + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$	beide Summen sind $180^\circ$
4	$\varepsilon = \alpha + \beta$	auf beiden Seiten $\gamma$ abziehen

Der Beweis gilt für jedes Dreieck. Zahlenbeispiel: Bei $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 60^\circ$ ist $\varepsilon = 110^\circ$ . Probe: $\gamma = 70^\circ$ und $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ .

Satz

Basiswinkelsatz

Voraussetzung: Im Dreieck $ABC$ sind die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ gleich lang. Die Basis ist $\overline{AB}$ , die Spitze ist $C$ .
Behauptung: Die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ sind gleich groß.

\alpha = \beta

Beweis

Falte das Dreieck so, dass der Schenkel $\overline{CA}$ genau auf dem Schenkel $\overline{CB}$ liegt. Die Faltlinie ist eine Gerade durch $C$ , die den Winkel $\gamma$ halbiert. Das ist die Spiegelachse.

Beim Spiegeln geht der Strahl von $C$ durch $A$ auf den Strahl von $C$ durch $B$ über. Eine Spiegelung ändert keine Längen, und $\overline{CA}$ und $\overline{CB}$ sind gleich lang. Also fällt $A$ genau auf $B$ und $B$ auf $A$ . Eine Spiegelung ändert auch keine Winkel. Der Winkel bei $A$ wird auf den Winkel bei $B$ gespiegelt. Also gilt $\alpha = \beta$ .

q.e.d.

Definition

Umkehrung (Kehrsatz)

Satz

Kehrsatz zum Basiswinkelsatz

Voraussetzung: Im Dreieck $ABC$ sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß.
Behauptung: Die gegenüberliegenden Seiten $a$ und $b$ sind gleich lang. Das Dreieck ist gleichschenklig.

Beweis

Du kennst: Der längeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Wäre $a$ länger als $b$ , dann wäre $\alpha$ größer als $\beta$ . Das passt nicht zu $\alpha = \beta$ . Wäre $a$ kürzer als $b$ , dann wäre $\alpha$ kleiner als $\beta$ . Das passt auch nicht. Es bleibt nur $a = b$ .

q.e.d.

Beispiel

Die Sätze anwenden

Ein Dreieck $ABC$ hat die Winkel $\alpha = 40^\circ$ und $\beta = 100^\circ$ . Ist es gleichschenklig? Welche Seiten sind gleich lang?

\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 100^\circ = 40^\circ = \alpha

Definition

Gegenbeispiel

Willst du zeigen, dass eine Aussage nicht immer stimmt, genügt ein einziger Fall, in dem sie nicht gilt. Das ist ein Gegenbeispiel.

Definition

Vielecke in Dreiecke zerlegen

Vieleck	Ecken $n$	Dreiecke	Winkelsumme
Dreieck	3	1	$180^\circ$
Viereck	4	2	$360^\circ$
Fünfeck	5	3	$540^\circ$
Sechseck	6	4	$720^\circ$
$n$ -Eck	$n$	$n - 2$	$(n-2) \cdot 180^\circ$

Satz

Innenwinkelsumme im Vieleck

Die Innenwinkel eines $n$ -Ecks ergeben zusammen $(n-2) \cdot 180^\circ$ .

\text{Winkelsumme} = (n-2) \cdot 180^\circ

Beispiel

Winkel im Vieleck

\begin{aligned} \text{a)}\; & 540^\circ - (100^\circ + 110^\circ + 120^\circ + 95^\circ) = 540^\circ - 425^\circ = 115^\circ \\ \text{b)}\; & 1080 : 180 = 6 = n - 2, \text{ also } n = 8 \\ \text{c)}\; & 720^\circ : 6 = 120^\circ \end{aligned}

Häufige Fehler

Die Zahl der Dreiecke falsch zählen

Jemand rechnet für ein Siebeneck $7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ .

Ein $n$ -Eck wird in $n - 2$ Dreiecke zerlegt, nicht in $n$ . Für das Siebeneck sind es 5 Dreiecke: $5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$ .

Häufige Fehler

Die Umkehrung ist automatisch wahr

Jemand sagt: „Scheitelwinkel sind gleich groß. Also sind gleich große Winkel immer Scheitelwinkel.“

Die Umkehrung muss nicht stimmen. Ein Gegenbeispiel: Die drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind alle $60^\circ$ groß. Sie sind gleich groß, aber keine Scheitelwinkel.

Zusammenfassung

Eine Definition legt ein Wort fest. Ein Satz hat die Form „Wenn Voraussetzung, dann Behauptung“ und muss bewiesen werden.
Ein direkter Beweis geht in begründeten Schritten von der Voraussetzung zur Behauptung. Messen ist kein Beweis.
Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen, $\varepsilon = \alpha + \beta$ .
Basiswinkelsatz: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Kehrsatz: Sind zwei Winkel gleich groß, sind die Seiten gegenüber gleich lang.
Die Umkehrung eines Satzes muss nicht stimmen. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt eine Aussage.
Die Innenwinkel eines $n$ -Ecks ergeben zusammen $(n-2) \cdot 180^\circ$ .